Il y a bien longtemps j'ai lu le petit livre de Freud sur les rêves (qui a un titre comme Über Träume, même si je ne sais pas exactement, et qui doit être la version abrégée du gros livre de Freud sur les rêves, Die Traumdeutung) : contrairement à ce qu'on imagine souvent, d'ailleurs, il ne prétend pas que tout ce qui apparaît dans un rêve soit un symbole sexuel. Une des remarques qui m'avaient frappé est celle-ci : que tous les nombres qui apparaissent dans un rêve sont des nombres qu'on a rencontrés éveillés — il semble que les rêves soient incapables de créer de nouveaux nombres. Et ceci a pour corollaire, je ne sais pas si c'est Freud ou moi qui le tire, mais en tout cas je l'ai souvent remarqué dans mes rêves, qu'on est incapable de faire en rêve la moindre opération arithmétique ; même quelque chose comme 100+50 semble presque impossiblement difficile, et quand on rêve qu'on fait des calculs, ces calculs sont presque toujours complètement délirants.
Je me demande s'il y a une leçon à en tirer sur le fonctionnement du cerveau. L'explication la plus évidente serait que le cerveau en état de rêve ne fait que rappeler et mélanger des souvenirs, il est incapable de réellement réfléchir, de créer de nouvelles pensées — mais je ne suis pas convaincu par une affirmation aussi large et catégorique. Notamment, il m'arrive de rêver de maths, et de faire des raisonnements mathématiques dans mes rêves[#], et si ces raisonnements sont globalement incohérents, voire dénués de sens, il y a généralement des bouts de raisonnement parfaitement sensés dedans, et je ne crois pas les avoir déjà rencontrés.
La moindre des questions qu'on peut se poser, et qui doit avoir une réponse expérimentalement atteignable, c'est de savoir si les régions du cerveau qui s'activent principalement quand un mathématicien réfléchit à un problème de maths abstraites ont un rapport avec celles qui s'activent quand on lui fait faire du calcul mental. J'aurais tendance à parier que non, pas du tout. Mais si on prend des exercices un peu intermédiaires entre les deux, comme multiplier deux polynômes sur un corps fini, il serait intéressant de voir ce qu'il en est.
[#] Récemment, par exemple, j'ai rêvé que je démontrais à Jean-Marc Ayrault que les boucles de Moufang vérifient la propriété de Lagrange. C'est-à-dire que l'ordre d'une sous-boucle divise l'ordre de la boucle : énoncé tout à fait vrai et que j'avais lu peu de temps avant sur Wikipédia, mais sans lire sa démonstration : donc celle que j'ai rêvée est évidemment délirante — ce qui n'empêche pas qu'il y avait des bouts sensés dedans.