David Madore's WebLog: David A. Cox's Galois Theory

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(Thursday)

David A. Cox's Galois Theory

[Traduction française ci-dessous.]

David A. Cox is renowned (besides for having been one of the “discoverers” of toric varieties, one of the most elegant objects in algebraic geometry) for the clarity of his mathematical writing: his Primes of the form x²+ny² is an excellent prolegomenon to algebraic number theory and class field theory. In a recent book-buying compulsion, I got a copy of his latest book, a teatise on Galois theory (ISBN 0-471-43419-1), and I wish to mention how remarkably good I find it—even after I've done hardly more than glance through it. True, there isn't much for me to learn in it (I should hope so!), but the book is so well written and full of interesting notes, both historical and mathematical, that it is very enjoyable even for those who think they don't have any more to discover about Galois theory. Among the features found in this treatise which are not common in similar presentations, let me mention his account of geometric constructions by origami (not every algebraist knows that the regular heptagon or enneadecagon can be constructed by paper folding!) or his very nice chapter on the division of the lemniscate (hinting at Kronecker's Jugendtraum for Q(i) and class field theory); his explanations on how to compute Galois groups also appear quite excellent. I merely regret that he didn't write a little something on Galois cohomology, but I guess that would have been beyond the intended scope of the book; and for those looking for a Bourbakist treatment of the Galois correspondance—as an equivalence of category between étale algebras and actions of the Galois group—Douady & Douady's also excellent (but utterly different in style and approach) Algèbre et Théories galoisiennes exists.

Anyway, I would heartily recommend Cox's book to anyone who knows basic algebra and wishes to learn about this fascinating and beautiful subject, Galois theory, and some of its nice applications (in elementary geometry and elsewhere): not just to students, but also to math hobbyists, mathematicians from other domains with a leisurely interest in algebra, etc.

[French translation of the above.]

David A. Cox est renommé (à part pour avoir été un des « découvreurs » des variétés toriques, un des objets les plus élégants de la géométrie algébrique) pour la clarté de son écriture mathématique : son Primes of the form x²+ny² est un excellent prolégomène à la théorie algébrique des nombres et la théorie du corps de classes. Dans une récente frénésie d'achat de livres, je me suis procuré une copie de son dernier livre, un traité de théorie de Galois (ISBN 0-471-43419-1), et je voudrais mentionner à quel point je le trouve remarquable — même si je ne l'ai pas parcouru beaucoup plus qu'en diagonale. Vrai, je n'ai pas énormément à y apprendre (il faut espérer !), mais le livre est tellement bien écrit et plein de notes intéressantes, tant historiques que mathématiques, qu'il est très appréciable même pour ceux qui croient qu'ils n'ont rien de plus à découvrir en théorie de Galois. Parmi les choses qu'on trouve dans ce traité qui ne sont pas communes dans des présentations semblables, signalons son compte-rendu des constructions géométriques à l'origami (tous les algébristes ne savent pas que l'heptagone ou l'ennéadécagone réguliers peuvent être construits en pliant du papier !) ou son chapitre très agréable sur la division de la lemniscate (en tirant vers le Jugendtraum de Kronecker pour Q(i) et la théorie du corps de classes) ; ses explications sur la manière de calculer les groupes de Galois semblent également excellentes. Je regrette simplement qu'il n'a pas écrit un petit quelque chose sur la cohomologie galoisienne, mais je suppose que ç'aurait été au-delà de la portée désirée de son livre ; et pour ceux qui cherchent un traitement bourbachique de la correspondance de Galois — comme une équivalence de catégorie entre les algèbres étales et les actions du groupe de Galois — l'également excellent (mais totalement différent par le style et l'approche) Algèbre et Théories galoisiennes de Douady & Douady existe.

Quoi qu'il en soit, je recommanderais chaleureusement le livre de Cox à quiconque connaît l'algèbre de base et souhaite apprendre ce sujet fascinant et beau, la théorie de Galois, et certaines de ses applications plaisantes (en géométrie élémentaire et ailleurs) : pas seulement aux étudiants, mais aussi aux mathématiciens amateurs, mathématiciens d'autres domaines avec un intérêt de dilettante pour l'algèbre, etc.

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