David Madore's WebLog: Objets mathématiques fascinants

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(dimanche)

Objets mathématiques fascinants

Un jour il faudra que je fasse un petit catalogue des objets mathématiques qui me fascinent le plus. Ça peut être pour l'élégance hypnotique de leurs symétries (E8, le réseau de Leech) ou pour l'universalité protéenne de leurs structures (l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble des degrés de Turing, le compactifié de Stone-Čech des entiers naturels), ça peut être pour leur existence exceptionnelle (les octonions) ou leur valeur de contre-exemple qui surprend l'imagination (la longue droite), pour la simplicité naturelle de leur construction (l'algèbre de Grassmann-Cayley), ou encore leur centralité pour tout un domaine (le groupe de Galois absolu des rationnels). Si je fais des mathématiques, c'est sans doute beaucoup pour avoir le droit de visiter et admirer ce petit musée des formes extraordinaires (l'ensemble de Mandelbrot est visible pour n'importe qui, il y en a quantité de vidéos, mais les autres objets que j'ai cités sont à mon avis encore plus beaux, simplement ils sont plus difficiles à voir).

À côté de ça, il y a aussi les situations où les maths sont surprenantes. L'exemple le plus bateau est le paradoxe de Banach-Tarski (on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux, et déplacer ces morceaux sans changer leur taille de manière à les réassembler pour former deux boules chacune de la taille de la boule d'origine — sans laisser de trous), mais il y en a d'autres. Là aussi, je devrais faire un petit catalogue. Par exemple, saviez-vous que la somme de deux régions convexes du plan dont le bord est C (ou même analytique) est toujours C6 (=six fois continûment dérivable) mais pas forcément C7 ? (Un exemple est formé par les épigraphes de x4/4 et x6/6 ; en fait, la régularité de la somme est C20/3.)

Il y a une célèbre citation de von Neumann : Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them. (Mon père prétend d'ailleurs que von Neumann l'a piquée à Robert Musil, mais il n'a jamais été capable de me trouver la référence précise, et Google ne semble pas lui donner raison, donc je reste sur von Neumann.) Je ne sais pas si c'est vrai, ou, plus exactement, je ne sais pas s'il y a une différence entre comprendre les choses et s'y habituer. En lisant une démonstration du paradoxe de Banach-Tarski (la référence classique à ce sujet est l'excellent petit livre de Stan Wagon), j'ai l'impression de comprendre pourquoi et comment ce truc fonctionne ; et certainement, depuis le temps que je le connais, il ne me surprend plus trop. Disons qu'on se fait une intuition de la manière dont les objets mathématiques fonctionnent, cette intuition est essentielle pour rechercher ce qui a des chances d'être vrai et ce qui ne l'est probablement pas, cette intuition est parfois prise en défaut et à ce moment-là il faut la modifier, ce qui est d'autant plus facile si on comprend un peu en détail le pourquoi et le comment.

Et parfois les mathématiques sont à la fois très surprenantes et élégantes. Dans mon petit musée des objets mathématiques fascinants, il faut que je mette la sphère de Gromoll-Meyer et la sphère de Kervaire.

En voici une définition concise pour ceux qui la comprendront : on considère le groupe Sp(2) des matrices 2×2 à coefficients dans les quaternions et qui sont unitaires ; là-dessus, on fait agir le groupe Sp(1) des quaternions unité (=de module 1) comme ceci : si u est un quaternion unité et T est dans Sp(2), on définit uT comme la matrice 2×2 obtenue en multipliant T à gauche par u (c'est-à-dire la matrice diagonale (u,u)) et à droite par la matrice diagonale (1,u*) où u* désigne le conjugué (=l'inverse) de u ; ceci définit une fibration de Sp(2) en Sp(1)≅S3, et la base de cette fibration est la sphère de Gromoll-Meyer. Ce qui est incroyablement surprenant, à mes yeux, c'est que l'objet ainsi obtenu est homéomorphe à la sphère de dimension 7 mais pas difféomorphe : il s'agit donc d'une sphère exotique. (Il y a plusieurs choses surprenantes dans l'histoire : l'existence même des sphères exotiques, mais aussi le fait qu'on puisse en donner une construction aussi élégamment algébrique. On peut aussi définir la sphère de Gromoll-Meyer, en tant que variété différentielle, comme l'ensemble des quintuplets (f,p,x,y,z) de nombres complexes tels que f5+p3+x2+y2+z2=0 — j'espère que le 5 est correct — et |f|²+|p|²+|x|²+|y|²+|z|²=1, ce qui est plus simple à comprendre mais assurément moins élégant.)

Quant à la sphère de Kervaire (de dimension 9, disons), elle s'obtient en prenant deux copies de l'espace total du fibré en 5-disques tangentes à la 5-sphère et en les recollant ensemble en identifiant, sur un voisinage d'un point identifié à un 5-disque (sur lequel on a trivialisé le fibré), le 5-disque base d'une copie avec le 5-disque fibre de l'autre copie : le bord de la variété ainsi obtenue est la sphère de Kervaire. (On peut aussi la définir comme l'ensemble des sextuplets (p,x,y,z,u,v) de nombres complexes tels que p3+x2+y2+z2+u2+v2=0 et |p|²+|x|²+|y|²+|z|²+|u|²+|v|²=1.) Elle aussi est homéomorphe mais non difféomorphe à la sphère standard (en dimension 9, cette fois).

Bref, il faudra que je parle un jour de structures exotiques sur les sphères et sur ℝ4, je mets ça dans ma TORANT-list. Parce que ça fait partie de ces choses que je n'arrive vraiment pas à comprendre, ou disons, auquelles je ne me suis pas habitué.

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