David Madore's WebLog: Un peu d'archéologie mathématique

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(mercredi)

Un peu d'archéologie mathématique

On raconte souvent que les mathématiques sont des choses qui sont éternellement vraies et que les textes mathématiques ne vieillisent donc pas… c'est un peu exagéré.

J'avais besoin de résultats sur les types de singularités possibles pour une surface cubique. De fil en aiguille, j'ai remonté des références jusqu'à un mémoire d'Arthur Cayley de 1869 où il classifie complètement (en vingt-trois cas) les lieux singuliers possibles d'une surface cubique, et je me suis dit que j'allais essayer de regarder ça (après tout, 1869, ai-je pensé, ce n'est pas si vieux). Premier souci, je n'avais pas le titre exact du mémoire en question (seulement une référence à Cayley's famous memoir on cubic surfaces ; de fait, il s'avère que le titre exact est bien : A Memoir on Cubic Surfaces, comme quoi M. Cayley n'avait pas énormément d'originalité dans les choix de ses titres). Je rentre juste le nom d'auteur dans le catalogue de notre bibliothèque, et il me renvoie sur les œuvres complètes du Monsieur, lesquelles sont en réserve, en 13 volumes plus un volume d'index. Je demande donc à la bibliothécaire si je peux consulter le volume d'index, mais au début elle ne le trouvait pas (probablement parce que c'est un volume un peu plus petit que les autres et qu'on vient de déménager récemment donc peut-être la réserve n'est-elle pas encore bien rangée) : elle m'a donc suggéré quelques pistes pour trouver une version numérisée sur Internet. De fait, on en a trouvé une, dans les collections mathématiques historiques de l'Université du Michigan ; mais, de toute manière, en cherchant un peu plus, on a fini par me retrouver l'index dans la réserve, et j'ai pu faire sortir le bon volume (le VI, pour être précis). Qui, bien sûr, n'était même pas coupé : donc j'ai dû déranger de nouveau les bibliothécaires pour qu'on me trouve un coupe-papier (et ça non plus, ça n'a pas été facile).

Bon, comme ça n'a pas été facile, je vais moi-même mettre ce « fameux » mémoire sur Internet (puisque Cayley est mort il y a nettement plus de 70 ans, ça devrait être bon, et je doute que l'Université du Michigan m'ennuie au sujet de la façon dont les pages sont scanées) : voici donc A Memoir on Cubic Surfaces, by Arthur Cayley (Phil. Trans. R. Soc. London, 159 (1869), 231–326) [PDF, 6.1Mo], et une version réduite à 2 pages sur 1 plus commode à imprimer sur du papier A4. (J'aurais voulu mettre une version DjVu plutôt que PDF, parce que c'est quand même plus adapté pour un document scané, mais je ne trouve rien pour convertir l'un en l'autre de façon propre.)

Mais bon, une fois qu'on a l'article, les difficultés ne sont pas finies : les notations et la terminologie mathématique utilisées par Cayley sont, pour une bonne part, incompréhensibles pour un géomètre algébriste moderne : par exemple, ce qu'il appelle un point de type C2 s'appellerait aujourd'hui une singularité de type A1, je ne suis pas sûr de comprendre ce qu'il appelle un bord torsal d'un point biplanaire, ni ce qu'est la courbe spinodale (même si je devine vaguement que c'est la courbe des points dont le plan tangent intersecte la cubique en une courbe ayant un cusp en ce point). Je ne sais pas si je vais vraiment pouvoir en tirer quelque chose, de cet article.

Je me disais que je pourrais peut-être faire des graphismes de ces différents types de singularités, mais, évidemment, quelqu'un y a pensé avant : il y a même un site Web consacré aux surfaces singulières, avec visualisation en Java. Et pour quelque chose de plus traditionnel, je suis sûr qu'en cherchant un peu à l'IHP ou au Palais de la Découverte on pourrait me trouver des jolis modèles poussiéreux comme on en faisait autrefois représentant « en dur » toutes sortes de surfaces cubiques singulières.

Pour en savoir plus sur l'histoire des surfaces cubiques, voyez ici.

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