Comments on Les octonions sont-ils intéressants ? (première partie)

Pierre (2015-02-14T23:57:50Z)

Tant qu'à nous expliquer le sens de l'égalité et de l'indiscernabilité, tu pourrais aussi nous parler des fondations univalentes de Vladimir Voevodsky (médaille Fields 2002). Il s'agit d'une version de la théorie des types qui se propose, entre autres, d'assimiler égalité et isomorphisme. À ce propos, j'aimerais connaître ton avis sur les prétentions de la théorie des types à remplacer la théorie des ensembles.

L'amusant de l'histoire c'est que John Baez s'y intéresse aussi :
https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/05/what_is_homotopy_type_theory_g.html
Mais son article qui m'a le plus intrigué, c'est celui où il décrit des analogies entre le cobordisme, la physique quantique, la logique linéaire et l'informatique, grâce à la théorie des catégories :
http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf
Tout ça pour dire que toi et lui avez des démarches pédagogiques assez parallèles… dont nous les amateurs sommes très friands ! ;-)

phi (2015-02-14T23:23:16Z)

«Le fait qu'il n'y ait que quatre algèbres-alternatives à divisions de dimension finie sur les réels»… Si on prend des algèbres à division plus générales (non nécessairement alternatives), y a-t-il encore unicité (voire finitude) pour les dimensions 2, 4 et 8? Si non, ce pourrait être une raison de plus de s'arrêter là.
(<- Y a-t-il, avec les formes de Pfister, des "identités" des 2^n carrés supplémentaires pour les dimensions 2, 4 et 8?)

Marie (2015-02-14T20:19:20Z)

> Il faudra un jour que j'écrive un petit discours sur ce que ça signifie que deux objets soient égaux ou indiscernables en mathématiques

je me disais bien que j'avais déjà entendu parler de ce sujet sur ce blog (mais je n'ai pas pensé, sur le coup, à faire une recherche sur "indiscernables", bref) et puis je suis tombé sur le méta de <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/d.2014-03-29.2197.html >, et je me suis dit "ce serait chouette que Ruxor nous dise des choses là-dessus !"…

jonas (2015-02-10T22:46:56Z)

As for the part you haven't written yet, I'd just like to link to John Baez's writeups at <URL: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/integers/index.html >.

Ruxor (2015-02-05T16:34:32Z)

@Bruno: La géométrie des octonions-déployés est aussi étudiée dans la thèse d'agrégé de Tits (même si ses notations sont assez lourdingues). Elle a été ensuite considérablement réétudiée, sur un corps quelconque, et sous le nom d'« hexagone généralisé de Cayley », par les gens qui font des géométries finies (cf. par exemple van Maldeghem, *Generalized Polygons* (1998), §2.4.9). Ça fait aussi partie des choses dont je voudrais parler (globalement, qu'est-ce que c'est qu'un R-espace / espace de drapeaux généralisé, et ce qu'on peut dire sur les géométries construites par quotient d'un groupe algébrique réductif par ses sous-groupes paraboliques), mais je ne sais pas si je peux arriver à faire de la vulgarisation pas trop merdique à ce sujet.

Bruno (2015-02-05T16:06:18Z)

@Nick Mandatory, @Ruxor : Il y a une preuve très rapide et élégante de l'équivalence homogène-isotrope et symétrique de rang 1 (ou plat), dûe à Zoltan Imre Szabo (ce n'est pas le même que celui de Ozsvath-Szabo), parue dans Inventiones 106, p. 61-64 (1991) :
<URL : http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN00210900X >
Il montre directement que le tenseur de courbure est parallèle, par un avatar de Borsuk-Ulam.

@Ruxor : Ce n'est pas très connu, mais la géométrie des octonions-déployés (sur les réels) est en fait presque plus belle que celle des octonions. C'est celle des $\\mathbb{R}P^3$ contenus dans la quadrique $Q$ de dimension $6$ et signature "neutre" $(4,4)$ dans \\mathbb{R}P^7$. Il y en a deux familles $Q_+$, $Q_-$, toutes deux paramétrées par une quadrique du même type (trialité!). On peut s'en convaincre élémentairement, via l'isomorphisme $SO(4)\\simeq (S^3\\times S^3)/\\pm1\\simeq Q$ (celui des quaternions)…

Du point de vue des octonions, c'est limpide : si $A$ est l'algèbre des octonions-déployés réels, $N$ sa forme (quadratique) "norme", $Q$ est le projectifié du cône isotrope $N=0$, et les éléments de $Q_\\pm$ sont les projectifiés des annulateurs droits et gauches des éléments isotropes non nuls de $A$.
Et bien sûr, toute cette structure est parfaitement symétrique…

C'est expliqué par exemple dans

F. van der Blij, T. A. Springer, {\\it Octaves and triality},
Nieuw Arch. Wiskd., III. Ser., vol 8, (1960), p. 158-169.

<URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=123622/mathscinet-getitem?mr=123622>

(désolé, je n'ai pas de référence plus accessible).

Il y a aussi un modèle "matriciel" rigolo, les matrices de Zorn

<URL: http://fr.wikipedia.org/wiki/Octonion_d%C3%A9ploy%C3%A9#Alg.C3.A8bre_matricielle-vectorielle_de_Zorn>

Enfin, moi aussi j'ai hâte de lire la suite…

Pierre (2015-02-05T13:59:51Z)

@Ruxor
Un grand bravo pour ton style mathématique agréable et convaincant. On se sent un peu plus intelligent en te lisant (mais malheureusement c'est une illusion). Alors je ne sais toujours pas si les octonions sont intéressants en eux-mêmes, mais ils le sont devenus pour moi grâce à toi.

@Régis
Bien parlé ! Ça me rappelle la définition de Jean Dieudonné : « quelqu'un qui a publié au moins la démonstration d'un théorème non trivial. » À ce compte, lesquels d'entre nous sont des mathématiciens ?

Ruxor (2015-02-05T13:54:36Z)

@Nick Mandatory: Pour la classification des espaces homogènes et isotropes (ou deux-points-homogènes, i.e., le groupe d'isométries opère transitivement sur les couples de points à distance d ; l'équivalence n'est pas très difficile à montrer), la meilleure référence est sans doute

J. A. Wolf, *Spaces of Constant Curvature* (6e édition : AMS 2011), chapitre 8 (notamment §8.12).

(Il y a des rumeurs selon lesquelles ce livre se trouve sur les sites pirates russes comme gen.lib.rus.ec — mais je ne veux surtout pas colporter ce genre de rumeurs.)

Sinon, les références originales (Wang dans le cas compact, Tits dans le cas général) sont

H.-C. Wang, "Two-Point Homogeneous Spaces", *Ann. of Math.* 55 (1952), 171–191, <URL: http://www.jstor.org/stable/1969427 >.

J. Tits, "Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie", *Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Coll. in 8º* 29 (1955) (numéroté [27] dans ses œuvres complètes éditées par la SME, premier volume ; c'est sa thèse d'agrégé), section IV.E.

Il y a aussi une démonstration dans

H. Matsumoto, "Quelques remarques sur les espaces riemanniens isotropes", *C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A–B* 272 (1971), A316–A319, <URL: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k480300n/f319.image >.

(En fait, il y a deux questions : montrer que les espaces deux-points-homogènes, ou homogènes et isotropes, sont des espaces riemanniens symétriques de rang 1, et classifier ces derniers. Wolf fait les deux, mais les autres références que je donne concernent essentiellement l'équivalence ; la classification des espaces riemanniens symétriques remonte à Élie Cartan.)


@Geo: C'est une bonne question, en fait, « qui sont les mathématiciens amateurs ? », et je comptais écrire une entrée un jour à ce sujet (essentiellement pour poser la question, pas vraiment pour y répondre !). Mais il est certain qu'ils existent. Évidemment, il y a différents niveaux auxquels on peut faire des maths en amateur, entre des gens qui font vraiment de la recherche sans être payés pour ça (ou sans être au moins émérites…) et ceux qui cherchent des motifs dans les décimales de π (et puis on a aussi tous les cinglés qui produisent toutes sortes de « démonstrations » du théorème de Fermat, de l'hypothèse de Riemann, etc., ou qui inventent les hyper-nombres à 42 dimensions).

Nick Mandatory (2015-02-05T11:38:32Z)

Je n'ai pas vraiment l'habitude de faire ça, mais je voulais te féliciter pour la qualité de cette entrée. C'est vraiment excellent. (Une des raisons pour lesquelles je le fais, c'est pour te dire que si tu as le courage d'écrire les entrées suivantes, tu auras au moins un lecteur enthousiaste).

J'empiète sur l'entrée suivante – mais après tout, c'est toi qui as commencé : as-tu une référence pour la classification des espaces homogènes isotropes ?

Encore bravo, je suis vraiment impressionné.

Régis (2015-02-05T08:24:16Z)

@Geo: peut-être les mathématiciens sont-ils, en général, des gardiens du temple un peu rigides et maintiennent-ils autour de leur discipline un halo de sévérité. Enfin ce n'est pas le cas de Ruxor. Qu'Est-ce qui empêche de s'amuser à résoudre des équations même quand on n'est pas matheux? Les musiciens amateurs n'ont pas peur de commettre des fausses notes et les peintres du dimanche ont rarement honte de leurs croûtes…

Geo (2015-02-04T18:05:40Z)

> "les mathématiciens amateurs"

Qui sont les mathématiciens amateurs ?

J'ai l'impression qu'une fois les études finies, plus grand monde ne s'intéresse aux maths en amateur, comme on pourrait s'intéresser par exemple à la programmation, à la musique ou au sport. Ça demande un gros investissement pour un résultat intangible, qu'on n'aura peut-être même pas le plaisir de partager avec d'autres (contrairement au professionnel qui lui pourra toujours partager ça avec ses étudiants ou collègues).

jonas (2015-02-04T16:56:29Z)

(Of course, verifying that this space is closed to multiplication is actually the same as verifying the associativity in disguise.)

jonas (2015-02-04T16:48:29Z)

Thank you for writing these entries in a self-contained way. It's interesting even when I don't understand all of it.

One thing you don't seem to mention is that quaternions can be represented as 2×2 complex matrices of the form [a, b; -conj(b), conj(a)]. You have to verify that the space of such matrices is closed to multiplication. The advantage of this construction is that it is apparent from it why the multiplication of quaternions is associative. You can use Cramer's rule to compute the inverse of a quaternion from this as well. Of course, as the multiplication of the octonions isn't associative, there cannot be such a matrix representation for them.

Marie (2015-02-04T13:50:13Z)

J'ai hâte de découvrir la suite…

Régis (2015-02-04T09:30:34Z)

Le titre est appétissant. Déjà il pose une question… quel dommage que tous les enseignants en mathématiques n'aient pas cette démarche. Le titre sous-entend une utilité. Le concept est amené sans approximation trivialisante et dans une approche pas à pas et historique. J'ai de lointains souvenirs du programme de terminale où les complexes nous étaient tombés dessus comme la vérole sur le bas clergé, boum! circulez et débrouillez-vous.


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