Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.(Les mathématiques peuvent être définies comme la discipline dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.) — Bertrand Russell (Recent Work on the Principles of Mathematics)
Je vais peut-être décevoir (ou au contraire rassurer ?) mon lecteur en avouant que je n'ai aucune intention d'essayer de répondre à la question qui sert de titre à cette entrée ; je vais tout au plus essayer de vulgariser un élément de réponse à une minuscule partie de cette question (ou d'une question proche), sur laquelle on peut dire des choses « techniquement » (c'est-à-dire : logiquement) précises. C'est déjà tout un programme.
[Ajout : cette entrée ultérieure évoque vaguement les mêmes questions, mais sous un angle différent ; je ne sais pas dans quel ordre il vaut mieux les lire.]
La plupart des mathématiciens (et même si ce n'est pas vraiment mon
avis, je dois reconnaître qu'il est très répandu) conviendront que
l'activité d'un mathématicien est de produire des théorèmes
et des démonstrations. Par opposition, disons, aux
définitions, exemples ou conjectures, qui forment certainement aussi
une partie importante de l'activité en question, mais à laquelle
l'opinion dont je parle attribue moins d'importance ou de dignité.
Une démonstration est un argument logique plus ou moins
formel qui suit certaines règles codifiées pour partir d'axiomes ou
d'hypothèses et arriver à une conclusion : un énoncé qui est la
conclusion d'une démonstration (connue !) est un théorème
(ou une proposition, un lemme, un corollaire, selon sa difficulté, son
importance et sa relation logique ou didactique à d'autres énoncés du
sujet en cours de développement). Les règles du raisonnement, un peu
comme celles des scolastiques d'autrefois (barbara,
celarent, darii, ferio
), sont supposées assez évidentes pour qu'on
doute assez peu qu'elles préservent la vérité lorsqu'elles sont
correctement appliquées : si les hypothèses de la démonstration
sont vraies alors la conclusion l'est aussi ; donc, tout
théorème produit à partir d'axiomes vrais est également vrai.
Mais quels sont les axiomes ? Un certain consensus, apparu au
cours du XXe siècle, et maintenant assez fermement enraciné
dans, disons, le dogme officiel des mathématiques, est que les axiomes
qui fondent les mathématiques sont ceux de
la théorie
des ensembles de Zermelo-Fraenkel (en
abrégé ZFC : le ‘C’ précise l'inclusion de
l'axiome du choix, qui n'est pas du tout ce dont j'ai envie de parler
à présent), les règles de raisonnement étant celles de
la logique
du premier ordre. Autrement dit, sauf mention explicite du
contraire, ce qu'un mathématicien appelle théorème
est un
théorème de ZFC, et sa démonstration pourrait être rendue
complètement formelle (une manipulation syntaxique fondée sur des
règles de réécritures à partir des axiomes de ZFC pour
arriver à ce théorème comme conclusion). C'est du moins le dogme
officiel parce que, dans la pratique, beaucoup de mathématiciens non
logiciens seraient probablement incapables de citer les axiomes
de ZFC (ou de d'expliciter les règles de raisonnement de
façon formelle et automatique) ; et la tâche d'expliciter complètement
la démonstration de n'importe quel théorème modérément compliqué à
partir des axiomes fondamentaux et en suivant les règles mécaniques
est au mieux titanesque (même si les progrès de
la vérification
formelle ont montré qu'on pouvait arriver à des choses). Mais le
dogme a le bon goût d'éviter des discussions sur les fondements des
mathématiques que beaucoup de mathématiciens trouvent oiseuses ; il
asseoit les mathématiques sur des bases solides et non dénuées
d'élégance (et où, par exemple, la notion d'infini n'a plus rien de
mystérieux ou de précaire) :
Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.(Du paradis que Cantor nous a créé, nul ne doit nous chasser.) — David Hilbert (Über das Unendliche)
Les théorèmes mathématiques habituels (c'est-à-dire, en excluant pour l'instant des mathématiques tout ce qui est trop près de la logique) portent sur des objets comme les groupes, les anneaux, les espaces topologiques, les variétés différentiables, les fonctions de la variable réelle, les espaces de Banach, que sais-je encore, et, bien sûr, les entiers (disons, les entiers naturels). Bizarrement, aucun de ces objets n'« existe » dans ZFC : la seule chose (le seul type d'objet) que ZFC connaît, ce sont des ensembles. (Un ensemble est un objet mathématique très simple : il contient des objets, appelés ses éléments : il ne retient de chaque élément possible que sa présence ou son absence dans l'ensemble — il ne peut pas y avoir plusieurs fois le même élément dans l'ensemble.) Les éléments des ensembles considérés par ZFC sont eux-mêmes des ensembles, dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles, et ainsi de suite (et un des axiomes de ZFC, l'axiome de régularité ou axiome de fondement, affirme qu'à jouer au petit jeu de passer de façon répétée d'un ensemble à un élément de celui-ci, en un nombre fini d'étapes on aboutit toujours à l'ensemble vide qui n'a plus d'éléments et qui met donc fin au jeu). Tout autre objet mathématique (groupe, entier naturel, nombre réel, faisceau étale) doit être pour ainsi dire « codé » comme un ensemble, ce codage n'étant pas très différent dans son esprit de celui qui vaut dans un ordinateur et qui fait qu'une page Web, une image ou une musique est représentée, au final, par une suite de 0 et de 1 : quelque part, se demander quels sont les éléments du nombre réel π (puisqu'il doit être codé comme un entier) est à peu près aussi intéressant ou intelligent, comme question, que se demander quel est le premier bit (0 ou 1) de la 5e symphonie de Beethoven. L'avantage du codage, toutefois, c'est que ZFC n'a pas à s'embarrasser à connaître toutes les notions farfelues que les mathématiciens inventent : il ne connaît que les ensembles, tout le reste est écrit sous forme de définitions préalables aux théorèmes.
Ce codage (et donc, ce dogme orthodoxe selon lequel toutes les mathématiques sont écrites dans le langage de ZFC ; ou en tout cas, l'illusion que ce dogme est suivi) a au moins deux inconvénients. Le premier, c'est qu'il est au moins intellectuellement insatisfaisant de penser qu'un théorème qui devrait porter sur la structure algébrique, disons, du groupe de Mathieu est, en fait, écrit sur un codage particulier et accidentel de ce groupe comme un ensemble : les ensembles ont juste ceci pour eux que c'est la structure de données (pour parler de nouveau comme un informaticien) la plus simple qui permettait de coder toutes les mathématiques, mais cette structure est assez déconnectée de celle à laquelle on s'intéresse vraiment. Le second inconvénient, c'est que les ensembles apportent leurs subtilités logiques dont on ne voudrait peut-être pas, et que, finalement, ZFC est beaucoup trop fort pour faire toutes les mathématiques usuelles. Je vais essayer d'expliciter.
⁂
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.(Les entiers ont été faits par Dieu, tout le reste est l'œuvre de l'homme.) — Leopold Kronecker (cité par Heinrich Martin Weber)
La majorité des mathématiciens (et peut-être de tous les gens qui
comprennent la question) conviendront probablement qu'un énoncé
portant uniquement sur les entiers naturels, un
énoncé arithmétique,
par exemple pour
tout entier n≥3, les seules solutions
de xn+yn=zn
avec x,y,z entiers sont celles où
l'un de ces trois nombres est nul
, a un sens bien défini, et donc
qu'il est vrai ou faux. (Techniquement,
par énoncés arithmétiques
je veux parler d'énoncés en logique
du premier ordre et dans le langage de l'arithmétique — avec,
disons, les opérations + et ×, l'exponentiation pouvant se définir au
prix d'un petit travail.) Bref, il s'agit d'une certaine forme
de platonisme :
l'idée, au moins atténuée, que les entiers naturels existent
réellement, et qu'il y a un sens à se poser des questions, même si on
ne peut pas forcément y répondre, portant sur une infinité d'entre
eux, tant que ces questions sont mathématiquement bien formulées.
(J'ai déjà ranté à ce sujet,
d'ailleurs.) Il y a sans doute aussi des gens qui objecteront que la
question de savoir si le 10↑(10↑(10↑100))-ième nombre
premier se termine par 1, 3, 7 ou 9, bien qu'il s'agisse d'un énoncé
arithmétique et même complètement fini, est une question dénuée de
sens puisque jamais personne ne pourra mener le calcul, mais ces gens
sont rarement mathématiciens, et je soupçonne les quelques
mathématiciens qui soutiennent ce genre de thèses de le faire plus par
provocation que par conviction (si on refuse l'idée qu'une infinité
d'entiers naturels existe réellement, je me demande comment on
explique le hasard faisant que x×y, aussi loin
qu'on pousse le calcul expérimentalemnt, a toujours l'air de
valoir y×x, et je me demande comment on peut
faire des mathématiques).
En revanche, pour un énoncé portant non plus sur les entiers mais
sur les ensembles (ou, du coup, tout ce qui peut être codé avec eux,
c'est-à-dire, tout), l'idée qu'il existe un vrai
intangible sur
ces concepts est plus douteuse. On sait, par exemple,
que ZFC ne résout pas
la question
suivante : tout ensemble de nombres réels peut soit être mis en
correspondance avec (c'est-à-dire, a “autant” d'éléments
que) tous les nombres réels soit avec un ensemble d'entiers
. Même
si le consensus parmi les théoriciens des ensembles est maintenant
qu'il est préférable de considérer cet énoncé (l'hypothèse du
continu) comme faux, la question de savoir s'il est
« vraiment » faux (sic !) est une question plutôt dénuée de sens : la
situation est plutôt quelle sorte d'ensembles on veut considérer,
quelle sorte d'ensembles est souhaitable, quelle sorte d'ensembles
(Menschenwerke) se comporte bien pour les
mathématiques qu'on veut faire. Un peu comme la question
du cinquième
postulat d'Euclide : ce dernier est vrai sur le plan mais faux sur
la sphère, donc la question de savoir s'il est vrai ou faux n'a pas
lieu, ce qui faut se demander est si on veut faire de la géométrie
plane, de la géométrie hyperbolique, de la géométrie sphérique (ou
encore autre chose). On peut choisir de faire de la théorie des
ensembles avec l'hypothèse du continu, ou sans (et dans ce cas, avec
éventuellement telle ou telle autre hypothèse pour la remplacer). En
revanche, s'agissant des entiers naturels, on a l'impression qu'on n'a
pas une telle liberté : s'il y a des énoncés sur les entiers naturels
que ZFC ne tranche pas (et il y en a forcément, je vais y
venir), on n'a pas la liberté de considérer tels entiers naturels
plutôt que tels autres — parce que les entiers naturels ils sont
censés vraiment exister, pouvoir être écrits, au moins
théoriquement et conceptuellement, avec un stylo sur un papier. Dans
le langage de Kronecker, Dieu les a créés, nous n'avons pas le pouvoir
de les choisir ; de façon moins théiste, il existe un modèle
privilégié de l'arithmétique (peut-être lié à l'univers physique dans
lequel nous vivons, d'ailleurs).
⁂
On pourrait être tenté d'en conclure qu'au lieu de faire de la
théorie des ensembles on devrait faire de l'arithmétique. Il existe
un système formel censé codifier l'arithmétique : ce sont
les axiomes
de Peano (ou l'arithmétique de Peano
, ici je parle de
la théorie du premier ordre). Il est beaucoup moins évident
d'imaginer comment coder les théorèmes mathématiques parlant d'objets
sophistiqués en termes d'entiers naturels qu'en termes d'ensembles,
mais imaginons qu'on s'intéresse uniquement aux théorèmes portant sur
les entiers. Les axiomes de Peano sont une conséquence de ceux
de ZFC (sur l'ensemble ω des entiers naturels codés
dans ZFC), donc tout énoncé arithmétique qui découle des
axiomes de Peano découle aussi de ZFC. La question se
pose de savoir si la réciproque est vraie : les énoncés arithmétiques
démontrés par ZFC (et qui se trouvent être
arithmétiques) sont aussi démontrables à partir des axiomes de Peano
(et qui sont, eux, forcément arithmétiques). La réponse est
inattendue : c'est non, certainement pas ! et pourtant, en
pratique, si…
.
La réponse non
vient
du génie
de Gödel. La première remarque à faire, c'est que les
démonstrations mathématiques, une fois qu'on précise complètement le
cadre dans lequel on les fait, peuvent elles-mêmes être étudiées comme
un objet mathématique (et la question de savoir si machin
ou truc est un théorème devient une question mathématique).
Et il y a mieux : cette question est une
question arithmétique, puisque les démonstrations et les
théorèmes, étant des objets essentiellement finis, peuvent très bien
se coder comme des entiers (par exemple, imaginez-en une
représentation informatique quelconque, et lisez la suite de 0 et de 1
comme un grand nombre : les détails n'ont aucune importance), et que
les règles de démonstration, une fois mécanisées, peuvent s'exprimer
comme des opérations arithmétiques (compliquées, mais explicitables)
sur ces entiers. Donc des affirmations comme machin est
un théorème de ZFC
ou truc ne découle
pas des axiomes de Peano
deviennent elles-mêmes des affirmations
arithmétiques (qui peuvent elles-mêmes faire l'objet d'une
démonstration, par exemple dans ZFC, ou dans
l'arithmétique de Peano). La deuxième remarque, c'est qu'il y a une
façon
(astucieuse,
mais pas très compliquée) de produire un énoncé
arithmétique G, qui affirme G n'est pas un
théorème
(selon ce que vous voudrez : un théorème
de ZFC, un théorème de l'arithmétique de Peano) ;
c'est-à-dire en quelque sorte un énoncé qui dit : je ne
suis pas un théorème
. C'est un peu difficile à visualiser, mais
c'est un énoncé vraiment arithmétique, c'est-à-dire portant sur des
entiers naturels, et qui dit que si vous manipulez des entiers d'une
certaine manière (codant les règles de déduction et les axiomes dans
le système que vous avez choisi : ZFC, Peano), vous ne
tomberez pas sur un entier codant une démonstration de ce G
lui-même.
Or si on fait l'hypothèse que l'énoncé G qui dit je
ne suis pas un théorème de l'arithmétique de Peano
(je choisis
Peano pour l'exemple) soit un théorème de l'arithmétique de Peano, il
devrait être vrai (sinon ce sont les axiomes de Peano qui sont faux).
Étant vrai, puisqu'il affirme ne pas être un théorème, il ne devrait
pas être un théorème, et on a une contradiction à ce qu'on a supposé.
C'est donc le contraire de cette hypothèse qui est
vrai : G n'est pas un théorème de l'arithmétique
de Peano ; et, n'étant pas un théorème, il est vrai (puisque c'est ce
qu'il dit). Ça ressemble aussi à une contradiction, mais cette fois
ce n'en est pas une : G est vrai, mais l'arithmétique de
Peano n'arrive pas à le démontrer — elle est trop faible pour
ça. Pourtant, nous, nous avons réussi à démontrer G (je
viens de le faire en concluant G est vrai
). Le
secret, c'est que nous n'avons pas travaillé dans l'arithmétique de
Peano ; il n'est pas évident de voir exactement à quel endroit on en
est sorti (et c'est encore moins évident vu que je n'ai pas explicité
les axiomes de Peano), mais c'est dans la partie du raisonnement où
j'ai écrit il devrait être vrai (sinon ce sont les axiomes de Peano
qui sont faux)
: le problème est que dans la mesure
où machin est un entier naturel codant un énoncé
arithmétique, dire machin est un théorème (de Peano)
est bien un énoncé arithmétique, mais dire machin est
vrai
ne l'est pas (on peut bien dire machin est
vrai
, lorsque machin est quelque chose d'explicite, en
disant juste machin
, mais on ne peut pas définir la
vérité d'un entier codant un énoncé : ce point est subtil, mais
crucial). Par contre, ma démonstration est correcte
dans ZFC (dans ZFC, il est facile de coder
la relation machin est vrai des entiers naturels
) :
donc, dans ZFC, l'énoncé arithmétique G (et,
du coup, le fait qu'il ne soit pas un théorème de Peano) est bien un
théorème ! C'est là le fameux théorème de Gödel.
C'est un théorème très glissant que celui de Gödel, parce qu'il en
existe quantité de variantes, et parce que les démonstrations font
intervenir un système formel qui dit qu'un énoncé est ou n'est pas un
théorème d'un autre système formel, et parfois des choses plus
compliquées : on s'y perd facilement, quand on n'a pas l'habitude.
Mais l'idée générale est très simple, et de façon très informelle,
c'est que si je dis à quelqu'un tu ne peux pas prouver que j'ai
raison !
, alors j'ai forcément raison, et il ne peut pas le
prouver. (La différence, c'est que dans le langage courant, on peut
facilement créer des paradoxes, dire des choses comme cette phrase
est fausse
: dans le langage mathématique, on ne peut pas, donc le
génie de Gödel a été de s'apercevoir qu'on pouvait quand même
exploiter des phrases auto-référentielles.)
De façon générale, si vous avez une théorie formelle T
(par exemple l'arithmétique de Peano, ou ZFC) qui permet
de faire de l'arithmétique, et qui a des règles codables dans
l'arithmétique, vous pouvez considérer un énoncé
arithmétique G qui affirme T ne démontre
pas G
. Si T démontrait G, alors
certainement elle démontrerait T
démontre G
(à partir d'une démonstration
de G vous trouvez facilement une démonstration du fait
qu'il existe une démonstration de G), c'est-à-dire
précisément la négation de G : donc T
démontrerait à la fois G et sa négation, et T
est incohérente (elle démontre tout et son contraire). A
contrario, ceci signifie qu'en ajoutant à T la simple
hypothèse T est cohérente
(qui, de nouveau, est un
énoncé arithmétique), on permet à cette nouvelle
théorie T′ de démontrer G ; or
si T ne démontrait pas G, c'est qu'elle est bien
strictement plus faible que T′, donc elle ne démontre
pas la cohérence de T. C'est là le second théorème de
Gödel : une théorie T cohérente ne peut pas démontrer sa
propre cohérence.
⁂
Je reviens à mes moutons.
Je viens d'expliquer pourquoi ZFC prouve des énoncés
arithmétiques que les axiomes de Peano ne permettent pas de prouver :
explicitement, les axiomes de Peano sont cohérents
(c'est-à-dire …ne permettent pas de prouver 0=1
) est un
énoncé arithmétique qui est un théorème de ZFC mais qui
ne découle pas des axiomes de Peano. Voici donc un énoncé, portant
uniquement sur des entiers naturels, qu'on ne sait pas démontrer sans
passer par des ensembles. Et qui suggère la question épistémologique
suivante : si on n'est pas convaincu que les ensembles « existent »
dans le même sens que les entiers existent, sur quoi est-on fondé pour
accepter les conséquences arithmétiques de ZFC ?
(Pourquoi ces ensembles, qui n'existent peut-être pas vraiment,
ont-ils des conséquences bien tangibles sur les entiers qui, eux,
existent ?)
Le théorème de Gödel s'applique bien sûr aussi à ZFC lui-même si celui-ci est cohérent : il permet de dire que ZFC, s'il et cohérent, ne peut pas montrer sa cohérence (qui est pourtant un énoncé arithmétique). Bien sûr, Peano peut encore moins. On peut néanmoins montrer la cohérence de ZFC en ajoutant à ZFC des axiomes plus forts, comme l'existence de certains « gros » ensembles (un cardinal inaccessible), mais, évidemment, la théorie ainsi augmentée ne prouvera pas sa propre cohérence (si elle est cohérente).
Une façon plus inattendue de lire le théorème de Gödel est la
suivante : supposons qu'un mathématicien ait démontré non pas
l'hypothèse de Riemann (remplacez par votre conjecture préférée) mais
l'énoncé suivant : l'hypothèse de Riemann est un théorème
de ZFC
(cela aussi dans ZFC). Doit-on
en conclure que l'hypothèse de Riemann est démontrée ? La première
réaction est de dire oui : si on a démontré que l'hypothèse de Riemann
a une démonstration dans ZFC, c'est qu'elle a une
démonstration, donc elle est un théorème. Pourtant, ce n'est pas le
cas (c'est exactement le même problème que celui qui consistait, plus
haut, à tenir dans Peano le raisonnement que si G est une
conséquence des axiomes de Peano qui sont vrais, alors il est
certainement vrai) : certainement ZFC croit à la véracité
de ses propres axiomes, mais il ne peut pas formaliser la notion
de vérité
de façon à pouvoir dire que toute conséquence de ces
axiomes est elle-même vraie. D'ailleurs, si on remplace l'hypothèse
de Riemann par 0=1
dans le raisonnement, on ne peut pas dire
dans ZFC que
(i.e., 0=1
est un théorème
de ZFCZFC est incohérent
)
soit équivalent à 0=1 (i.e., que ce n'est pas le cas), car cela
reviendrait à prouver la cohérence de ZFC, or Gödel nous
prédit justement qu'on ne peut pas y arriver (sauf si c'est
faux…). Dans le cas de l'hypothèse de Riemann, notre
mathématicien aurait en fait démontré qu'elle découle
de ZFC plus l'axiome d'existence d'un cardinal
inaccessible (comme on n'a pas moins, ou pas plus, de raison de croire
à la possibilité et aux conséquences arithmétiques d'un cardinal
inaccessible qu'à celles de l'univers de ZFC, on peut
s'estimer satisfait, mais néanmoins les règles du dogme officiel n'ont
pas été satisfaites).
De façon générale, il est sans doute étonnant d'apprendre que si on
ajoute à ZFC une infinité d'axiomes (un schéma d'axiomes)
affirmant pour tout énoncé P que si P est un
théorème de ZFC, alors P
, on a fait une
addition tout à fait substantielle au système. Épistémologiquement,
ceci pose la question de savoir si on doit croire à ce schéma, et
pourquoi. (Pour ceux qui aiment les grands cardinaux, il découle du
schéma d'axiomes selon lequel toute classe close cofinale —
explicitement définie — d'ordinaux contient un cardinal
inaccessible.) Ne pas y croire est déplaisant : si on croit
que ZFC dit la vérité, on serait bien obligé de le croire
quand il dit qu'il démontre un théorème ! Mais y croire est également
déplaisant : car une fois qu'on ajoute ce schéma d'axiomes, il
faudrait le rajouter à nouveau pour la théorie ainsi modifiée, et
ainsi de suite… mais ce et ainsi de suite
cache beaucoup
de poussière, de surprise, et de grands ordinaux chafouins. ((Pour
ceux qui voudraient en savoir plus, je renvoie au très bon livre
de Torkel
Franzén, Inexhaustibility: a non-exhaustive
treatment.))
⁂
Je reviens une nouvelle fois à mes moutons.
J'ai expliqué pourquoi ZFC prouve des énoncés
arithmétiques que les axiomes de Peano ne permettent pas de prouver,
et que c'est une question épistémologique épineuse de savoir pourquoi
on doit croire à de tels énoncés (ou si on doit croire à certains
énoncés au-delà de ZFC mais dont la véracité a l'air
d'être sous-entendue par celle de ZFC). Néanmoins, on a
une surprise pour ainsi dire dans le sens inverse quand on découvre
que : vraisemblablement, tous les théorèmes arithmétiques des
mathématiques usuelles (c'est-à-dire, hors de la logique et des
champs proches, ou de tous théorèmes conçus exprès pour réfuter cette
affirmation), démontrés dans ZFC, sont en fait
démontrables dans l'arithmétique de Peano (et même dans des
théories encore beaucoup plus faibles : par exemple l'arithmétique de
Peano dans laquelle le schéma de récurrence est limité à des formules
bien particulières, genre des formules semi-décidables par une machine
de Turing). En particulier, le théorème de Fermat-Wiles devrait,
vraisemblablement, découler des axiomes de Peano. Je
dis vraisemblablement
parce que c'est quelque chose qui fait
débat : tous les logiciens ont l'air fortement convaincus de ce fait
(voici un
article qui expose très bien la situation et le point de vue des
logiciens), les mathématiciens non logiciens sont généralement plus
sceptiques ; et évidemment, on ne connaît pas de démonstration du
théorème de Fermat-Wiles dans l'arithmétique de Peano : on pense juste
qu'il devrait y en avoir une (et on a des idées sur la façon de la
faire, mais ça ne peut évidemment pas être complètement systématique
puisque, je l'ai prouvé, il existe des théorèmes arithmétiques
de ZFC qui ne découlent pas de Peano : le point important
est que ces choses-là n'arrivent pas dans les « vraies »
mathématiques).
Devrait-on s'en réjouir ? Ce n'est pas clair. Le côté positif de cette constatation (si elle est vraie), c'est que les questions épistémologiques sur la véracité des conséquences arithmétiques de ZFC n'ont pas à nous tracasser : les vrais théorèmes mathématiques n'en ont pas besoin. Et ces vrais théorèmes sont fondés dans une théorie beaucoup plus élémentaire, donc plus vraisemblable, que ZFC. Le côté négatif, c'est que ce n'est pas ce qu'on fait, justement : on démontre nos théorèmes dans ZFC, qui est (au moins arithmétiquement) beaucoup trop forte pour ce dont les mathématiques ont besoin. On fait inutilement intervenir des constructions qu'on pourrait qualifier de douteuses. Mais les démonstrations reformulées dans l'arithmétique de Peano deviendraient probablement incompréhensibles ! Et un autre côté négatif, ou une autre façon de présenter le même, c'est que les mathématiques n'utilisent pas, et de très loin, toute la puissance de raisonnement qu'elles s'autorisent elles-mêmes (par le dogme orthodoxe) à suivre. C'est assez triste.
Sur ce dernier point, d'ailleurs, un thème récurrent de la logique est que la force des méthodes de raisonnement peut se mesurer sur une échelle graduée par des ordinaux : le fait que les mathématiques hors de la logique n'utilisent jamais de techniques de démonstration logiquement très fortes se voit au fait qu'il n'y a jamais de récurrence sur des ordinaux supérieurs ou égaux à ε0.