Comments on Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de 𝔖₆)

SM (2017-07-14T05:47:44Z)

Pour tout n diffĂ©rent de 6 (et c'est faux pour 6), on a l'Ă©noncĂ© suivant : pour toute action libre de S_n sur un ensemble Ă  n Ă©lĂ©ments, il existe une façon de renommer ces Ă©lĂ©ments 1,…,n de telle sorte que S_n agisse de la façon usuelle.

Pour tout n diffĂ©rent de 2 (et c'est faux pour 2), on a l'Ă©noncĂ© suivant : pour toute action libre de S_n sur un ensemble Ă  n Ă©lĂ©ments, il y a au plus une façon de renommer ces Ă©lĂ©ments 1,…,n de telle sorte que S_n agisse de la façon usuelle.

Je ne dis pas que le second énoncé (unicité au lieu d'existence) est profond, mais il me fait marrer !

(Le second énoncé ne porte en réalité que sur l'action usuelle.)

SM (2017-07-09T07:16:27Z)

Une "autre" façon de paraphraser l'existence de l'isomorphisme exceptionnel est la suivante, qui n'aidera ni le profane complet ni celui qui a dĂ©jĂ  "tout compris" : le groupe S_n agit de manière libre sur {1,…,n} d'une unique manière (au sens oĂą si on en a deux, la seconde est Ă©gale Ă  la première Ă  renommage des Ă©lĂ©ments de {1,…,n} près), sauf pour n=6 oĂą il y a deux actions Ă  renommage près. David a exposĂ© l'intuition "catĂ©gorie", lĂ  c'est une intuition plus terre Ă  terre "action de groupe".

Bon, au cas où ça aiderait certains lecteurs à démêler ce qui est "figé" de ce qui est "renommable", il faut penser S_n comme donné de manière extrêmement explicite : par exemple, il y a l'élément (1 2 3) qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1 et ne bouge rien d'autre. Ainsi, S_n n'est pas considéré à je-ne-sais-quoi près : c'est un registre d'instructions on ne peut plus explicites.

Ce groupe, explicite, agit (comme on l'a indiquĂ©) sur {1,…,n} de la façon usuelle. On peut s'intĂ©resser Ă  d'autres actions de ce groupe que celle qu'on vient de voir : le groupe S_n est figĂ©, mais on peut le faire agir sur bien des ensembles et de moultes manières ! On s'intĂ©resse dans cette discussion au cas oĂą l'ensemble a n Ă©lĂ©ments et oĂą l'action est libre. Eh bien, sauf pour n=6, si je prends une telle action, je peux numĂ©roter les Ă©lĂ©ments de mon ensemble de 1 Ă  n de telle sorte que, vu avec ces lunettes, chaque Ă©lĂ©ment de S_n agisse exactement comme dans son action usuelle (par exemple, l'Ă©lĂ©ment notĂ© (1 2 3) va effectivement envoyer 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1 et ne rien faire d'autre).

Ainsi, sauf pour n=6, "dans de bonnes coordonnées", toute action libre de S_n sur un ensemble à n éléments se ramène à ("se lit comme") l'action usuelle ; et pour n=6, on peut trouver une action libre sur un ensemble à 6 éléments qui ne se ramène pas à l'action usuelle (et il n'y en a qu'une à "changement de coordonnées près").

JML (2017-02-28T17:33:55Z)

En fait je me disais qu'une bonne partie de l'entrĂ©e, depuis « j'admire la figure » jusqu'Ă  « ouch les nĂ©o », est très accessible au lycĂ©e — mais tout public potentiel est certainement perdu au premier dzĂ©ta, Ă©ta ou ksi…
Et oui merci d'avoir bien rappelé tout du long comment ça s'enlace sinon il aurait fallu scroller jusqu'à la définition à chaque fois :)

Maintenant, je me rends compte que je faisais une confusion, parce que je croyais qu'on construisait un morphisme particulier, qu'il n'y avait qu'un seul automorphisme exceptionnel. J'ai dĂ» rĂ©diger pour dĂ©brouiller ma confusion… ça donne un commentaire qui tend Ă  devenir aussi long que l'entrĂ©e, bon, t'es pas obligĂ© de lire.

La construction 6 objets → 6 pentades → 6 néo-objets me donne automatiquement, en suivant la construction, pour s une permutation des objets, p(s) une permutation des pentades, puis P(p(s)) une permutation des néo-objets. Par identification des néo-objets aux objets, P(p(s)) est une permutation des objets, et en fait on peut montrer (on explicitant pour une transposition et un 6-cycle ? ou parce que le seul endomorphisme canonique est l'identité ?) que P(p(s)) = s, on est revenu au point de départ. Du coup une permutation t quelconque des pentades peut être obtenue à partir d'une certaine permutation des objets, à savoir P(t) : p(P(t)) = t. (P est la réciproque de p.)

On peut aussi montrer que p(s2 o s1) = p(s2) o p(s1) : p est un morphisme qui couvre toutes les permutations des pentades puisqu'il admet une réciproque. Si l'on se donne une identification des pentades aux objets, on pourra voir p comme un automorphisme sur les objets, c'est-à-dire un automorphisme de 𝔖₆.
Pour expliciter : on se donne c une correspondance arbitraire objets → pentades. Je note c' sa réciproque qui ramène aux objets, et on pose
M(s) = c' o p(s) o c
On obtient bien un morphisme :
M(s2 o s1) = c' o p(s2 o s1) o c = c' o p(s2) o c o c' o p(s1) o c
= M(s2) o M(s1)
M dépend d'un choix arbitraire de c, on pourrait le noter M_c. Il s'appelle tout de même « l'automorphisme exceptionnel/extérieur de 𝔖₆ », comme s'il n'y en avait qu'un seul, parce que le choix d'une autre correspondance d revient à modifier M_c d'une manière qui ne change rien pour ce que les matheux en font : «à permutation près, M_d = M_c ».
En effet on peut trouver s_d une permutation des objets telle que d = c o s_d (on réordonne d'abord les objets pour que c amène au bon endroit), d'où
M_d(s) = d' o p(s) o d = s_d' o c' o p(s) o c o s_d
= s_d' o M_c(s) o s_d
C'est le genre de chose que les matheux regardent en premier quand ils s'intéressent aux automorphismes : composer à gauche et à droite par un truc et sa réciproque. En l'occurrence, pour t une permutation, on peut facilement vérifier que A_t(s) = t' o s o t définit un morphisme de 𝔖₆, dit intérieur : l'idée est que l'on identifie l'ensemble des objets au même ensemble mélangé par t. Chaque permutation t fournit ainsi un automorphisme, et la question est de savoir si on les obtient tous comme ça. Donc on se fiche un peu de la différence entre M_d et M_c, parce que M_d = A_s_d o M_c : aux automorphismes intérieurs près, c'est-à-dire à un certain mélange près des objets, c'est la même chose.
Or, on peut montrer (comment ?) que M (M_c ou M_d) n'est pas un automorphisme intérieur. Il y a donc une manière de transformer les permutations de 𝔖₆, qui respecte la composition, et qui pourtant ne revient pas à juste mélanger les objets par un certain t ; et cette manière est donnée par M (à mélange près, forcément), c'est-à-dire par p après identification arbitraire des objets avec les pentades.
M est dit exceptionnel parce que parmi tous les automorphismes des 𝔖_n, il n'y a que lui qui ne soit pas intérieur. Donc si on part de n objets, que l'on fait toute une construction amenant à un nouvel ensemble de n nouveaux objets, ce qui permet de définir des permutations induites p(s) dessus (euh, p est forcément un morphisme ?), et qu'on les ramène avec une correspondance arbitraire aux objets de départ, on aura peut-être un automorphisme de 𝔖_n, mais sauf si n=6 et que l'on a construit les pentades sous une forme ou une autre, cet automorphisme sera intérieur : c'est un A_t pour un certain t. On peut alors composer notre correspondance arbitraire avec t', et obtenir une correspondance pour laquelle l'automorphisme sera tout simplement l'identité Id(s)=s.
Autrement dit, sauf le cas exceptionnel des pentades, quels que soient les n objets que l'on construit qui donnent des automorphismes, il existe une correspondance naturelle entre les objets construits et ceux de départ, pour laquelle les permutations induites sont égales aux permutations de départ. Si n!=6, on sait d'avance que l'on a construit une copie conforme du point de vue des permutations.

Ai-je bien compris ? Voulais-tu dire quelque chose de plus fort ?

Ruxor (2017-02-23T23:19:05Z)

@JML:

"l'automorphisme exceptionnel a-t-il des propriétés particulières" → Je crois qu'il est surtout intéressant en ce qu'il fournit la clé pour construire d'autres objets exceptionnels, tels que les groupes de Mathieu, ou pour comprendre des objets apparentés, comme les surfaces cubiques. Mais à part ça, non, pas qui me vienne à l'esprit. C'est plutôt une curiosité que ce truc existe, et surtout n'existe que pour n=6.

"J'essaye de reformuler ce que je crois comprendre" → Oui, c'est ça, à la précision près que dans "on aura toujours p'=p", c'est pour une certaine identification des néo-objets aux objets (ce qui, justement, définit une telle identification).

J'ai ajouté un tout petit mot sur ce que c'est que 𝔖₆ et signalé le code de couleur quand j'annonce que deux pentades ont un unique synthème en commun. Pour le mot synthème et les lettres grecques, j'aime quand même bien ça, ça fait chic. Pour ce qui est de parler de s'intersecter au lieu d'utiliser entrelacé, il me semble que j'ai fait attention, dans tout le début, à toujours rappeler le sens du mot « entrelacé » à chaque fois que je m'en sers, pour l'introduire doucement.

JML (2017-02-23T21:12:07Z)

HĂ© bien, quelle histoire !
J'ai bien aimé la construction progressive du suspens qui amène à la clé de voûte ardue où tout retombe sur ses pieds, et apprécié les efforts de pédagogie.
Le choix du vocabulaire « enlacé » complique la lecture dans un premier temps (par rapport à « s'intersecte » par exemple) mais permet de bien vérifier qu'on ne se fait pas avoir dans l'identification néo.

Deux points me laissent perplexe :
- l'automorphisme exceptionnel a-t-il des propriétés particulières ? C'est un peu bizarre d'avoir suivi toute cette construction et de n'avoir, à la fin, qu'un simple automorphisme
- « À partir de six objets, il est possible de construire, de façon systématique, de nouvelles « choses », également au nombre de six, tout aussi interchangeables que les objets de départ, mais qui ne peuvent pas être mis en correspondance systématique avec eux. »
« Partant de six objets » serait plus clair, mais surtout, si, il y a bien une correspondance canonique que tu construis ; c'est aussi peu clair dans le paragraphe « Ce n'est possible que pour n=6 ». J'essaye de reformuler ce que je crois comprendre :

« Partant de n objets, et rĂ©alisant des constructions de nouveaux objets qui ne font pas jouer de rĂ´le particulier Ă  certains de ces n objets (exemple : considĂ©rer les paires d'objets, faire un graphe dessus en reliant les paires ayant un objet commun, … ; contre-exemple : appeler les sommets 0, 1, …, et faire des choses avec ces nombres), si l'on obtient un nouvel ensemble de n nĂ©o-objets, alors soit il n'y a pas de correspondance naturelle entre nĂ©o-objets et objets, soit il y en a une qui dĂ©coule directement de la construction (exemple : les sous-ensembles Ă  n-1 objets sont en correspondance avec l'objet manquant), soit n=6 et les nĂ©o-objets sont les pentades. »
Une permutation p sur les n objets va donner, par construction, une permutation sur les néo-objets, qui s'identifie par la correspondance à une permutation p' sur les objets, mais on aura toujours p'=p sauf dans le cas des pentades, c'est ça ?

Suggestions pour permettre la lecture Ă  un public plus large :
- Ă©liminer les lettres grecques (ksi et dzeta c'est vraiment pour les matheux…)
- introduire 𝔖₆ (juste une ligne et comment ça se prononce)
- remplacer « synthème » : trio par exemple (triptère, trille, triandre, trident, trinĂ´me, triplique…)
- utiliser « s'intersecte » dans un premier temps, amener l'enlacement après les lemmes
- renvoyer le lecteur aux couleurs des figures quand on arrive au synthème commun à deux pentades.

Ruxor (2017-02-16T17:05:19Z)

@s: En fait il faut écrire « distinct » à chaque fois qu'on parle de machins enlacés ou non-enlacés. J'en ai ajouté un certain nombre, sauf qua ça devenait vraiment trop lourd. La bonne façon de faire serait de définir deux mots, enlacé et délacé, les deux impliquant que les deux machins sont distincts, mais ça causerait trop de confusion.

Sinon, pour l'involutivité, je ne vois pas trop de façon de le faire simplement. Après, ce n'est pas très compliqué non plus : il suffit de le voir pour un 6-cycle et une transposition, et c'est une vérification facile (quoique un peu fastidieuse) dans chaque cas.

s (2017-02-16T15:45:55Z)

Dans "Il y a six pentades", "non enlacés" -> "enlacés"

Dans les "Deux trucs non enlacés appartiennent à un unique machin" se pose le problème qu'un doublet est enlacé avec lui-même mais pas un synthème avec lui-même dans la définition actuelle.

"et l'identification faite assure justement que cette permutation des objets donne la permutation des pentades qu'on s'est donnée" : Y a-t-il une manière de voir cela qui est aussi propre et élémentaire que les autres démonstrations de cette entrée ?

Merci pour l'entrée en tout cas !!

Ruxor (2017-02-14T20:05:46Z)

@\\\\\\\\s: Cette histoire de polarité m'amuse beaucoup, mais je ne trouve rien de vraiment intéressant à en dire. On peut vérifier toutes sortes de choses, par exemple qu'il existe à isomorphisme près (i.e., à permutation près) une unique polarité symétrique sur un ensemble à 6 éléments (=tous les automorphismes non-intérieurs involutifs de 𝔖₆ sont conjugués par l'action de 𝔖₆), ce qui aurait pour analogue le fait qu'il existe une unique forme bilinéaire symétrique ; on peut aussi calculer le groupe des permutations fixant une polarité symétrique (analogue du groupe orthogonal) et montrer qu'il est isomorphe au groupe des transformations affines sur le corps à 5 éléments. Mais bon, je ne sais pas si ça mène à quoi que ce soit.

S'agissant de M(12), la construction que tu donnes est aussi expliquée en détails par Conway dans le chapitre « The Golay Codes and the Mathieu Groups » (spécialement section 17) du même livre *Sphere Packings, Lattices and Codes*. Il a l'air de dire aussi des choses sur M(24), mais je ne comprends pas bien à la lecture en diagonale s'il a une construction analogue de M(24) ou non.

Bob (2017-02-14T19:11:41Z)

D'accord, en effet je n'avais pas réfléchi plus loin que l'interprétation (B).

C'est amusant et mystérieux, cette liste d'ordres 2,4,8,10. Je ne la connaissais pas et je ne sais pas comment l'expliquer.

jonas (2017-02-14T13:37:09Z)

You should mention somewhere in the article that $ \\mathfrak{S}_6 $ means the symmetric group on $ n $ elements. This wasn't transparent at first, and only became clear later in the article.

\\\\s (2017-02-14T13:10:45Z)

C'est vraiment génial cette histoire de "polarité" !!!

A part ça, vu que je vois passer Mathieu… je dĂ©cris ici une incarnation que je trouve chouette de M12. Si David estime que c'est HS, que ce commentaire ne voie pas le jour !

On considère les mélanges parfaits sur un paquet de 24 cartes : on coupe parfaitement puis effectue un mélange en queue d'aronde (i.e. à l'américaine, ou riffle shuffle) où on alterne parfaitement une carte sur deux. Il y a deux façons de réaliser cela selon par quel paquet on commence à effeuiller. En itérant ces mélanges, on définit un sous-monoïde du groupe fini Sym(24), donc un sous-groupe de Sym(24).

Ce groupe n'est pas encore celui qui nous intĂ©resse. Ce qu'il faut voir, c'est que ce groupe agit non seulement sur les cartes {0,1,…,23}, mais qu'il agit sur l'ensembles des paires de la forme {x,23-x}. Il y a 12 telles paires, et le groupe des permutations de ces 12 Ă©lĂ©ments qu'on vient de dĂ©finir est M12. (Le groupe dont on Ă©tait parti est un produit semi-direct de ce groupe et de (Z/2Z)^11.)

La démonstration (par invocation d'ordinateur) est ici :
http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/83_05_shuffles.pdf

Y est traité le cas des mélanges parfaits pour un nombre pair quelconque de cartes. Le cas impair a aussi du sens (deux façons de couper et une seule de rétablir équitablement), mais n'est qu'un exercice à traiter (voir fin de la section 3 du papier).

Les mélanges parfaits sont utilisés en magie.

Ruxor (2017-02-14T13:02:51Z)

@Bob: En fait, le terme « automorphisme extérieur » est problématique (j'aurais peut-être dû l'éviter) : il y a (A) des gens pour qui un automorphisme extérieur est un automorphisme qui n'est pas intérieur et (B) d'autres pour qui un automorphisme extérieur est un automorphisme modulo les automorphismes intérieurs. Pour ce qui est de (B), en effet, tout automorphisme de 𝔖₆ est (intérieur ou bien) involutif modulo les intérieurs, c'est-à-dire que Aut(𝔖₆)/𝔖₆ est le groupe cyclique C₂ à deux éléments. Mais moi je voulais dire (A) qu'il existe des automorphismes non-intérieurs qui sont involutifs, ce qui revient essentiellement à dire que la suite exacte courte 1→𝔖₆→Aut(𝔖₆)→C₂→1 se scinde. Et dans ce sens (A), il n'est pas vrai que tout automorphisme non-intérieur soit involutif : il en existe précisément 36 d'ordre 2, 180 d'ordre 4, 360 d'ordre 8 et 144 d'ordre 10 (pour comparaison, dans 𝔖₆ lui-même, il existe 1 élément d'ordre 1, 75 d'ordre 2, 80 d'ordre 3, 180 d'ordre 4, 144 d'ordre 5 et 240 d'ordre 6).

La raison pour laquelle je trouve ça intéressant tient à l'analogie suivante : on peut voir l'ensemble des pentades sur un ensemble à 6 éléments comme une sorte de « dual » de cet ensemble à 6 éléments (pour avoir vraiment une dualité, il faudrait sans doute aussi inverser les flèches — mais ici ce sont toutes des bijections donc peu importe). Une bijection entre l'ensemble des objets et l'ensemble des pentades correspond donc à identifier l'ensemble à son dual : j'ai envie d'appeler ça une « polarité » sur l'ensemble en question. Quand on a affaire à une polarité sur un objet mathématique, on peut se demander si elle est symétrique (i.e., si la polarité qu'elle définit sur le dual est la même), et ça devient ici exactement à se demander si l'automorphisme est involutif. (L'analogie avec un espace vectoriel serait d'avoir une forme bilinéaire symétrique.)

Bob (2017-02-14T11:26:51Z)

Merci pour cette belle construction !

Concernant le fait qu'il existe un automorphisme extérieur qui soit involutif, il me semble qu'il y a plus fort : *tout* automorphisme extérieur de S_6 est involutif !

(et une typo, "en efet")

\\s (2017-02-13T22:05:37Z)

Des pentades… XD J'Ă©tais obligĂ© d'Ă©crire ce commentaire stupide et prĂ©visible avant de poursuivre la lecture !

En tout cas, je suis d'accord : c'est reformulĂ© tel que tu l'as fait qu'on comprend vraiment ce que signifie l'existence d'un automorphisme extĂ©rieur d'un groupe symĂ©trique. Perso, ce n'est que des annĂ©es après avoir appris l'existence de cet automorphisme et la dĂ©monstration de cette existence que j'ai compris ce que cela voulait vraiment dire. J'imagine n'ĂŞtre ni un cas isolĂ© ni un cas gĂ©nĂ©rique…


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