David Madore's WebLog: 1.0293753730039641320569866…

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Entry #0377 [older|newer] / Entrée #0377 [précédente|suivante]:

(mardi)

1.0293753730039641320569866…

Encore un problème qui me rend fou :

Quelle est l'espérance du maximum de quatre variables gaussiennes indépendantes chacune de moyenne zéro et écart-type un ?

Numériquement, une valeur approchée est celle qui sert de titre à cette entrée. Si on remplace quatre par trois ou deux (ou bien sûr une) variables, je sais trouver une valeur symbolique exacte (enfin, surtout Mathematica sait si je le dirige un peu) : 1/√π (désolé, c'est moche, mais je veux dire un sur racine de pi, je ne vais pas mettre de MathML ici) pour deux variables, et 3/2 fois ça pour trois variables. Mais quatre… Péter m'a suggéré une façon de faire le calcul qui devrait aboutir à un résultat exact, mais c'est assez atroce à mener explicitement (de toute façon le problème est de délimiter une région sur la sphère de dimension trois qui a pour mesure un 24e de la mesure totale, et de faire une intégrale dessus).

Le merveilleux et fascinant inverseur de Plouffe ne connaît pas ce nombre.

Mise à jour () : Complètement par hasard, j'apprends que la valeur exacte de ce nombre est : (3/√π)[½+arcsin(1/3)/π]. Et pour cinq variables : (5/(2√π))[½+3·arcsin(1/3)/π]. Voir cette page, qui prétend que des expressions en forme close existent aussi pour six et sept variables en utilisant des dilogarithmes (et huit et neuf avec des trilogarithmes).

Nouvelle mise à jour () : Voir aussi ce lien, qui explique un peu comment cqlcuer ces choses.

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