David Madore's WebLog: Devinette mathématique

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(lundi)

Devinette mathématique

On m'a posé cette question assez récemment, et je la trouve assez jolie ; en plus, elle est compréhensible par tout le monde :

On vous donne une règle (non graduée) d'environ 30cm (et un crayon, quand même), et deux points distants d'environ 35cm : comment faire pour tracer la droite qui les relie ? Et si les points sont très éloignés, peut-on toujours s'en sortir ?

Corrigé (2005-09-06T21:30+0200) : Voici la solution que j'avais à l'esprit.

Soient A et B les points à relier, distants d'à peu près 35cm. On trace une droite dà peu près parallèle à (AB) et distante d'elle de quelques centimètres (au maximum), et sur cette droite on marque deux points A′ et B′ tels que B′ soit à peu près aussi loin que possible de A, et A′ à peu près aussi loin que possible de B, mais pour que les droites AB′ et BA′ soient quand même traçables. Soit C′ un point sur la droite d′=(AB′) à peu près au milieu de [AB′]. On appelle C″ le point où AB′ et BA′ se rencontrent. On trace une droite d″ passant par C″ et à peu près parallèle à (AB) et (AB′) : soit B″ l'intersection de cette droite d″ et de (AC′) et A″ l'intersection de d″ et (BC′). Soit C le point d'intersection de (AB″) et (BA″) (si on a bien choisi C′, ça doit être faisable). Alors le théorème de Pappus assure que A, C et B sont alignés, et C est à peu près au milieu de [AB], donc on trace (AC) (c'est assez court) et (CB) et on a notre droite (AB) recherchée.

Cette solution doit marcher lorsque le rapport entre la distance à tracer et la longueur de la règle n'excède pas quelque chose comme 4/3 (je n'ai pas vérifié, mais c'est de ce genre-là). Mais du coup, on peut faire comme si on disposait d'une règle, disons, 30% plus longue, et en itérant la construction on peut faire comme si on disposait d'une règle arbitrairement longue. (Sauf que ça devient complètement théorique parce que la perte de précision est rapidement énorme.)

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