David Madore's WebLog: Les affres du nilradical inférieur

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(dimanche)

Les affres du nilradical inférieur

C'est un sentiment vraiment horrible de se retrouver un dimanche à onze heures du soir passées à vouloir savoir ce que c'est que le nilradical inférieur (d'un anneau non commutatif) et de n'avoir aucun moyen d'accéder à cette information. Je suis très sérieux — enfin presque.

J'ai la fâcheuse manie de travailler hors des heures d'ouverture de la bibliothèque de maths à laquelle j'ai accès ; j'ai une petite collection de livres de maths dans mon bureau (et une collection bien plus importante chez mes parents à Orsay, mais je n'y suis plus trop), qui souvent ne suffit pas à fournir les réponses que je cherche. Reste le Web : mais ce qui est frustrant, avec le Web, c'est qu'on y trouve des articles de recherche (et un article de recherche en algèbre non commutative ne va jamais prendre la peine de rappeler quelque chose censément aussi connu que la définition du nilradical), des cours de niveau vraiment basique, et quelques informations éparses au niveau intermédiaire, mais rien de cohérent.

Alors voilà, pris dans un méandre de ma pensée j'ai voulu retrouver la définition du nilradical inférieur d'un anneau non commutatif. (Plus exactement, il y a un nilradical supérieur et un nilradical inférieur qui généralisent la notion de nilradical d'un anneau commutatif — l'ensemble des éléments nilpotents. Je connais une définition possible, parfois appelée nilradical tout court, à savoir la somme des idéaux bilatères nils — c'est-à-dire dont tous les éléments sont nilpotents — mais je ne sais pas si c'est le supérieur ou l'inférieur : je penche plutôt pour le supérieur, et j'aimerais bien savoir quel est l'autre définition — peut-être la somme des idéaux bilatères nilpotents mais ça pourrait être tout autre chose.) Impossible : tous les livres que j'avais sous la main traitent essentiellement (ou uniquement) d'algèbre commutative, et personne sur le Web ni sur Usenet n'a jamais écrit noir sur blanc la définition du nilradical inférieur. Je sais que la réponse est dans le livre de Lam sur les anneaux non commutatifs, qui se trouve chez mes parents, mais je ne l'ai pas avec moi.

C'est absolument affreux. Pas pour le nilradical lui-même, mais ce sentiment que l'information est là, quelque part, mais inaccessible.

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