David Madore's WebLog: Affres scientifiques

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(dimanche)

Affres scientifiques

Mes intérêts, scientifiques notamment, ont tendance à suivre une marche aléatoire dirigée par un certain nombre d'attracteurs assez chaotiques. Récemment j'ai eu le malheur de tomber sur des questions de logique / théorie des ensembles, et ces questions tout particulièrement sont comme les têtes de l'hydre : quand on en coupe une (en la résolvant), il y en a un nombre indéfini de nouvelles qui poussent. Et le pire c'est que ces questions ont l'air tellement simples (pour qui connaît le domaine…) et séduisantes qu'elles me prennent d'une frénésie qui fait que j'ai vraiment du mal à penser à autre chose.

Ce matin je me suis levé autour de 7h pour rédiger proprement une explication du fait que l'hypothèse toute classe close cofinale d'ordinaux contient un cardinal régulier — i.e. la classe des ordinaux est Mahlo — impliquait que si P est conséquence de ZFC alors P est vrai pour tout énoncé P, tandis que la simple existence d'un cardinal inaccessible ne suffisait pas pour cette conclusion, sauf si on se limite aux énoncés P de nature arithmétique. Quelques exemples des questions idiotes caractéristiques de celles qui me tracassent ressemblent à ceci :

  • Si κ est le premier point fixe de α↦בα, est-ce que l'étape Vκ de la hiérarchie de von Neumann est close par Σ0-Remplacement ? (Ça me surprendrait parce que κ n'est pas si grand que ça, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.)
  • Peut-on prouver dans ZFC l'existence d'un α (voire d'un α dénombrable) tel que l'étape Lα de la hiérarchie constructible soit un modèle de ZC (i.e., ZFC sans Remplacement) ? (Ça me surprendrait aussi parce que le Remplacement a l'air utilisé de façon essentielle pour montrer que L est un modèle de ZC. Mais, quelque part, c'est triste pour la hiérarchie constructible.)
  • Est-il consistant avec ZFC que tout ensemble complet et ω-consistant d'énoncés admet un modèle transitif (i.e., bien-fondé) ? (Ça paraît très fort, mais je m'y perds complètement. En tout cas je sais que ce n'est pas un théorème de ZFC, car dans le plus petit modèle transitif de ZFC, l'ensemble des théorèmes de ZFC est ω-consistant et n'a pas de modèle transitif !) De même, y a-t-il un théorème de compacité pour les modèles transitifs (sous des hypothèses du style que la classe des ordinaux est faiblement compacte) ?

Je crois qu'aucun vrai logicien ne considérerait que ce sont des questions sérieuses. Quand ma frénésie est en mode géométrie algébrique, les questions qui en ressortent ne sont pas plus intéressantes, d'ailleurs : c'est dommage.

Il va bien falloir, pourtant, que je pense un peu à autre chose, ne serait-ce que parce que j'ai d'autres choses à faire !: un cours (d'optimisation) qui commence après-demain, d'autres projets mathématiques commencés, etc. Mais je n'aime pas laisser une hydre sans avoir coupé toutes ses têtes.

Sinon, j'ai appris que j'ai reçu l'appellation définitive de maître de conférences (j'étais recruté sur une appellation provisoire). Et aussi, mes transparents de mardi ont été acceptées par le Journal of Craptology, mais je pense que je vais éviter de trop revendiquer cette information ou de la faire figurer sur mes CV.

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