David Madore's WebLog: Encore quelques petites nouvelles mathématiques

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(lundi)

Encore quelques petites nouvelles mathématiques

Mon premier TD s'est plutôt bien passé. Ou alors, s'ils ont trouvé que j'étais décidément nul, ils ont été trop timides pour me le faire savoir (mais j'y crois assez peu ; en revanche, bouh hou hou, il y en a qui trouvent moyen de me vouvoyer). Mais je n'ai fait que moins de la moitié de ce que je pensais faire (donc moins du quart de la feuille, vu que j'avais prévu large dans l'autre sens).

Sinon, je me suis (stupidement ?) engagé à faire un exposé jeudi après-midi au séminaire des doctorants de géométrie algébrique à Paris XIII (Villetaneuse) sur quelques questions autour de l'arithmétique des variétés rationnellement connexes. Je n'ai encore aucune idée de ce que je vais bien pouvoir raconter.

J'ai eu un premier écho du rapporteur américain de ma thèse, qui ne dit pas grand-chose (il pose quelques questions qui n'ont pas l'air d'être une façon diplomatique de signaler une erreur) mais qui finit par une appréciation positive. Je vais sans doute bientôt sortir une version revue et corrigée de mon manuscrit. Avec tout ça je n'ai pas vraiment le temps de faire de la recherche… je me sens un peu débordé, en fait.

Je tiens toujours à apprendre comment on résout le problème de Post (exhiber des degrés de calculabilité récursivement énumérables strictement intermédiaires entre le degré récursif et celui du problème de l'arrêt — voir l'article sur Wikipédia que j'ai un peu complété). Je trouve ce problème absolument fascinant. Je viens d'avoir une discussion sur la question de savoir où il pourrait être enseigné, d'ailleurs, discussion d'où il résulte que peut-être il n'existe aucun cours de calculabilité (niveau master, en gros) en région parisienne dans le cadre duquel ce problème serait traité. Si c'est bien le cas je trouve ça vraiment dommage.

Une conjecture fumée qu'on pourrait imaginer est que le dixième problème de Hilbert pour l'existence d'une solution rationnelle à des équations diophantiennes serait, justement, indécidable mais non ramenable au problème semi-décidable universel (le problème de l'arrêt). Ce serait surprenant, et, pourtant, ça ne contredit rien de ce qu'on sait (ou en tout cas, de ce que je sais) sur la question, notamment le fait qu'on ne sache pas trouver un algorithme mais qu'on n'arrive pas non plus à ramener le problème à la décision sur les entiers en définissant un Z de façon diophantienne dans les rationnels.

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