Comments on Le taquin de Mathieu

@Nick Mandatory: Je n'ai pas vraiment de raison de penser qu'il y ait un problème avec jQuery, c'est plus une question de goût : je n'aime pas ces grosses bibliothèques qui font tout, et inversement j'aime bien faire des pages Web qui ne dépendent de rien (un pur fichier HTML qui contient tout, comme ça on peut de façon simple le recopier et l'exécuter depuis n'importe où) ; du coup, j'essaie de me demander si jQuery m'apporte vraiment quelque chose dont je ne puisse pas me passer, ou vraiment un gain de temps si important. Un problème secondaire est que je n'ai pas envie que mon site Web dépende de ressources situées ailleurs, mais qu'inversement recopier pour servir ma propre copie de jQuery semble être du gâchis : si quelqu'un se secouait pour implémenter ce que je proposais dans <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/2013-03.html#d.2013-03-17.2122 > je serais déjà beaucoup plus tenté de m'en servir.

Julien Jalon → Je me suis rendu compte que c'était quasiment impossible de trouver huit teintes facilement discernables par l'œil humain… si tu penses pouvoir faire mieux, donne-moi les triplets RGB. En attendant, j'ai essayé d'utiliser les couleurs les plus discernables sur les paires non-adjacentes.

Curieux → Il va falloir prévoir des gros taquins parce que, si je ne m'abuse, pour représenter le Monstre comme un groupe de permutations il faut le faire agir sur au moins 97239461142009186000 objets. Je ne me porte pas volontaire pour écrire le JavaScript, là…

D'ailleurs, avec une attaque des anniversaires un peu bien pensée j'arrive à trouver une solution plus courte que celle que GAP trouve par défaut :
r^-4*s*r^6*s*r^-5*s*r^6*s*r^5*s*r^6*s*r^3*s*r^3*s*r^-2*s*r^3*s
(où r est la rotation vers la droite, r^-1 vers la gauche, s le flip de Mathieu, et il faut effectuer les opérations de gauche à droite — c'est-à-dire, précisément, 4 coups à gauche, flip, 6 coups dans un sens quelconque, flip, 5 coups à gauche, flip, 6 coups, flip, 5 coups à droite, flip, 6 coups, flip, 3 coups à droite, flip, re 3 coups à droite, flip, 2 coups à gauche, flip, 3 coups à droite, flip). Ça ne doit pas être loin d'être optimal. Et c'est rigolo d'essayer de suivre les pièces 1, 3, 5 et 7 (par exemple) au il des opérations.

Curieux → Non, aucun rapport (sauf peut-être d'inspiration). Les calculs pour le taquin de Mathieu ont été facilement faits avec GAP4 (comme le suggère le commentateur suivant).

Guego → J'ai remarqué que GAP4 donnait une solution de longueur ~80. Si on lui donne pour générateurs toutes les puissances de r, il trouve un mot plus long en r et s mais plus court en puissances de r et s et plus facile à réaliser sans se tromper. Mais tout ça dit finalement peu de choses sur la difficulté du puzzle pour un humain — moi je résous le Rubik's cube avec des méthodes très très longues en nombre de coups mais assez faciles à retenir et réaliser. Comme je disais, je pense que la grosse difficulté du taquin de Mathieu c'est qu'il n'y a aucune façon de faire des permutations avec beaucoup de points fixes (le maximum qu'on puisse faire est 8).

J'ai un peu essayé de jouer moi-même au taquin, j'arrive à placer deux nombres où je veux mais déjà trois c'est trop dur pour moi.

Benjamin → Je voulais un taquin dont le groupe soit le groupe M24 de Mathieu (comme j'ai dû le dire plein de fois, c'est un des objets les plus remarquables de l'univers mathématique), et ça limite énormément les possibilités. L'immense majorité des flips conduirait à une situation où on pourrait atteindre n'importe quelle configuration (paire, si le nombre de paires échangées est pair), il y en a très peu qui engendrent précisément le groupe de Mathieu.

Précisément, ma démarche a été la suivante : j'ai remarqué qu'une certaine classe de conjugaison dans M24 (la classe 12B, pour être précis) s'écrit comme produit de deux cycles de longueur 12, d'où mon idée de faire un puzzle 12×2 où un élément de cette classe se présente comme une rotation. L'arrangement relatif des deux lignes est arbitraire, en fait. Ensuite, j'ai considéré les 11385 éléments de la classe 2A (produits de huit transpositions) de M24 pour décider lequel était le flip le plus intéressant ; il se trouve que 10176 d'entre eux engendrent M24 avec la rotation choisie, et parmi eux seulement 36 ont un produit avec elle qui soit d'ordre 5 (tous les autres ordres possibles sont plus communs), donc je me suis dit que c'était le plus remarquable, et parmi les 36 possibilités en question j'ai choisi celle (et l'arrangement relatif des deux lignes) où les paires échangées étaient le plus possible contiguës.