David Madore's WebLog: Traces de matrices nilpotentes

Index of all entries / Index de toutes les entréesXML (RSS 1.0) • Recent comments / Commentaires récents

Entry #1625 [older|newer] / Entrée #1625 [précédente|suivante]:

(mardi)

Traces de matrices nilpotentes

La trace de la matrice générique[#] d×d nilpotente d'ordre n est elle-même nilpotente d'ordre d·nd+1.

(C'est-à-dire : le plus petit k tel que sur n'importe quel anneau (commutatif) A, si t est la trace d'une matrice d×d nilpotente d'ordre n alors t est elle-même nilpotente d'ordre k, ce plus petit k vaut exactement[#2] d·nd+1.)

Ça ne vous fait peut-être pas des masses d'effet, mais moralement, une affirmation comme ça ne devrait pas être difficile à démontrer (sur un corps, le fait qu'une matrice nilpotente soit de trace nulle, c'est de niveau math. sup.). Il devrait juste s'agir de développer (x1,1+⋯+xd,d)k, réorganiser les termes pour faire apparaître des xi,j de façon à mettre en évidence les entrées de la matrice puissance n-ième, et conclure que pour k assez grand tout s'annule. Eh bien non, bizarrement, il semble qu'on ne sache pas faire comme ça (en tout cas, moi, je ne sais certainement pas), pour n et d quelconques.

Il semble que Bernard Mourrain ait une démonstration (les deux endroits où j'ai trouvé une référence à ce problème, ce Monsieur était nommément cité comme ayant expliqué la solution), et que ça utilise des bases SAGBI (Subalgebra Analog of Gröbner Bases for Ideals), je n'en sais pas plus : mais c'est scandaleux que quelque chose comme ça ne soit pas plus facile.

Où est-ce qu'on envoie les pétitions pour réformer les mathématiques ?

Mise à jour : Une démonstration élémentaire de cet énoncé est l'objet de l'article Gert Almkvist's Generalization of a Mistake of Bourbaki de Doron Zeilberger (il attribue le résultat à Almkvist (1973)).

[#] Précision () : Le terme générique n'est sans doute pas approprié : il faudrait plutôt dire universel, en fait. (La matrice universelle d×d nilpotente d'ordre n, c'est celle dont les d² entrées sont les images des indéterminées de l'anneau des polynômes à d² variables dans son quotient A par les relations algébriques qui expriment le fait que la matrice puissance n vaut zéro ; la matrice générique correspondante, ce serait la même matrice vue sur le corps des fractions au lieu de l'anneau quotient A — mais cet anneau n'est pas intègre, donc on ne peut pas vraiment parler de matrice générique ; on peut cependant réduire l'anneau A et ensuite passer au corps des fractions — mais évidemment, à ce moment-là, la trace est nulle, comme celle de n'importe quelle matrice nilpotente sur un corps.)

[#2] Plus exactement : montrer que tout exposant de nilpotence k de la trace vaut au moins d·nd+1 est facile en considérant une matrice diagonale de coefficients diagonaux nilpotents d'ordre n ; montrer que la trace est nilpotente (sans déterminer k) est également facile en utilisant le cas des corps : ce qui est difficile, c'est de voir que l'exposant d·nd+1 annule effectivement la trace.

↑Entry #1625 [older|newer] / ↑Entrée #1625 [précédente|suivante]

Recent entries / Entrées récentesIndex of all entries / Index de toutes les entrées