David Madore's WebLog: Quelques formules en radicaux

On a (en MathML, donc à condition que votre navigateur sache l'afficher correctement) :

$\cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}$

$\cos (\frac{2 π}{5}) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5}$

$\cos (\frac{2 π}{7}) = - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{7}{2} - \frac{21}{2} \sqrt{−3}} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{21}{2} \sqrt{−3}}$

$\cos (\frac{2 π}{11}) = - \frac{1}{10} + (- \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \sqrt{5} + \frac{1}{40} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}}) \sqrt[5]{- \frac{979}{4} - \frac{275}{4} \sqrt{5} - 55 \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}} + \frac{275}{4} \sqrt{- 10 + 2 \sqrt{5}}} + (- \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \sqrt{5} + \frac{1}{40} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}}) \sqrt[5]{- \frac{979}{4} + \frac{275}{4} \sqrt{5} - \frac{275}{4} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}} - 55 \sqrt{- 10 + 2 \sqrt{5}}} + (- \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \sqrt{5} - \frac{1}{40} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}}) \sqrt[5]{- \frac{979}{4} + \frac{275}{4} \sqrt{5} + \frac{275}{4} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}} + 55 \sqrt{- 10 + 2 \sqrt{5}}} + (- \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \sqrt{5} - \frac{1}{40} \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}}) \sqrt[5]{- \frac{979}{4} - \frac{275}{4} \sqrt{5} + 55 \sqrt{- 10 - 2 \sqrt{5}} - \frac{275}{4} \sqrt{- 10 + 2 \sqrt{5}}}$

$\cos (\frac{2 π}{13}) = - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \sqrt{13} + (- \frac{1}{24} + \frac{1}{24} \sqrt{−3}) \sqrt[3]{- \frac{65}{2} - \frac{39}{2} \sqrt{−3}} + (- \frac{1}{24} - \frac{1}{24} \sqrt{−3}) \sqrt[3]{- \frac{65}{2} + \frac{39}{2} \sqrt{−3}} + (\frac{1}{24} + \frac{1}{24} \sqrt{−3}) \sqrt[6]{- \frac{4381}{2} - \frac{195}{2} \sqrt{−3}} + (\frac{1}{24} - \frac{1}{24} \sqrt{−3}) \sqrt[6]{- \frac{4381}{2} + \frac{195}{2} \sqrt{−3}}$

$\cos (\frac{2 π}{17}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{8} \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{17}} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \sqrt{17} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}}}$

L'existence de ces formules n'a rien de nouveau ou d'extraordinaire (celles de cos(2π/3) et cos(2π/5) sont essentiellement connues depuis l'antiquité, celle de cos(2π/17) a été trouvée par Gauß en 1796, lequel a aussi trouvé la méthode permettant de calculer toutes les formules de ce genre ; j'ai d'ailleurs déjà écrit une formule de ce genre ici, et la formule la plus compliquée, celle de cos(2π/11), dans l'exercice 5 de cette feuille d'exercices que je donnais quand j'enseignais à l'ENS) ; il s'agit de résultats classiques tournant autour de la théorie de Galois, et d'ailleurs c'est parce que j'écrivais quelque chose sur la théorie de Galois que je les ai calculées (et aussi pour m'amuser avec Sage). Ceci dit, la formule de cos(2π/13) ou cos(2π/11), je ne l'ai jamais vue écrite nulle part dans un bouquin.

Mais une question qui me laisse modérément perplexe, c'est la question de formes plus canoniques que d'autres (plus naturelles, plus élégantes, ce que vous voudrez, bref, préférables) pour ces expressions. Je ne parle même pas de factorisations possibles (comme on peut factoriser une racine 5-ième de 11/4 dans l'expression de cos(2π/11)), mais de réécritures un peu plus profondes. Par exemple, l'expression de exp(2·i·π/17) donnée dans l'entrée liée ci-dessus n'est pas la même que celle donnée dans le livre Galois Theory (formule (9.11) page 239) : j'ai tendance à trouver que la mienne (avec deux racines sixièmes plutôt qu'une racine carrée d'expressions faisant intervenir des racines cubiques) est préférable. Mais une autre formule pour cos(2π/17), qui est assurément moins agréable que celle donnée ci-dessus, et qui apparaît pourtant plus naturellement quand on applique un algorithme systématique, est la suivante :

$\cos (\frac{2 π}{17}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{16} \sqrt{−1} \sqrt[4]{- 255 - 136 \sqrt{−1}} - \frac{1}{16} \sqrt{−1} \sqrt[4]{- 255 + 136 \sqrt{−1}} + (\frac{1}{32} \sqrt{2} - \frac{1}{32} \sqrt{−2}) \sqrt[8]{73185 + 39032 \sqrt{−1} + 3264 \sqrt{2} - 6120 \sqrt{−2}} + \frac{1}{16} \sqrt{−1} \sqrt[8]{73185 - 39032 \sqrt{−1} - 3264 \sqrt{2} - 6120 \sqrt{−2}} - \frac{1}{16} \sqrt{−1} \sqrt[8]{73185 + 39032 \sqrt{−1} - 3264 \sqrt{2} + 6120 \sqrt{−2}} + (\frac{1}{32} \sqrt{2} + \frac{1}{32} \sqrt{−2}) \sqrt[8]{73185 - 39032 \sqrt{−1} + 3264 \sqrt{2} + 6120 \sqrt{−2}}$

Une autre question sur laquelle je ne sais pas dire grand-chose, c'est comment produire de façon systématique de telles expressions en MathML (pour celles que je viens de donner, j'ai utilisé un mélange de techniques pas complètement automatisées, jusqu'à terminer quelques réécritures à la main). Rien que mettre les termes dans un ordre raisonnable, ou transformer quelque chose qui apparaît naturellement comme −1·x + (−3/2)·y + (2−t)·z (une somme pondérée par des coefficients) en −x − (3/2)·y + (2−t)·z (extraire les signes pour les mettre au niveau de la somme), ce n'est pas évident.