Comme promis, je me lance dans une tentative pour vulgariser la géométrie arithmétique et notamment mon sujet de thèse. En fait, le but que je me fixe est de donner un petit aperçu du sens de l'énoncé suivant (qui est une conjecture due notamment à mon directeur de thèse, et qui constitue en quelque sorte le Saint-Graal de la géométrie des variétés rationnelles-et-apparentées) :
Sur une variété (sur un corps de nombres) projective, lisse, (géométriquement) rationnellement connexe, l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse est la seule pour l'existence d'un point rationnel.
Cela risque de prendre un certain nombre de pages et, comme tout projet que j'entreprends, je ne suis pas du tout certain d'arriver un jour au bout. En attendant, voici le début, qui commence par quelques considérations sur les triplets pythagoriciens (en termes savants : trouver les points rationnels sur le cercle unité).