David Madore's WebLog: Quelques théorèmes de points fixes

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(dimanche)

Quelques théorèmes de points fixes

Je suis un peu débordé en ce moment par la préparation de deux cours[#] qui commencent dans deux semaines et dont je n'ai pour l'instant que des notes très éparses et inachevées, d'autant plus que j'enseigne autre chose en ce moment. Mais pendant la préparation d'un de ces cours, je suis tombé sur une difficulté mathématique au sujet de laquelle j'aimerais l'avis de mes lecteurs mathématiciens (il doit bien y en avoir) ou amateurs de mathématiques : ce n'est pas que je ne sache pas démontrer quelque chose, mais que je m'étonne de la façon dont je le démontre, et je trouve qu'il y a quelque chose de surprenant dans toute l'histoire. Bref, je vais commenter les ressemblances et différences entre quelques énoncés apparemment très semblables et surtout différentes démonstrations des énoncés en question.

[#] L'un de ces cours concerne la théorie des jeux ; ou plutôt les théories des jeux, parce qu'il y a plusieurs domaines que leurs spécialistes appellent théorie des jeux, selon le type de jeux étudiés, et dont l'intersection est relativement faible : pensez à celle (que je ne sais pas nommer plus précisément) qui cherche des équilibres de Nash et celle (en gros, la théorie combinatoire des jeux) qui cherche à calculer des valeurs de Sprague-Grundy, par exemple, chacune a tendance à se définir comme « la » théorie des jeux, et d'ailleurs ça m'énerve, en tout cas je voudrais parler des deux et de quelques autres encore. Mes notes en cours d'écriture sont ici. L'autre cours concerne les courbes algébriques, pour lequel il va s'agir de remanier profondément un cours de géométrie algébrique (anciennes notes ici) que je donnais déjà.

Voici quatre énoncés mathématiques très simples, en théorie élémentaire des ensembles, que je pourrais regrouper sous le label général de théorèmes de points fixes, et que je vais appeler successivement (P), (P$), (F) et (F$) :

(P) Soit X un ensemble : on note 𝒫(X) son ensemble des parties. Soit Ψ:𝒫(X)→𝒫(X) une application vérifiant les deux propriétés suivantes : (i) Ψ est progressive, c'est-à-dire que Ψ(A)⊇A pour tout A∈𝒫(X), et (ii) Ψ est croissante, c'est-à-dire que si AB alors Ψ(A)⊇Ψ(B). Alors il existe un plus petit A∈𝒫(X) tel que Ψ(A)=A (c'est-à-dire un A tel que Ψ(A)=A et que si A′ vérifie aussi Ψ(A′)=A′ alors AA′).

(P$) [Exactement le même énoncé que (P) sans supposer (i).] Soit X un ensemble : on note 𝒫(X) son ensemble des parties. Soit Ψ:𝒫(X)→𝒫(X) une application vérifiant la propriété suivante : Ψ est croissante, c'est-à-dire que si AB alors Ψ(A)⊇Ψ(B). Alors il existe un plus petit A∈𝒫(X) tel que Ψ(A)=A. [Un peu mieux : il existe un plus petit A tel que Ψ(A)⊆A, et ce A vérifie Ψ(A)=A.]

Pour les deux énoncés suivants, j'ai besoin de rappeler la notion de fonction partielle : si X et Z sont deux ensembles, une fonction partielle XZ est une fonction définie sur une partie de X et à valeurs dans Z ; on peut aussi la voir comme une partie de X×Z (à savoir, le graphe de la fonction) qui soit fonctionnelle au sens où si elle contient à la fois (x,z₁) et (x,z₂) pour le même xX alors forcément z₁=z₂. La relation fg entre fonctions partielles signifie alors que la fonction f prolonge la fonction g (i.e., que f est définie partout où g l'est, et qu'alors leurs valeurs coïncident).

(F) [Exactement le même énoncé que (P) avec des fonctions partielles XZ au lieu de parties de X.] Soient X et Z deux ensembles : on note 𝒟 l'ensemble des fonctions partielles XZ. Soit Ψ:𝒟→𝒟 une application vérifiant les deux propriétés suivantes : (i) Ψ est progressive, c'est-à-dire que Ψ(f)⊇f pour tout f∈𝒟, et (ii) Ψ est croissante, c'est-à-dire que si fg alors Ψ(f)⊇Ψ(g). Alors il existe une plus petite f∈𝒟 telle que Ψ(f)=f (c'est-à-dire un f tel que Ψ(f)=f et que si f′ vérifie aussi Ψ(f′)=f′ alors ff′). [Précision : on me fait remarquer à juste titre que cet énoncé est en fait totalement creux (cf. la mise à jour ci-dessous).]

(F$) [Exactement le même énoncé que (F) sans supposer (i), donc exactement le même que (P$) avec des fonctions partielles au lieu de parties.] Soient X et Z deux ensembles : on note 𝒟 l'ensemble des fonctions partielles XZ. Soit Ψ:𝒟→𝒟 une application vérifiant la propriété suivante : Ψ est croissante, c'est-à-dire que si fg alors Ψ(f)⊇Ψ(g). Alors il existe une plus petite f∈𝒟 telle que Ψ(f)=f. [Un peu mieux : il existe un plus petit f tel que Ψ(f)⊆f, et ce f vérifie Ψ(f)=f.]

(Nomenclature : j'appelle (P) et (P$) les énoncés sur les Parties, (F) et (F$) ceux sur les Fonctions partielles, et (P$) et (F$) les énoncés qui vous en donnent plus pour votre argent.) J'espère que j'ai écrit ces énoncés de façon à ce qu'il n'y ait pas le moindre doute sur leur signification formelle. L'objet dont chacun de ces énoncés affirme l'existence peut être qualifié de plus petit point fixe de Ψ.

Commentaires : Le sens intuitif de ces résultats est quelque chose comme le suivant : on a une opération Ψ qui, pour prendre l'exemple de l'énoncé (F), prend une fonction f et l'étend en une fonction peut-être définie sur un peu plus de points, et par ailleurs, Ψ possède une propriété de cohérence, à savoir que si on étend f, on étend aussi le résultat de l'opération Ψ(f) ; alors il existe une « clôture du vide » pour l'opération Ψ, c'est-à-dire qu'en partant de rien, l'opération Ψ vous permet d'arriver à une certaine fonction f à partir de laquelle l'opération Ψ ne la fait plus grandir. Pour donner un exemple d'application de (P$), considérer l'ensemble X=ℕ des entiers naturels, et l'opération Ψ qui à un ensemble A de naturels associe l'ensemble formé des entiers 2, 3 et tous les produits de deux éléments de A : le plus petit point fixe sera alors l'ensemble de tous les entiers qu'on peut fabriquer en multipliant 2 et 3 autant qu'on veut ensemble (à savoir l'ensemble des 2i·3j avec au moins un de i et j non-nul, mais peu importe) ; plus généralement, (P) ou (P$) peut servir à montrer l'existence de toutes sortes de « clôtures » sous des opérations variées. Généralement parlant, le concept de plus petit point fixe (ou de point fixe en général) apparaît très souvent en mathématiques, et il existe tout un labyrinthe — mais je crois vraiment que les énoncés que j'ai cités ci-dessus sont parmi les plus naturels.

Il est complètement évident que (P$)⇒(P) (parce qu'on suppose quelque chose de plus fort dans (P) pour arriver à la même conclusion) et de même que (F$)⇒(F). Il est aussi facile de voir que (F)⇒(P) et (F$)⇒(P$) grâce à l'« astuce » (si on peut l'appeler comme ça…) consistant à prendre pour Z un singleton (:=ensemble ayant un seul élément), de sorte qu'une fonction partielle XZ est essentiellement la même chose qu'une partie de X (à savoir la partie sur laquelle la fonction est définie). Du coup, (F$) est assurément le résultat le plus fort des quatre. (Les remarques que j'ai introduites par un peu mieux sont encore plus fortes que (P$) et (F$), on pourrait les appeler (P€) et (F€), mais en fait elles ne m'intéressent pas tellement en tant que telles : c'est juste que je ne sais pas démontrer (P$) ou (F$) sans obtenir directement ces résultats plus forts, et par ailleurs ils aident vaguement à comprendre comment les choses se passent.)

Mais si je prends la peine d'énoncer quatre résultats différents, c'est que le résultat (P) est extrêmement facile à démontrer :

Démonstration de (P) : Il existe des A tels que Ψ(A)=A (puisque l'ensemble X tout entier en est un). Soit C l'intersection de tous ces A. Alors C est inclus dans chacun de ces A, donc par (ii), Ψ(C) est inclus dans chacun des Ψ(A)=A ; du coup, Ψ(C) est inclus dans l'intersection des A en question, qui est justement C, et comme (i) donne l'inclusion dans l'autre sens, on a Ψ(C)=C. La construction même de C fait qu'il est bien le plus petit.

Je pense que n'importe quel mathématicien non seulement sait démontrer le résultat (P) à la lecture, mais tombera de plus essentiellement sur la démonstration que je viens de dire. Dans n'importe quel livre de maths, la démonstration serait simplement condensée en quelque chose comme l'intersection des points fixes de Ψ est elle-même un point fixe de Ψ comme on le vérifie facilement, et c'est donc le plus petit pour l'inclusion.

Bon, autant vous en donner un peu plus pour votre argent et démontrer (P$). Je vais le faire de deux façons différentes :

Démonstration de (P$) en utilisant (P) : Je suppose que Ψ seulement croissante (i.e., vérifiant (ii)), et j'appelle Ψ₁(A) := AΨ(A). Alors Ψ₁ vérifie (i) et (ii), donc par (P), il existe un plus petit A tel que Ψ₁(A)=A, ce qui signifie exactement Ψ(A)⊆A. Comme du coup (ii) donne Ψ(Ψ(A))⊆Ψ(A), le fait que A soit le plus petit à vérifier Ψ(A′)⊆A′ garantit AΨ(A), et on a bien Ψ(A)=A (et comme tout A′ qui vérifie Ψ(A′)=A′ vérifie en particulier Ψ(A′)⊆A′, il est bien inclus dans A, qui est donc le plus petit à vérifier Ψ(A′)=A′).

Démonstration directe de (P$) : Il existe des A tels que Ψ(A)⊆A (puisque l'ensemble X tout entier en est un). Soit C l'intersection de tous ces A. Alors C est inclus dans chacun de ces A, donc par croissance, Ψ(C) est inclus dans chacun des Ψ(A)⊆A ; du coup, Ψ(C) est inclus dans l'intersection des A en question, qui est justement C, ce qui prouve Ψ(C)⊆C. Par croissance, on a aussi Ψ(Ψ(C))⊆Ψ(C). Du coup, Ψ(C) est l'un des A qu'on a intersectés pour former C, ce qui montre Ψ(C)⊇C, et donc Ψ(C)=C. La construction même de C fait qu'il est le plus petit A′ tel que Ψ(A′)⊆A′, et comme tout A′ qui vérifie Ψ(A′)=A′ vérifie en particulier Ψ(A′)⊆A′, il est bien inclus dans C, qui est donc le plus petit à vérifier Ψ(A′)=A′.

Ça reste très simple même si je trouve ça un chouïa moins transparent. Mais là où les choses sont bizarres, c'est quand on considère (F) et (F$). C'est ici que j'invite mes lecteurs mathématiciens à faire une pause pour se demander comment ils démontreraient ces énoncés, parce que je serais vraiment curieux de savoir à quoi ils penseront spontanément. Je n'arrive pas à décider s'il y a une vraie difficulté ou pas : vue la tête de l'énoncé et vue les démonstrations que j'ai données de (P) et (P$), on se dit que (F) et (F$) ne doivent pas être difficiles. Mais l'idée qu'on a envie d'essayer en premier est sans doute de prendre l'intersection de toutes les fonctions partielles f telles que Ψ(f)⊆f, et elle se heurte à l'obstacle qu'il n'est pas évident a priori qu'il existe un tel f (i.e., qui soit une fonction partielle) ; ou alors, on peut être tenté de prendre l'intersection de toutes les parties A de X×Z telles que Ψ(A)⊆A (en prolongeant un peu intelligemment Ψ de 𝒟 à 𝒫(X×Z)), mais alors il n'est pas du tout évident que cette intersection soit une fonction. Non, vraiment, réfléchissez-y avant de lire la suite !

Voici maintenant une démonstration de (F$), que je trouve presque hallucinante, même s'il faut admettre qu'elle a une certaine beauté :

Démonstration de (F$) :

Montrons d'abord que si il existe une fonction partielle f∈𝒟 telle que Ψ(f)=f, ou même simplement Ψ(f)⊆f, alors il en existe une plus petite. Pour cela, il suffit de considérer l'intersection h de toutes les f telles que Ψ(f)⊆f (considérées comme des parties de X×Z) : dès lors qu'il existe au moins un f∈𝒟 tel que Ψ(f)⊆f, cette intersection h est bien définie et est bien un élément de 𝒟. Si Ψ(f)⊆f alors hf (puisque h est l'intersection des f), donc Ψ(h)⊆Ψ(f) (par croissance de Ψ), donc Ψ(h)⊆f (par transitivité), et comme ceci est vrai pour tous les f dont l'intersection est h, on a finalement Ψ(h)⊆h ; mais la croissance de Ψ donne alors aussi Ψ(Ψ(h))⊆Ψ(h), et du coup Ψ(h) est l'une des f qu'on a intersectées pour former h, et on a ainsi hΨ(h) ; bref, Ψ(h)=h, et h est à la fois le plus petit élément f∈𝒟 vérifiant Ψ(f)⊆f (de par sa construction) et le plus petit vérifiant Ψ(f)=f (puisqu'il vérifie cette propriété plus forte).

Reste à montrer qu'il existe bien une fonction partielle f telle que Ψ(f)=f, ou même simplement Ψ(f)⊆f. Pour cela, on introduit l'ensemble ℰ des f∈𝒟 qui vérifient Ψ(f)⊇f (inclusion dans le sens opposé du précédent !). Notons que ℰ n'est pas vide puisque ∅∈ℰ (où ∅ est la fonction vide, définie nulle part).

Soit maintenant 𝔐 l'ensemble des applications (totales !) T:ℰ→ℰ qui vérifient (i) T(f)⊇f pour tout f∈ℰ et (ii) si fg alors T(f)⊇T(g). Ainsi id∈𝔐 (trivialement) et Ψ∈𝔐 (par définition de ℰ et par croissance de Ψ) ; et si T,T′∈𝔐 on a T′∘T ∈ 𝔐 (en notant T′∘T la composée). L'observation suivante sera cruciale : si g∈ℰ et T,T′∈𝔐, alors on a à la fois (T′∘T)(g) ⊇ T(g) (d'après (i) pour T′) et (T′∘T)(g) ⊇ T′(g) (d'après (i) pour T et (ii) pour T′).

Affirmation : si g∈ℰ alors la réunion des T(g) pour tous les T∈𝔐 est, en fait, une fonction partielle. En effet, l'observation faite ci-dessus montre que si T,T′ ∈ 𝔐 alors les fonctions partielles T(g) et T′(g) sont toutes deux restrictions d'une même fonction partielle (T′∘T)(g), donc il ne peut pas y avoir de conflit entre leurs valeurs (au sens où si toutes les deux sont définies en un x∈ X, elles y coïncident) — c'est exactement ce qui permet de dire que la réunion est encore une fonction partielle. Notons U(g) := ⋃T∈𝔐(T(g)) cette réunion. On a au moins U(g)∈𝒟. Mais en fait, comme U(g) prolonge tous les T(g), la croissance de Ψ assure que Ψ(U(g)) prolonge tous les Ψ(T(g)), qui prolongent eux-mêmes les T(g) (puisque T(g) ∈ ℰ), bref Ψ(U(g)) ⊇ U(g) et ainsi U(g)∈ℰ.

Mais alors U∈𝔐 (on vient de voir que U est une fonction ℰ→ℰ, et les propriétés (i) et (ii) sont claires). En particulier, ΨU∈𝔐, donc (ΨU)(g) est l'une des T(g) dont U(g) est la réunion, et on a donc (ΨU)(g) ⊆ U(g), l'inclusion réciproque ayant déjà été vue (et de toute façon on n'en a pas besoin). On a donc bien trouvé une fonction partielle f := U(∅) telle que Ψ(f)⊆f (même Ψ(f)=f).

C'est quand même bizarrement compliqué, comme façon de faire ! (D'ailleurs, je veux quand même bien qu'on me confirme que c'est correct et compréhensible, comme démonstration.)

Bon, ceci étant, le David Madore étant un grand fan des ordinaux, on peut aussi procéder comme ceci :

Seconde démonstration de (F$) (utilisant les ordinaux) :

On pose f0 = ∅, et par induction sur l'ordinal α on définit fα+1 = Ψ(fα) et si δ est un ordinal limite alors fδ = ⋃γ<δ fγ. On montre simultanément par induction sur α que fα est bien définie, est une fonction partielle, et, grâce à la croissance de Ψ, prolonge fβ pour chaque β<α (c'est ce dernier point qui permet de conclure que ⋃γ<δ fγ est une fonction partielle lorsque δ est un ordinal limite : la réunion d'une famille totalement ordonnée pour l'inclusion de fonctions partielles est encore une fonction partielle). Les inclusions fβfα pour β<α ne peuvent pas être toutes strictes sans quoi on aurait une surjection d'un ensemble sur la classe des ordinaux. Il existe donc τ tel que fτ+1 = fτ, c'est-à-dire Ψ(fτ) = fτ. D'autre part, si Ψ(h) = h, alors par induction sur α on montre fαh pour chaque α (l'étape successeur étant que si fαh alors fα+1 = Ψ(fα) ⊆ Ψ(h) = h), donc en particulier fτh, et fτ est bien le plus petit f tel que Ψ(f) = f.

Oui, c'est beaucoup plus simple. Ça pourrait servir de pub pour les ordinaux, je devrais m'en réjouir.

Mais là, je me dis : ce n'est pas moral : l'énoncé élémentaire (F$), qui ne fait pas intervenir d'ordinaux, ne devrait pas en avoir besoin pour sa démonstration, et de fait, (P$) n'en avait pas besoin. Comment se fait-il que la démonstration de (P$) sans ordinaux se complique immensément quand on passe à (F$), alors qu'avec les ordinaux les quatre énoncés se démontrent exactement pareil (construire l'itération transfinie de Ψ, et constater que c'est l'objet recherché). J'ai passé beaucoup de temps à me gratter la tête sur comment « enlever » les ordinaux dans la démonstration ci-dessus, sans succès.

Il y a sans doute aussi moyen de s'en sortir en invoquant astucieusement le lemme de Zorn. Mais c'est encore pire, comme atteinte aux bonnes mœurs mathématiques : le résultat ne dépend en aucune manière de l'Axiome du Choix (et l'objet construit est complètement canonique), il est scandaleux de se servir du Choix pour abréger la démonstration. Au contraire, le genre de théorèmes de points fixes que j'ai cités peut servir à démontrer le lemme de Zorn à partir de l'Axiome du Choix.

J'ai aussi passé pas mal de temps à chercher à passer de (F) à (F$) un peu de la manière dont je suis passé de (P) à (P$) ci-dessus, là aussi sans succès (si on tente de définir Ψ₁(f) := fΨ(f), rien ne garantit que c'est une fonction ; si on cherche à se limiter aux f pour lesquels ç'en est une, il me semble que ça ne marche vraiment pas).

Mise à jour () : Fab, dans les commentaires, me fait remarquer à juste titre que l'énoncé (F), quoique juste, est, en fait, creux. En effet, soit Z est un singleton, auquel cas (F) est équivalent à (P) (toujours grâce à l'« astuce » consistant à remarquer qu'une fonction partielle XZ est alors essentiellement la même chose qu'une partie de X, à savoir la partie sur laquelle la fonction est définie). Soit Z est vide, auquel cas tout est trivial. Soit Z a strictement plus d'un élément, auquel cas le plus petit point fixe de Ψ est automatiquement la fonction vide. En effet, si Ψ(∅) est une fonction g non vide, disons g(x)=z avec xX et zZ, on considère h telle que h(x)=z′ où z′≠z (possible car Z n'est pas un singleton) : on a alors d'une part Ψ(h)⊇Ψ(∅)=g par croissance, et d'autre part Ψ(h)⊇h par progressivité, or g et h sont incompatibles en x, contradiction (c'est donc que Ψ(∅)=∅, et il est le plus petit point fixe de Ψ). Il n'était donc pas étonnant que je n'arrivasse pas à déduire (F$) de (F). Maintenant, je ne sais pas si cette remarque rend toute l'histoire plus claire ou encore plus mystérieuse…

Donc, quelque chose me gêne vraiment dans l'histoire, pas tellement au niveau mathématique mais au niveau métamathématique. Parfois l'histoire ne s'arrête pas à démontrer un théorème, mais à comprendre les différentes façons de le démontrer, et comment elles se relient les unes aux autres.

Mais il faut que j'admette que j'ai caché quelque chose dans l'histoire, parce que j'en sais plus que je ne l'ai dit : c'est le contenu de cet article d'Andrej Bauer et Peter LeFanu Lumsdaine (On the Bourbaki-Witt Principle in Toposes), duquel d'ailleurs (cf. leur théorème 3.2, qui n'est pas de ces auteurs mais que j'ai appris par eux) je tire essentiellement la première démonstration (« hallucinante ») de (F$) donnée ci-dessus. Pour décoder un peu ce qu'ils racontent, ils s'intéressent à des principes affirmant l'existence de points fixes d'opérateurs Ψ:𝒟→𝒟 (où 𝒟 est un ensemble partiellement ordonné) en supposant soit (i) que Ψ est progressif, i.e., xΨ(x) pour tout x, soit (ii) que Ψ est croissant, i.e., que xy implique Ψ(x)≤Ψ(y), et en supposant que 𝒟 admet des bornes supérieures soit (a) quelconques, soit (b) de parties dirigées (:=dans lesquelles un nombre fini quelconque d'éléments admettent toujours un majorant), soit (c) de chaînes (:=parties totalement ordonnées). Cela donne six principes de points fixes en combinant les hypothèses (i) et (ii) avec les hypothèses (a), (b) et (c) : parmi eux, (i.a) est trivial, (ii.a) et (ii.b) sont démontrables de façon « constructive » (valables dans un « topos élémentaire »), c'est-à-dire sans utiliser le tiers exclu ni l'Axiome de Remplacement[#2], tandis que ni (i.b) et (i.c) (qui sont équivalents, et qu'ils appellent théorème de Bourbaki-Witt) ni (ii.c) (qu'ils appellent théorème de Knaster-Tarski) ne sont démontrables « constructivement », et ce défaut de constructivité passe par une question d'existence d'assez d'ordinaux (et la démonstration non-« constructive » se fait par induction transfinie exactement comme ci-dessus). • Le rapport avec ce que je disais au-dessus, c'est que l'ensemble des parties d'un ensemble X vérifie l'hypothèse (a) d'existence de bornes supérieures quelconques, tandis que l'ensemble des fonctions partielles XZ vérifie seulement (b) (et du coup (c) aussi, qui est plus faible). Ceci fournit une certaine lumière sur le problème : d'abord, ceci « explique » pourquoi (P) est plus simple que (P$), parce que la démonstration de l'existence d'un point fixe dans le cas (i.a) est triviale, on prend juste le plus grand élément de 𝒟, alors que dans le cadre (ii.a) il faut réfléchir un petit peu plus ; d'autre part, les ordinaux permettent d'utiliser la démonstration de (ii.c), tandis que si on veut éviter le Remplacement qu'ils utilisent intrinsèquement, il faut passer par (ii.b), or l'hypothèse (b) est plus délicate à mettre en œuvre que (c) (on n'a pas juste à prendre des unions de familles totalement ordonnées de fonctions, mais des familles dirigées de fonctions, et c'est ce que fait la démonstration qui explique que T(g) et T′(g) sont toutes deux restrictions d'une même fonction partielle (T′∘T)(g), donc il ne peut pas y avoir de conflit entre leurs valeurs). • Mais ceci ne clarifie pas complètement les choses, parce que le cadre dans lequel je me place est quand même différent : d'abord, je n'ai aucune objection à utiliser le tiers exclu, d'autre part, pour ce qui est de (F) je suis prêt à prendre (i) et (ii) comme hypothèses, pas juste l'une des deux, ensuite je me place dans un cadre où il y a des bornes inférieures représentées par les intersections, et de fait, je demande le plus petit point fixe, et enfin, il est parfaitement imaginable qu'une démonstration beaucoup plus simple existe dans le cadre concret d'un ensemble de fonctions partielles que dans le cadre abstrait d'un ensemble partiellement ordonné fût-il complet en tel ou tel sens. Donc je ne peux pas dire que j'aie la clé du mystère métamathématique.

[#2] En fait, je crois que ce n'est pas tant un question de tiers exclu, et moralement la démonstration vers les ordinaux ne l'utilise pas plus que les autres, que de Remplacement, qui fait marcher les ordinaux, donc constructif n'est peut-être pas le bon terme (c'est le terme standard, mais il suggère la mauvaise idée — moralement, les ordinaux même immenses sont parfaitement constructifs, c'est juste que le cadre métamathématique qu'on utilise pour faire des maths constructives limite aussi les ordinaux, et du coup on en est venu à utiliser un même terme pour une combinaison de choses différentes). Mais j'avoue que mes idées sur le rôle de Remplacement de l'affaire sont très incertaines : notamment, est-ce que l'énoncé (ii.c) si Ψ:𝒟→𝒟 est une application croissante où 𝒟 est un ensemble partiellement ordonné dans lequel toutes les chaînes admettent une borne supérieure, alors Ψ a un point fixe est un théorème de la théorie des ensembles de Zermelo ?

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