Comments on Sur l'Arénaire d'Archimède, et les grands nombres

Ilia (2016-04-02T14:03:32Z)

Si on veut vraiment ratisser large, on peut prendre comme borne inf l'inverse de l'âge de l'Univers (soit 2.29E-18 Hz), et comme borne sup l'inverse du temps de Planck (soit 1.85E43 Hz). Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_%28frequency%29 . Cela ferait donc une largeur de 203 octaves et un chouïa.

On peut à la rigueur imaginer qu'on puisse pousser la borne inf un peu plus (si une onde a accompli un dizième de période depuis la naissance de l'univers, cela reste quelque chose de mesurable…) Pour la borne sup, cela paraît plus difficile.

Ruxor (2016-04-02T13:53:06Z)

Je pense que l'énergie maximale d'un photon est plus ou moins donnée par deux fois la masse au repos de la particule chargée la plus légère, c'est-à-dire l'électron : au-delà, on n'a plus vraiment un photon mais une superposition quantique photon + paire électron-positron (intuitivement, le photon passe son temps à se désintégrer en électron-positron et eux à s'annuler en photon), et du coup n'importe quel champ électromagnétique extérieur va séparer la paire. Donc je dirais quelque chose comme 3×10^20 Hz pour la borne ultraviolette : je suis sceptique quant à la signification d'un photon beaucoup plus énergétique que ça, mais c'est vrai que dans le vide de l'espace peut-être que ça peut exister.

Pour ce qui est de la borne infrarouge sur la fréquence, je la mettrais à quelque chose comme deux fois l'âge de l'Univers, soit quelque chose comme 10^−18 Hz. En-dessous, je dirais que le photon n'existe pas vraiment.

Donc je peux imaginer quelque chose comme 126 octaves de champ électromagnétique. Je veux bien en ajouter une vingtaine ou une trentaine dans les aigus en imaginant des rayons γ qui sont vraiment plus des paires électron-positron que des photons. Mais en tout cas le clavier n'ira certainement pas jusqu'à la lune, je suis d'accord que c'est complètement idiot.

Fab (2016-04-02T12:10:52Z)

L'utilisation de mots clé en anglais (en l'occurence, highest frenquency gamma) donnent une fois de plus des résultats plus pertinents, on trouverait alors une borne sup de 2,42*10^28 Hz (soit une longueur d'onde de 1,2*10^-20 m) pour les rayons de plus haute fréquence observés dans les gammas de « très haute énergie » :
https://en.wikipedia.org/wiki/Very-high-energy_gamma_ray
Ça nous allonge le clavier de tout de même 28 octaves (soit de 4,50 m supplémentaires…)
J'ai le sentiment que calculer la limite théorique (il y aussi cet article
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultra-high-energy_gamma_ray
mais il n'est pas très parlant en terme de limite numérique indépassable)
ne serait pas très compliqué (j'imagine grâce aux constantes h et c) mais j'aurais peur de dire des bêtises. Et puis on est dans les ordres de grandeur du quantique où j'aurais tendance à me méfier des calculs obtenus, je me trompe peut-être ?
Pareil pour la borne inf des ondes d'extrême basse fréquence où j'ai l'impression confuse que celle-ci est "mathématiquement floue" (à cause de l'énergie des photons devenant beaucoup trop basse, et peut-être aussi une forme de dégénérescence de ces ondes, à mesure que la fréquence décroît)…

Fab (2016-04-02T09:52:06Z)

@La note et le nombre : l'idée d'imaginer un clavier produisant toutes les « notes » électromagnétiques monochromatiques est amusante mais je sursaute quand je lis que ce clavier irait de la terre à la lune ! Comme Ruxor, je suis très attaché à représenter à peu près correctement les ordres de grandeur (cf. ce post mais pas que), et le calcul est ici plutôt facile :

Si on veut représenter tout le spectre des notes qu'on peut rencontrer dans la nature (les « notes visibles » ne seront effectivement émises que sur à peu près un octave, du rouge au violet), la plus « grave » sera émise à 1 Hz (la plus basse des plus basses des ondes radio ELF _extrêmement basse fréquence) et la plus « aigüe » des ondes gamma à 100 exahertz. J'ai en fait minoré la première et majoré la seconde par rapport aux bornes inf (3 Hz) et sup (30 exaHz) que j'ai vues sur le net.

On a donc un ratio de 10^20, soit d'environ 2^(66,4) entre ces deux bornes : à peu près 66 octaves et demie (et donc 800 touches) seraient nécessaires pour un clavier d'environ 10,6 m de longueur (en me basant sur une largeur de 160 mm l'octave de mon vulgaire synthétiseur d'ondes acoustiques du commerce).

Dix mètres soixante. On n'est pas encore à la distance terre-lune ;) J'imagine qu'on peut arguer que mes bornes de 1 et 10^20 Hz ne sont pas correctes par rapport à ce qui a été observé/supposément possible dans l'univers. Peut-être qu'on pourrait certes ajouter quelques octaves à ce clavier imaginaire, en particulier dans les « aigus »… Wiki parle vaguement d'ondes gamma dont la fréquence peut aller *théoriquement* jusqu'à l'infini, ce qui ne m'avance pas. Des physiciens ?

La note et le nombre (2016-03-31T11:43:02Z)

Tant que ce sont des nombres encore manipulables … on a la joie d'avoir inventé une notation expresse !

On imaginait un clavier harmonique sur lequel les ondes électro-magnétiques étaient représentées par une touche ; la vue se cantonnait à une octave ; mais l'ensemble du spectre visible et invisible des ondes radio jusqu'aux rayons x et au-delà juqu'aux rayons gamma cela donnait un clavier qui atteignait la lune puis le soleil !

Frank Wolff (2016-03-27T07:27:37Z)

Voilà qui explique enfin l'origine de cette question mystère en contrôle de math en 4ème : « le nombre de grains de sable sur Terre est-il infini ? ».

J'avais répondu « non », et avais été cité comme exemple de réponse incomplète.
Une camarade, notoirement nulle en math, avait été raillée publiquement par le professeur. Elle répondait que « oui », car ce nombre « ne cessait de changer », à cause des vagues. Plus tard, je sus qu'elle avait tout simplement conçu l'argument ornithologique.

Arthur Rainbow (2016-03-25T23:04:04Z)

Merci d'avoir partagé cette lecture, c'était assez captivant à suivre, et à la fois, je suis content de ne pas avoir du faire la lecture moi même de ce genre de texte. Et ouaouh !


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