Comments on « Donc »

Prenons un autre exemple. On demande à des élèves de montrer qu'une application est dérivable. Ils calculent la dérivée (analytiquement par des règles de calcul) et en déduisent son existence. Nous savons tous que cela ne marche pas. A moins d'utiliser un taux d'accroissement, de faire tendre le pas vers 0, etc. Le contre exemple fameux étant la valeur absolue… en 0 évidemment. On sait calculer les nombres dérivés à gauche (-1) et à droite (+1) et on m'en déduit la dérivabilité !
Sinon, aussi, c'est utiliser à tort et à travers des résultats faux de théorèmes justes : sit f une fonction continue sur [ab], dérivable sur ]ab[. f atteint un extremum local en c de ]ab[ alors f'(c)=0. Vous connaissez les deux bêtises :
- soit on applique ça au segment [ab] et là, patatra c'est faux :prendre Id sur [ab] qui a bien un min et un max (min(a,b) et max(a,b) respectivement), mais dont la dérivée ne s'annule pas.
- soit on applique : tout point où la dérivée s'annule est un extremum local. Evidemment, c'est encore faux car les points d'inflexions vérifient aussi cela… ex : fonction cube sur [-1,1] (R aussi d'ailleurs).
Sinon, ce qui est drôle c'est de leur demander une condition >>suffisante<< pour qu'on ait un extremum :
(0) soit p dans N*
(a) f dérivable (2p-1) fois sur [ab], (2p) sur ]ab[
(b) il existe un point c de ]ab[ tel qu'en c tel que pour tout n inférieur strict à 2p, f(n)(c)=0 mais f(2p)(c)!=0
Alors f admet en c un extremum. Si f(2p)(c) est positif c'est un minimum, sinon c'est un maximum.
Et bien, leur faire démontrer cela, de temps en temps, c'est assez drôle… (niveau bac +1 il y a quelques années, je ne sais pas maintenant)

Le "donc" le plus fréquent étant, bien sûr, celui qui relie directement l'hypothèse à la conclusion. Mais mon préféré est, en réponse à un énoncé de la forme "Montrer A, en déduire B", le texte : "…(preuve de A)… . On peut donc en déduire B".

D'autre part, je ne peux guère corriger en multi-pass (la plupart de mes sujets sont enchaînés). Mais du coup, quand je trouve, par exemple, à une question, une définition correcte de sinh x (=(e^x-e^(-x))/2) et à la question suivante, un truc du genre "Domaine de définition de sinh =[-pi/2,pi/2]", comment je note?