David Madore's WebLog: Nouvelles en vrac

Pas de progrès du côté de l'archivage de ce site

Je commence par ce qui n'est pas une nouvelle du tout, c'est même le contraire : j'avais raconté il y a un an que la Wayback Machine de l'Internet Archive n'arrive plus à archiver ce site (or s'il y a une chose à quoi je tiens beaucoup, c'est la préservation de l'information). Deux choses sont maintenant certaines : ① ce n'est pas volontaire (c'est un bug), et ② c'est lié au fait que ce site est (pour les raisons que j'ai expliquées ici) servi en HTTP et pas en HTTPS, même si le problème est sans doute causé par une conjonction de facteurs et j'ignore quels peuvent être les autres. Je soupçonne qu'il s'agit d'une sorte de firewall trop agressif qu'ils ont mis en place suite à des attaques diverses qu'ils ont subies, et qui est probablement mal calibré pour le HTTP parce que l'immense majorité des sites sont maintenant en HTTPS et que les HTTP sert donc essentiellement à renvoyer des redirections vers HTTPS. Je soupçonne quand même qu'il y a des conditions où HTTP marche encore sur l'Archive, parce que sinon ils se seraient rendu compte du problème plus tôt, mais je n'en sais pas plus. (Si des gens qui me lisent ont la possibilité de mener tes tests, je vous en supplie, faites-le, je suis preneur de tous renseignements.)

En attendant j'ai pris l'habitude de faire une copie de sauvegarde de mes billets de blog sur Archive.today (un site qui a plein de noms alternatifs : Archive.is, Archive.ph et d'autres). Le problème est qu'on ne sait pas qui est derrière ce truc, et que ses intentions ne sont pas claires : au minimum, on sait qu'il en profite pour faire résoudre des captchas aux gens qui s'en servent, et qu'il a lancé des attaques denial-of-service ; et j'ai aussi entendu passer l'information selon laquelle il aurait truqué des archives, bref, ce n'est pas une solution de repli raisonnable, sauf à court terme. J'aimerais vraiment pouvoir revenir à l'Internet Archive.

Le problème est qu'il est quasi impossible de contacter l'Internet Archive pour essayer d'attirer l'attention sur le problème qui me concerne. J'ai essayé de leur écrire plusieurs fois, ça tombe dans un trou noir. J'ai essayé d'envoyer un courrier papier (vous savez, le truc du siècle dernier, ou on met un timbre sur une enveloppe), c'est aussi tombé dans un trou noir. Puis un jour (2025-05-13) j'ai eu une réponse surgie de l'espace disant qu'ils avaient identifié un problème et allaient le régler (We have identified an issue and are working on a fix. I will update you when we have implemented it.), du coup j'ai eu de l'espoir… sauf qu'en fait rien ne s'est passé, et le problème n'a pas changé. Puis, il y a deux mois, nouvel espoir : j'ai eu une conversation sur Bluesky avec Jason Scott, qui est un des personnages importants de l'Internet Archive, qui m'a assuré qu'ils n'étaient pas au bord de la faillite comme je le pensais, qui m'a dit qu'ils pouvaient tout à fait s'occuper de ce genre de choses, et et qui m'a dit de signaler mon problème par mail en le mettant en copie… ce que j'ai fait, il m'a dit avoir transmis à qui de droit, et… deux mois plus tard, toujours pas le moindre signe de changement.

Bref, j'ai bien peur qu'il faille que j'admette que ce problème ne sera jamais réglé et que la seule option qui s'offre à moi est de rendre mon site accessible en HTTPS (enfin, encore faudrait-il être bien certain que ça réglera le problème, ce dont je ne suis pas sûr du tout). Je passe donc à l'item suivant de ce billet.

Activation du HTTPS ?

Il va falloir que j'envisage (à reculons et à contrecœur, donc) de rendre mon site accessible en HTTPS. Puisque j'évoque le sujet, il faut d'ailleurs que je signale cette vidéo (que plusieurs contacts m'ont envoyée tant elle semble faite pour moi) de quelqu'un qui, pour en gros exactement les mêmes raisons que moi n'a pas envie de passer son site en HTTPS et qui le fait quand même en faisant exprès, pour protester, de rendre le HTTPS aussi peu sûr que possible : c'est rigolo, et surtout, en fait, on en apprend pas mal au passage sur le fonctionnement de HTTPS.

Je n'irai pas jusque là, même s'il est probable que je publie[#] la partie « privée » du certificat du site, juste pour me simplifier sa distribution d'une machine à l'autre. Ma question à moi est surtout comment je peux faire ce passage en minimisant les emmerdes que je vais devoir subir en conséquence de ces conneries. À commencer par le fait de devoir remettre en place tout le setup dès qu'un de mes serveurs claque entre mes doigts, ce qui arrive tous les quelques mois. (Exemple de problème : actuellement, je pare le problème des serveurs qui meurent tout le temps en ayant un serveur prêt à prendre le relais à tout instant, et j'ai simplement à changer le DNS pour faire pointer www.madore.org de l'un vers l'autre ; mais s'il y a un certificat à fournir, le serveur de secours ne peut pas obtenir lui-même par des canaux comme Lets Encrypt le certificat pour www.madore.org puisqu'il n'est, justement, pas accessible sous ce nom en temps normal ; donc il faut que je trouve un moyen de transférer le certificat vers le serveur de secours, et c'est d'ailleurs une des raisons pour lesquelles j'envisage de publier la partie privée du certificat pour simplifier la démarche.)

[#] Étant bien entendu que comme ce HTTPS ne sert rigoureusement à rien question sécurité vu que mon site ne contient rien de non-public, l'aspect « privé » de ce certificat est bidon, et il peut parfaitement être rendu public.

Une possibilité serait que j'utilise un certificat auto-signé, ce qui me permet d'avoir un unique certificat pour toutes mes machines et de m'affranchir de la limitation de durée de validité sur les certificats. Ce serait même plus raisonnable en termes de sécurité (si la sécurité était un enjeu, ce qu'elle n'est pas) parce que comme ça les gens qui veulent vraiment vérifier l'authenticité du site pourraient s'assurer que le certificat ne change jamais, alors que si on passe par Lets Encrypt il faut vérifier que la clé de signature ne change pas, et c'est beaucoup plus technique. Une chose est que l'usage d'un certificat auto-signé cause un message d'erreur pénible, mais bon, ça je m'en fous, c'est le problème des gens qui tiennent à utiliser HTTPS alors que ça ne sert à rien sur un site public. En revanche, ce n'est pas clair du tout ce que fait l'Internet Archive quand ils tombent sur un site en HTTPS dont le certificat est auto-signé, parce que l'Internet Archive est quand meme toute la raison de la manœuvre. Et je n'en ai aucune idée.

Mais la grosse grosse source de maux de tête, c'est ce que fait Google et ce qui se passe avec la canonisation des URL.

Le problème fondamental, c'est que les versions HTTP et HTTPS d'un site Web sont, du point de vue des standards, deux sites totalement séparés. Et Google n'aime pas que deux sites séparés dupliquent la même information : c'est pénalisant. Et pour ajouter l'injure à la blessure, par défaut il va considérer que HTTPS est le site principal (à renvoyer en priorité), alors que moi je veux exactement le contraire (je veux bien que le site soit accessible en HTTPS, mais je ne veux pas que Google renvoie des liens en HTTPS, qui seront probablement cassés la moitié du temps vu combien le système est compliqué et fragile). Je peux mettre un robots.txt interdisant à Google le parcours de la version en HTTPS, mais je ne suis pas certain que ça fonctionne, ni que ça suffise, ni que ça ne soit pas pénalisant. Et je ne sais pas non plus ce que fait Google quand il rencontre un certificat auto-signé si je choisis cette solution (s'il refuse d'accéder à la version HTTPS dans ces conditions, c'est parfait pour moi, mais encore faut-il être sûr qu'il n'en profite pas pour désindexer ou pénaliser la version HTTP).

Et puis il y a la question de comment persuader les gens qui partagent des liens vers mon site d'utiliser uniquement le lien en HTTP, même si le site est aussi accessible en HTTPS (par exemple, si je mets un robots.txt qui interdit la version HTTPS à Google, c'est indispensable sinon les liens HTTPS seront en quelque sorte perdus ; et à l'inverse, si je ne le fais pas, je vais me retrouver avec du crawling en double, par exemple toutes les IA avides de texte vont probablement tout récupérer deux fois). Je peux mettre un bandeau en tête de page avec du JavaScript, mais c'est chiant pour tout le monde.

À un moment je m'étais dit que je créerais un domaine spécial appelé quelque chose comme www-https-sucks-please-do-not-use-this-url.madore.org et que le HTTPS soit accessible uniquement via ce domaine, mais alors ça ne règle rien côté Internet Archive parce que personne ne va penser à interroger les archives pour ce domaine spécial. Ou alors il faut que je mette en place une redirection de HTTP vers HTTPS uniquement si la requête vient de l'Internet Archive[#2].

[#2] Si je ne trouve pas de solution raisonnable sur comment faire cohabiter HTTP et HTTPS, peut-être que je choisirai le pis-aller qui est de n'ouvrir le port HTTPS que pour les IP de l'Internet Archive, et, pour elles et pour elles seulement, de faire une redirection de HTTP vers HTTPS. Donc tout le monde continuera à n'avoir que du HTTP sauf l'Internet Archive (ou peut-être les gens super motivés qui m'en feraient une demande exprès). Je n'aime pas trop cette solution (c'est une forme de géolocalisation, et je déteste le principe), mais elle a le mérite d'éviter les tracas liés à la question de ce que fera Google.

Bref, on voit le genre de questions sans fin auxquelles je suis confronté, et dont personne ne parle jamais quand on essaie de vous faire la propagande pour le HTTPS. Je ne peux même pas vraiment faire de tests, parce que le simple fait d'ouvrir le port HTTPS sur mon serveur n'est pas du tout anodin. Tout ça me prend vraiment la tête, et j'ai franchement autre chose à faire de mon temps que de devoir m'occuper de telles conneries. (Et j'ai bien peur que ça finisse en demande de conseils à des IA.)

Gmail traite mon mail comme du spam

Continuons avec le chapitre Google m'emmerde avec une autre source de tracas dont je me serais bien passé :

En gros tous les mails que j'envoie vers Gmail sont considérés comme du spam.

Le problème est que j'ai un serveur mail personnel. OK, mais ce n'est pas nouveau, et franchement, ils abusent : j'ai publié des enregistrements SPF, tous mes mails sont signés par DKIM, il y a une politique DMARC, mon serveur a des enregistrements DNS valides, avant et arrière, il n'a jamais envoyé un seul spam (forcément, il ne sert qu'à mon courrier personnel, et je ne forwarde rien), absolument tous les champs concernant mon domaine sur postmaster.google.com sont verts, et pourtant le résultat est là : en gros, tous les mails que j'envoie vers n'importe quelle adresse Gmail atterrissent directement dans la boîte à spam[#3].

[#3] Peut-être que si le destinataire classifie pas du spam suffisamment souvent, alors le mail finit par arriver à être considéré comme non-spam. Mais je crois que même ça ne dure pas longtemps. (Malheureusement, mes interlocuteurs ne me donnent pas trop de feedback sur ce qui se passe. J'ai moi-même une adresse Gmail avec laquelle j'ai fait quelques tests, mais ce que j'observe n'est pas forcément universel.)

Même quand quelqu'un m'écrit à une adresse sur madore.org et que je réponds depuis exactement cette adresse-là, ça tombe (parfois ? toujours ? pas totalement clair) dans la boîte à spam. Google est vraiment nul, là : un mail qui répond, avec un message-ID valable, à un mail expédié depuis Gmail à cette adresse, et surtout si le mail est signé par DKIM, ça n'a juste aucun sens de considérer que ça peut être du spam.

Bon, le problème n'a pas que des inconvénients : généralement, quand j'envoie des mails, c'est plutôt qu'on m'a demandé quelque chose. Donc parfois ah ben j'aurais bien voulu te répondre [voire : je t'ai répondu], mais ce n'est pas ma faute si Gmail ne veut pas de mes messages peut être une excuse pratique pour ne pas répondre. Mais parfois je veux quand même contacter des gens sur Gmail. Ma solution temporaire est d'écrire depuis mon adresse mail professionnelle en mettant mon adresse personnelle en copie et les deux en reply-to ; ou bien d'envoyer un message par un autre canal (SMS, Signal, message privé sur un réseau social) pour dire je t'ai répondu, regarde dans ta boîte à spam. C'est quand même lourdingue.

Qu'est-ce qui se passe ? Je n'en sais rien. Comme je le dis plus haut, sur postmaster.google.com on me dit que tout va bien, que mon domaine n'a rien à se reprocher. Les rapports DMARC que Google m'envoie ne disent rien non plus. Le mail n'est pas rejeté : il est marqué comme spam.

Je ne sais pas exactement depuis quand ça date, parce que je n'écris pas si souvent que ça à des gens chez Gmail, et je ne sais pas forcément si mon mail s'est perdu ou que la personne a juste décidé de ne pas répondre. J'ai toujours eu quelques problèmes à écrire à des adresses Gmail, mais c'est bien pire maintenant qu'il y a quelques années.

Le plus probable est que la dernière fois que la Dedibox qui me sert de serveur de mail est mort (c'était en 2025-06), on m'en a refilé une avec une adresse qui a précédemment appartenu à un spammeur invétéré. Ou alors il y a quelqu'un sur le même sous-réseau qui spamme massivement, et tout le sous-réseau est blacklisté. Ceci dit, c'est forcément un peu plus compliqué que ça, parce que généralement mes mails passent en IPv6, or mon adresse IPv6 n'a pas changé, et le problème semble assez indépendant de si la connexion à Gmail se fait par IPv4 ou IPv6. (Et ça ne peut même pas être que Google va chercher le forward DNS du reverse DNS pour retrouver l'IPv4 correspondante : le reverse DNS de mon IPv6 renvoie un nom qui ne résout que l'adresse IPv6.)

Peut-être que c'est autre chose : que Gmail s'est mis à détester les mails envoyés avec mutt, ou les ‘+’ dans mes adresses mail (ou le fait, lié, que j'utilise plein d'adresses mail avec le même nom), ou une combinaison de facteurs.

Je m'étais dit que si c'est un problème d'adresse IP, le problème devrait se résoudre de lui-même, vu que Google doit quand même être au courant que les IP changent de main et que ça n'a pas de sens d'en blacklister une pour toute l'éternité. Mais là ça fait 10 mois que j'ai cette IP et je ne vois pas de progrès (peut-être même le contraire).

En tout cas, il faudrait faire quelque chose, mais pour ça il faudrait faire plein d'expériences pour comprendre la nature exacte du problème, et là aussi, ça m'emmerde, ça me prend la tête, j'ai autre chose à faire que d'essayer de comprendre pourquoi Gmail fait des conneries (et donc je suis assez tenté d'envoyer chier tous les gens qui l'utilisent et qui cherchent à communiquer avec moi).

Je ne sais pas si ça vaut la peine que j'en parle à Scaleway (l'hébergeur). Généralement leur réponse à tout problème est on n'en a rien à foutre, et je ne sais pas s'ils peuvent faire quoi que ce soit sur la réputation de leurs IP (les conditions générales d'utilisation interdisent l'envoi de spam, mais évidemment ils ne doivent agir que ça leur chante d'agir). Je ne sais pas non plus si ça a un sens que j'essaie de faire relayer mon mail sortant par leur serveur SMTP à eux (je suppose qu'ils en ont un ? je ne sais même pas comment ça marche) : j'ai tendance à imaginer que sa réputation doit être aussi pourrie, mais peut-être que je me trompe.

Plusieurs personnes m'ont recommandé de contacter Google directement (par exemple pour demander à être retiré d'une blacklist), mais je soupçonne que c'est quasi impossible, et même si c'est possible il vaut mieux être absolument certain de la nature du problème, or je ne le suis pas. Là aussi, j'ai bien peur que ça finisse en demande de conseils à des IA.

Je m'achète une voiture

Passons à un tout autre sujet. Je m'achète une voiture. Oui, c'est un peu ridicule, parce que j'ai déjà deux motos (je n'ai finalement jamais vendu la première) et que mon poussinet a déjà deux voitures. J'en suis conscient.

Le problème est qu'aller à Trifouilly-lès-Saclay, c'est vraiment la merde, et tous les moyens de transport sont merdiques, mais ça aide de pouvoir choisir un peu. La moto c'est sympa quand il fait beau, mais dès qu'il pleut c'est nettement moins agréable (et s'il pleut et qu'il vente, c'est carrément flippant). Et je n'aime vraiment pas rouler à moto de nuit. Et puis la moto c'est quand même dangereux : c'est une chose d'assumer des risques quand je fais des balades qui me font vraiment plaisir, mais pour aller enseigner ça m'amuse un peu moins. Les transports en commun, ce n'est pas dangereux et ça évite le stress des bouchons au retour, mais, outre que c'est beaucoup plus long (en gros c'est toujours plus long de rentrer en RER même s'il y a des mégas embouteillages et que je décide de ne las faire d'interfile), et surtout, c'est beaucoup plus épuisant[#4]. Et puis ça reste tout aussi pénible quand il pleut, parce qu'après le RER soit je prends les escaliers du Guichet pour monter sur le plateau (qui, comme la moto, sont agréables quand il fait beau, mais beaucoup moins quand il pleut), soit je prends le bus qui est tout le temps bondé, donc plein de gens tout mouillés et ce n'est pas franchement plus agréable. (Heureusement, on a une ligne de métro qui doit arriver dans quelques mois.) En plus, les transports en commun, ils sont quand même souvent en rade, et même la combinaison des deux événements il fait un temps de cochon et le RER ne fonctionne pas n'est pas hyper rare. Et enfin, que ce soit la moto ou les transports en commun, pour transporter quoi que ce soit d'un peu lourd, c'est pénible (ne serait-ce que des piles de copies, ou mon portable pour faire cours, c'est déjà limite).

[#4] Je ne sais vraiment pas comment survivent les gens qui doivent prendre le RER tous les jours. Mais moi, quand je rentre chez moi après un aller-retour à Trifouilly-lès-Saclay en RER, je n'ai plus la force de faire quoi que ce soit à part comater devant YouTube.

Mon poussinet a bien deux voitures. L'une est une Tesla[#5], mais il est hors de question que j'y touche. L'autre est une Golf diesel de 2001, à laquelle le poussinet est sentimentalement attaché (il l'a achetée quand j'ai passé le permis pour que je la conduise et que je garde l'habitude de passer les vitesse, mais finalement c'est quasi toujours lui qui se retrouve à conduire). Premier problème, j'ai peur de l'abîmer alors qu'il y tient. Second problème, j'ai peur de la manœuvrer pour entrer ou sortir de notre parking (la rampe est étroite et compliquée, et en sortie on ne peut pas avancer tout doucement sans risquer d'abîmer l'embrayage).

[#5] Achetée avant que l'homme le plus riche du monde se mette à faire des saluts nazis, à se plaindre du génocide blanc et à vouloir faire disparaître les personnes trans de la Terre. C'était à l'époque où il se contentait d'avoir des idées saugrenues et stupides pour sauver des enfants thaïlandais coincés dans une grotte.

Solution, donc, acheter une voiture plus petite et électrique. Avec une autonomie faible, comme ça ce n'est pas trop cher parce que personne n'en veut (même si les conneries récentes de Trump du côté du golfe persique ont beaucoup augmenté l'attractivité des véhicules électriques). Nous avons trouvé une Twingo 3 électrique de 2022, avec 40 000 km au compteur, et qui a environ 150km d'autonomie (donc suffisante pour aller au bureau et peut-être aller faire une balade en forêt quand le poussinet n'est pas là), pour 10 000 €, ce qui est dans mes moyens (en fait, le plus problématique est surtout qu'il faut ajouter environ 700€/an d'assurance et 100€/mois de location d'une place de parking). Je l'ai essayée la semaine dernière autour de la concession, et ça a l'air vraiment agréable à conduire. Maintenant, j'espère quand même que je ne vais pas regretter mon choix.

Construction projective d'un point à partir de n points

Aucun rapport : un problème de géométrie, maintenant, pour parler quand même un peu de maths dans ce billet. (Je me suis posé cette question il y a deux ans, mais j'y réfléchis de façon intermittente.)

☞ La question est la suivante : pour quelles valeurs de n peut-on construire, à partir de n points suffisamment généraux dans le plan, et à la règle seule, un point qui dépende de façon complètement symétrique des n points donnés ?

De façon mathématiquement plus précise : pour quelles valeurs de n existe-t-il une application rationnelle du produit de n copies de ℙ² (le plan projectif), vers ℙ², qui soit à la fois équivariante sous l'action du groupe PGL₃ des transformations projectives de ℙ² (agissant sur les n facteurs au départ, et aussi à l'arrivée — ça c'est pour garantir que la transformation ne peut utiliser que les points donnés) et invariante sous l'action du groupe symétrique 𝔖_n sur les n points donnés ?

Pour mieux situer le problème : une construction à la règle seule, c'est une construction de la géométrie projective. Donc je demande pour quels n il y a, en géométrie projective, un moyen complètement symétrique de construire un point du plan à partir de n points du plan. En géométrie affine (et à plus forte raison en géométrie euclidienne), c'est facile : on peut prendre le barycentre (= centre de gravité) des n points, c'est complètement symétrique, et c'est constructible à la règle et au compas (pour la géométrie euclidienne ; ou à la règle et au traceur de parallèles pour ce qui est de la géométrie affine). Mais en géométrie projective ?

C'est trivialement possible pour n=1 (juste renvoyer le point fourni). Ce n'est pas possible pour 2≤n≤4 : pour n=2 ou n=3, c'est très facile, on le voit en regardant toutes les constructions qu'on peut faire à la règle seule à partir de n points, ça s'arrête vite. Pour n=4, ce n'est pas possible non plus, mais c'est un poil moins évident à voir, parce que cette fois-ci on peut construire une infinité de points (tous ceux qui sont à coordonnées rationnelles dans le repère des n points donnés), il faut juste se convaincre qu'aucun point n'est jamais totalement symétrique sous l'action de 𝔖₄ agissant sur la base projective. Pour 5≤n≤7 je crois que ce n'est pas possible non plus, j'ai une sorte d'argument sophistiqué en agitant les mains consistant à dire que sinon une surface de Del Pezzo de degré 9−n aurait toujours un point rationnel, mais je ne suis même pas sûr que cet argument soit valable[#6].

[#6] L'argument serait : une surface de Del Pezzo de degré 9−n est l'éclaté du plan projectif en n points. Si la construction d'un point à partir de n à la règle seule est possible, en l'appliquant aux n points éclatés, cela devrait donner un point canonique sur la surface, donc forcément rationnel. Mais en écrivant ça, je me rends compte que ce n'est pas si canonique, parce que les n points éclatés dépendent d'un choix de n diviseurs exceptionnels à contracter. Je n'ai pas les idées super claires (et ma thèse sur ce genre de questions remonte à il y a plus de vingt ans).

Pour n=8 points il y a une construction projective qui prend 8 points assez généraux dans le plan et renvoie un point complètement symétrique dans les 8 points fournis, et c'est assez remarquable. Ça s'appelle la construction de Cayley-Bacharach. On peut la décrire ainsi : la famille de toutes les courbes cubiques par les 8 points donnés a un neuvième point d'intersection, et c'est le point de Cayley-Bacharach. (Si on aime la géométrie algébrique, on peut en conclure qu'une surface de Del Pezzo de degré 1 a un point rationnel et même que son système anticanonique a un point-base, mais j'avoue avoir un peu oublié ce que ça veut dire.) Une explication de cette construction est proposée dans ce joli article. On peut en tirer une vraie construction à la règle seule comme l'a expliqué Andrew Searle Hart en 1851 (la note fait juste deux pages, donc la construction n'est probablement pas hyper compliquée, mais j'avoue avoir du mal avec le langage mathématique de l'époque, donc je ne suis pas sûr de tout suivre ; ce serait quand même intéressant de la mettre dans GeoGebra).

Mais j'ignore tout de ce qui se passe pour n≥9 points (le fait qu'on puisse faire quelque chose de complètement symétrique sur 8 points ne signifie pas qu'on puisse le faire sur plus ; on ne peut même pas itérer la construction à 8^k points parce que ça ne donnerait pas une symétrie complète, juste une symétrie « en couronne »).

Évidemment on peut généraliser cette question de plein de façons : notamment, quels sont les sous-groupes possibles de 𝔖_n pour lesquels on puisse trouver une construction d'un point à partir de n qui ait exactement ce groupe de symétrie ? (C'est la question que j'ai posée sur MathOverflow.) On peut aussi dire qu'on cherche une forme de symétrie transitive sur les n points, quelle qu'elle soit. Aussi, qu'en est-il en dimension d quelconque ? Pour d=1 (i.e., sur la droite) on se dit que ça devrait être plus simple (il faut juste convenir qu'on parle de fonctions rationnelles sur la droite projective, vu que la notion de construction à la règle n'a pas de sens sur la droite), mais en fait je ne connais pas un seul exemple de construction complètement symétrique d'un point de la droite à partir de n (quel que soit n>1), ni de preuve que ça n'existe pas. Tout ça est un peu mystifiant.

Je me rends compte en écrivant tout ça que j'ai déjà évoqué Cayley-Bacharach dans un billet précédent, où j'ai écrit le fait suivant : donnés sept points dans l'espace, en position suffisamment générale, la famille des quadriques passant par ces sept points passe aussi par un unique huitième point, et de plus, ce huitième point peut être construit par une construction à la règle seule à partir des sept premiers (avec des explications évidentes sur ce que à la règle seule signifie dans l'espace). Mais je ne me souviens plus pourquoi ceci est vrai, ni si j'avais une référence ! En tout cas, ça donnerait une réponse pour la dimension d=3 et le nombre de points n=7 (ce qui serait intéressant puisque, comme je l'ai dit, dans le plan, je crois qu'on ne peut pas faire[#7] pour moins de 8).

[#7] Si des gens se demandent mais si on peut faire à partir de 7 points dans l'espace, pourquoi on ne peut pas considérer 7 points dans le plan comme étant dans l'espace ?, la réponse est qu'ils ne sont pas en position suffisamment générale, et je suppose que la construction doit dégénérer.

Bref, voici un problème de géométrie en apparence assez élémentaire, qui me semble « très naturel », et que je ne sais absolument pas résoudre. Je ne sais même pas si qui que ce soit y a réfléchi.

L'approche la plus prometteuse pour obtenir des constructions symétriques semble être celle esquissée dans l'article de Ren, Richter-Gebert & Sturmfels que j'ai lié ci-dessus (autour du théorème 6) : partir d'un terme du style [1,2,3]·[4,5,6]·P₇, où [i,j,k] désigne un crochet, c'est-à-dire un déterminant 3×3 (dans le cas d=2 du plan, et sinon (d+1)×(d+1)) entre les coordonnées homogènes de 3 points (P_i, P_j et P_k) et P_i les coordonnées homogènes du point i, en s'arrangeant pour que le terme soit de même degré dans les coordonnées de chacun des n points (c'est le cas ici), et ensuite sommer sur toutes les permutations, éventuellement avec le signe de la permutation. L'ennui c'est que ça donne souvent zéro, que même si ça ne donne pas zéro ça fait des trucs énormes même sur ordinateur, et que je ne sais pas comment faire pour prouver qu'une construction n'existe pas.

Ajout : Juste alors que je m'apprête à publier ce billet (et que je n'ai pas envie de totalement réécrire cette partie, et même pas le temps de relire sérieusement le présent paragraphe), quelqu'un[#8] me propose une solution sur Twitter, prétendant montrant qu'on peut construire un point complètement symétrique à partir de n points dans le plan pour tout n non multiple de 3, sauf 2 et 4. Son argument (tel que je le décode à partir de deux tweets) est le suivant. Appelons Q l'espace des configurations de n points, disons distincts, non marqués dans le plan et B = Q/PGL₃ son quotient par PGL₃ (i.e., les configurations de n points non marqués à transformation projectives près), et X := Q ×^PGL₃ ℙ² = (Q×ℙ²)/PGL₃ (produit contracté ; concrètement, il s'agit des configurations de n+1 points dont 1 est marqué, où les n non marqués sont distincts). Trouver une construction d'un point à partir de n revient exactement à trouver une section rationnelle de X→B (c'est-à-dire un point de la fibre générale, c'est-à-dire X vu au-dessus du corps des fonctions rationnelles de B). Maintenant, comme la fibre générale de Q→B est un torseur sous PGL₃, la fibre générale de X→B est une forme tordue de ℙ² (une variété qui devient isomorphe à ℙ² quand on passe à la clôture algébrique), c'est-à-dire une surface de Severi-Brauer. Or l'indice d'une variété de Severi-Brauer, qui est le pgcd des degrés des 0-cycles dessus (un 0-cycle étant une combinaison formelle de points, et le degré étant la somme des multiplicités), divise la dimension plus 1 (cf. par exemple ici, théorème 68.1), donc ici 3 ; mais on a des n-cycles évidents consistant à prendre la somme formelle des n poins donnés. Donc si n n'est pas multiple de 3, l'indice vaut 1, et une variété de Severi-Brauer d'indice 1 a un point rationnel (op. cit., théorème 68.4), qui est justement ce qu'on voulait. (L'argument ne marche pas pour n≤4 parce que le quotient Q/PGL₃ est alors trivial.) ❧ Bon, ça me semble assez convaincant, mais il faut quand même que je réfléchisse aux détails, et surtout, à si et comment ça peut être rendu constructif. La même personne me signale aussi cet article de 1897 qui semble parler d'une construction d'un point du plan à partir de n=5 points — et la décrire explicitement — mais visiblement à cette époque on n'aimait pas énoncer des théorèmes précis, donc ce n'est pas super clair pour moi s'il fait bien ce dont je parle (notamment, si la construction est vraiment totalement symétrique).

[#8] Ce qui est un chouïa suspect, c'est que l'auteur de ces tweets ne mentionne pas du tout sur son site avoir étudié la géométrie algébrique (et normalement les gens qui produisent des arguments du style cette variété de Severi-Brauer a un zéro-cycle d'ordre premier à son indice donc elle est triviale) ont fait des études de géométrie algébrique. De nos jours, ça suggère fortement que l'argument a pu être trouvé par une IA (probablement en imitant un argument trouvé ailleurs — chacun des bouts du raisonnement ressemble à des choses très standards). Mais ça veut aussi dire qu'on ne peut absolument pas faire confiance dans le fait que ça ait l'air superficiellement correct, parce que les IA sont très très fortes pour produire des arguments qui ont l'air superficiellement corrects et qui comportent des erreurs subtiles comme un humain aurait peu de chances d'en faire — et qui sont difficiles à détecter. (Les IA ont vraiment énormément pourri la recherche mathématique en la submergeant d'erreurs subtiles.) Donc même si, expliqué comme je viens de le faire, ça me semble a priori convaincant, je ne veux pas me mouiller à dire que c'est correct.

Deux remarques sur l'approximation diophantienne

J'ai écrit une réponse sur MathOverflow expliquant comment on peut fabriquer (constructivement) des nombres réels ayant n'importe quel exposant d'irrationalité >2 donnée, ou bien égaux à leur exposant d'irrationalité, ou ce genre de choses. (L'exposant d'irrationalité de ξ est la borne sup des μ tels qu'il existe une infinité de rationnels p/q avec |ξ − p/q| < 1/q^μ. Il vaut 1 pour les rationnels, est compris entre 2 et +∞ au sens large pour tous les irrationnels, et toutes les valeurs entre 2 et +∞ sont effectivement atteintes. Voir ce billet passé pour une discussion proche.)

Ce qui m'amuse dans l'histoire, c'est que cette preuve est essentiellement tirée d'un document que j'avais écrit pour moi-même en 1995 (quand j'étais en prépa), et que j'avais gardé sous le coude. J'étais très content de moi à l'époque d'avoir trouvé ça (bon, je me doutais bien que ce n'était pas un résultat nouveau, mais disons qu'il n'est pas super évident à trouver dans un livre, et certainement pas dans ceux que j'avais à ma disposition à l'époque). Je trouve amusant de pouvoir ressortir ce texte plus de 30 ans après, et de l'adapter a minima pour répondre à une question sur MathOverflow.

Et sinon, puisque je mentionne mes messages récents sur MathOverflow parlant d'approximation diophantienne, j'ai aussi écrit cette réponse où j'explique comment fabriquer explicitement des approximations simultanées de √2, √3 et √6 par des rationnels de même dénominateur, mais en fait, ce qui est décevant, c'est que même si la technique est très jolie, ça ne donne pas les meilleures approximations (et les commentaires de David Speyer sous ma réponse expliquent exactement pourquoi).