David Madore's WebLog: Une remarque sur la TVA et les arrondis

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(dimanche)

Une remarque sur la TVA et les arrondis

La TVA normale en France est de 20%. Est-ce que la loi ou les règles de comptabilité imposent que le commerçant définisse un prix hors taxes (exact en centimes), ajoute la TVA avec une règle bien définie d'arrondi (j'imagine : l'arrondi au plus proche), et calcule ainsi le prix toutes taxes comprises qui sera affiché ?

Parce que si c'est le cas, indépendamment de la valeur de la TVA et de la règle de calcul de l'arrondi, il y a des prix TTC qui ne devraient pas être possibles. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer les N prix hors taxes différents 0.01¤, 0.02¤, 0.03¤, etc., jusqu'à (N/100)¤ pour une valeur de N assez grande : en ajoutant la valeur de la taxe, on obtient N prix TTC (probablement différents, peut-être même pas si le mode d'arrondi est très bizarre, mais peu importe) jusqu'à (N′/100)¤ pour un N′>N (puisque la taxe augmente les prix, au moins s'ils ne sont pas très petits !). Or il y a N′ valeurs exactes au centime entre 0.01¤ et (N′/100)¤, donc les N valeurs considérées ne les prennent pas toutes. Il y a donc des prix TTC qu'on ne devrait jamais voir apparaître.

Et pour une valeur de TVA de 20% et l'arrondi au plus proche, il est vraiment facile de faire le cacul : ajouter la TVA revient à multiplier par 1.20 = 6/5, donc les pris hors taxes 0.01€, 0.02€, 0.03€, 0.04€ et 0.05€ deviennent les pris TTC 0.01€, 0.02€, 0.04€, 0.05€ et 0.06€ (ce dernier étant exact et sans arrondi), et ensuite tout est périodique de période six centimes sur le prix TTC (pour cinq centimes sur le prix HT). Autrement dit, si c'est l'arrondi au plus proche qui est pratiqué, on ne devrait jamais voir un prix TTC dont la valeur exprimée en centimes soit congrue à 3 modulo 6 (ou, ce qui revient au même d'après le théorème chinois : soit impaire et dont la somme des chiffres soit multiple de 3). Par exemple, un prix TTC de 2.25€ devrait être impossible : si le prix hors taxes est 1.87€, on arrondit à 2.24€, et s'il est de 1.88€, on arrondit à 2.26€, mais jamais à 2.25€. Si l'arrondi est fait à l'inférieur ou au supérieur, les valeurs impossibles seront différentes (pas de montants en centimes congrus à 5 modulo 6 dans le cas de l'arrondi à l'inférieur, et pas de montants en centimes congrus à 1 modulo 6 dans le cas de l'arrondi au supérieur), mais dans tous les cas, comme je l'ai montré ci-dessus, il devrait y avoir des valeurs impossibles.

Il se peut que je me trompe en pensant qu'on est tenu de définir un prix HT exact en centimes et appliquer la TVA seulement ensuite. Néanmoins, même si ce n'est pas une obligation, il est bien possible que certains commerçants procèdent ainsi : je devrais m'amuser à faire des statistiques sur les valeurs modulo 6 des prix en centimes des choses que j'achète au taux normal de TVA, pour voir si on trouve effectivement certaines valeurs moins souvent que d'autres.

J'ai commencé à regarder ma liste de courses d'aujourd'hui, mais je me suis rappelé que c'était de l'alimentaire, taxé à 5.5% ; or pour ça, vu que 1.055 = 211/200, il faut regarder les valeurs des prix modulo 211 : et, si je sais calculer modulo 6 de tête, je ne suis pas calculateur prodige, je ne calcule pas un reste de division euclidienne par 211 de tête pour voir s'il serait par hasard égal à 10, 29, 48, 67, 86, 105, 125, 144, 163, 182 ou 201 (valeurs impossibles si arrondi au plus proche). Néanmoins, on a inventé un truc appelé les ordinateurs, qui m'ont permis de trouver parmi mes achats taxés à 5.5% un prix de 2.01€ (un lot de yaourts) incompatible avec un arrondi au plus proche (1.90€ HT donne alors 2.00€ TTC tandis que 1.91€ HT donne 2.02€ TTC), un autre de 3.06€ (un lot de tiramisù) incompatible avec un arrondi à l'inférieur (dans ce cas, 2.90€ donne 3.05€ et 2.91€ donne 3.07€), et encore un de 2.50€ (un lot de carottes) incompatible avec un arrondi au supérieur (pour lequel 2.36€ donne 2.49€ et 2.37€ donne 2.51€). Maintenant, il est fort possible que la règle (définir un prix HT en centimes, appliquer la TVA et arrondir) ne soit pas juste, ou comporte des cas spéciaux par exemple pour les lots de plusieurs produits (de toute façon, il faudra bien décider, si on vend plusieurs articles identiques : comme le client s'attend à ce que les prix TTC s'ajoutent exactement, j'imagine que la TVA se calcule et s'arrondit ligne à ligne).

Bref, tout ceci mériterait d'être tiré au clair ! Si je peux faire un procès à Carrefour pour m'avoir arnaqué d'un centime sur le calcul de l'arrondi de la TVA dans 11 cas sur 211, je pourrais faire quelque chose comme 0.02% d'économies.

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