Comments on Réflexions sur les sophismes des sorites, et les frontières floues

Charles Delaporte (2023-04-23T11:11:49Z)

Il ne s’agit pas ici de propriétés floues, mais de frontières floues entre des propriétés nettes.
Ce dont la notion d’entier non standard rend exactement compte.

BR (2023-04-22T09:49:31Z)

La référence à l'analyse non standard me paraît complètement hors sujet. On peut formaliser de façon tout à fait satisfaisante ce qui est décrit dans ces réflexions avec la logique floue <URL : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_floue> : la valeur de vérité d'une propriété est graduée sur une échelle variant de 0 (faux) à 1 (vrai). Cela permet de formaliser de façon satisfaisante des propriétés floues comme "l'eau est chaude", "David roule vite", "longtemps, je me suis levé de bonne heure", "cet ensemble de grains est un tas de sable" : ainsi, à chaque fois qu'on ajoute un grain, la valeur de vérité de la proposition augmente légèrement (de même, chaque fois que je reçois 0.01€, la valeur de vérité de la proposition "je suis riche" augmente imperceptiblement).

Apokrif (2023-04-04T17:59:35Z)

Un caractère de trop dans une URL fournie par F3et: https://images.math.cnrs.fr/Des-canards-dans-mes-neurones.html

Charles Delaporte (2023-04-03T15:48:25Z)

L’analyse non standard n’a peut-être pas encore déployé toute son amplitude d’action.

Exemple en probabilités :

Lorsqu’on présente le fameux théorème de Cesàro (la probabilité que deux nombres entiers soient premiers entre eux vaut 6/pi^2), par exemple sur Wikipedia, on commence systématiquement par présenter au moins une ou deux « fausses » démonstrations, dont la démonstration originale de Cesàro lui-même, avant de s’intéresser aux démonstrations considérées comme valides…

…Tant il est vrai que ces « fausses » démonstrations, d’une simplicité déconcertante, sont autrement plus percutantes, efficaces et élégantes que les démonstrations hyper-sophistiquées considérées aujourd’hui comme valides.

L’analyse non standard ne pourrait-elle pas venir au secours de Cesàro comme elle est venue au secours de Newton et Leibniz ?

La raison centrale pour laquelle ces démonstrations ont été invalidées est qu’elles raisonnent avec l’infini comme avec le fini, elles présupposent une loi uniforme sur l’ensemble des entiers naturels, ce qui est impossible dans le formalisme actuel des probabilités.

Mais si on remplace l’ensemble des entiers naturels par l’ensemble des entiers de 1 à omega, avec omega un entier non standard ?

Ces démonstrations un peu trop belles pour être totalement fausses ne pourraient-elles pas être réhabilitées grâce à l’analyse non standard, en leur fournissant un cadre théorique adéquat, de la même manière qu’ont été réhabilités les infinitésimaux ?

f3et (2023-04-03T08:09:29Z)

En réalité, l'intérêt de l'ANS, d'un point de vue pédagogique, est de rassurer les physiciens sur leur utilisation des infiniment petits (ou sur la légitimité de traiter df/dx comme une fraction, etc.), au prix d'admettre une nouvelle axiomatique (IST, c'est-à-dire ZFC + les trois axiomes d'idéalisation, standardisation et transfert) et la preuve métamathématique que ces axiomes n'amènent pas de contradiction si ZFC n'en a pas. Mais les étudiants, en général, n'y voient pas de difficulté, pas plus qu'ils ne demandent une construction rigoureuse des réels (pour une approche de l'analyse par cette méthode, voir le cours donné à Strasbourg par Diener). Mais de fait, pour des résultats nouveaux et intéressants, il faut aller déjà chercher assez loin (les canards, par exemple : voir cet article de Image des mathématiques : <URL: http://images.math.cnrs.fr/Des-canards-dans-mes-neurones.html/>). Soit dit en passant, l'article de Wikipédia en français sur l'ANS me parait mieux fait que celui en anglais. Quand aux critiques, elles rappellent fâcheusement les autres critiques des intuitionnistes : ouvrant des pistes philosophiques, mais d'intérêt mathématique très faible. Voir aussi à ce sujet l'approche de Terence Tao, et sa version "light" de l'ANS : <URL: https://terrytao.wordpress.com/2012/04/02/a-cheap-version-of-nonstandard-analysis/>.

Couard Anonyme (2023-03-31T01:51:34Z)

Pourquoi l'analyse non-standard est-elle si peu utilisée / enseignée ?

Si j'en crois wikipedia c'est un peu l'équivalent pour les infiniment petits des distributions pour les "fonctions qui ne sont pas vraiment des fonctions que les physiciens manipulent quand même comme des fonctions". Le seul fait de faire le ménage dans ce merdier a valu à Schwartz une médaille Fields. Alors je ne sais pas si l'analyse non standard peut faire le ménage dans les dx/dt des physiciens, mais ce serait bien.

Wikipedia a une page de critiques de l'analyse non standard, mais on y apprend que les constructivistes la détestent (bon…) et que Alain Connes se plaint qu'elle est commutative (bon…)

f3et (2023-03-25T08:17:18Z)

Je ne vais évidemment rien t'apprendre en signalant qu'une formalisation rigoureuse du paradoxe du tas de sable est la notion d'entier non-standard : un entier standard le reste si on lui ajoute 1 (ou si on l'élève au carré, etc.) ; un entier non-standard le reste si on lui retranche 1 (ou si on en prend la racine carrée, etc.)

Charles Delaporte (2023-03-25T06:46:36Z)

Excellent plaidoyer pour l’analyse non standard !

Typhon (2023-03-24T21:23:34Z)

Je voudrais mettre en garde tes lecteurs sur le fait qu'Aella est quelqu'un d'assez peu recommandable et que ses sondages sont à prendre avec des pincettes.

Par exemple elle poste des hot takes racistes bien senties <URL: https://www.reddit.com/r/SneerClub/comments/i5vne1/aella_drops_such_a_bad_take_it_makes_it_to_the/ >, des propos eugénistes <URL:https://www.reddit.com/r/SneerClub/comments/f5wsux/aella_just_asking_questions_again/ >, et de la transphobie plus ou moins bien dissimulée <URL: https://www.reddit.com/r/SneerClub/comments/wipftl/adding_this_screenshot_to_the_wikipedia_entry_for/ >.

Sur le fond de ton billet, je dirai ceci :

Je pense que c'est une situation où il y a peu de choses intéressantes à dire sur le phénomène général, et où la plus grosse partie du problème se situe dans les cas d'espèce.

C'est à dire que je pense que la façon dont on raisonne pour déterminer sur un ensemble de grains de sable est une dune ou une pincée n'a que très très peu à voir avec la façon dont on va raisonner pour déterminer si une situation relève du viol ou pas.

En conséquence, si c'est cette dernière question qui t'intéresse, tu peux ne pas t'encombrer du tégument de la question plus générale des frontières floues, ou le faire dans un billet séparé.


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