Comments on Deux cours que je donne

xavier (2016-03-12T13:11:29Z)

@Sébastien : Voila, c'est exactement ça. Merci.

xavier (2016-03-11T20:46:56Z)

C'est en effet un point de vue orthogonal à celui d'un ingé….à une petite nuance près. Je ne dis pas que je veux savoir à quoi ça *va me* servir avant de faire l'effort d'apprendre quelque chose. Je dis que je veux savoir à quoi ça peut servir.

Imagine un cours de théorie de Galois en école d'ingé.
Supposons que les étudiants n'en connaissent rien d'autre que le nom.
Dans ce contexte, ces étudiants apprendrons bcp plus de choses d'un cours qui commence par "ho regardez, pour ces équations mathematica me trouve une solution analytique alors que pour celle là, en changeant juste un signe…rien…on va tenter de comprendre ce qui se passe" que pas un cours qui commence par "une extension de corps c'est …."

Il est probable (mais certes pas certains) que la théorie de Galois ne servent jamais à rien à 99% de l'amphi. Ce n'est pas le problème. Le problème est de donner un but aux troupes pour les motiver. Rien que le fait de leur expliquer un peu pourquoi tu as choisis de leur parler de courbes algébriques et pas de topologie ou de je ne sais quel autre morceau de maths. Ca ne coute rien et, à mon avis, ils s'en rappelleront.

Sébastien (2016-03-11T18:48:41Z)

Ruxor, dans ton dernier commentaire, tu as l'air de répondre à Xavier "définir l'intérêt par à quel point les choses servent m'est étranger". Mais il me semble que ce que dit Xavier est relativement indépendant de cette question : le mot "servir" ou la notion d'utilité ne sont pas présents dans son commentaire tel que je le lis. J'ai l'impression que Xavier proposait plutôt de débuter le cours en se définissant quelques objectifs ("pourquoi avant quoi"). [Je précise que j'écris en n'ayant essentiellement pas lu tes polys. Je ne dis donc pas que tu tombes dans les travers que je mentionne dans ce commentaire, seulement que je pense que c'est d'eux que parlait Xavier.] Expliquer en quoi poser ces définitions, s'intéresser aux propriétés de tels objets, établir tel résultat est naturel au moment où on le fait.

Si je te dis "Telle est la définition d'un espace topologique. Maintenant, je vais définir la topologie produit. Maintenant, je vais définir la notion d'application continue." et rien de plus, tu peux OU PAS juger cela naturel. Tu le peux si face à n'importe quoi pouvant être compris, tu as envie de jouer à le démonter, le triturer, le contempler et le comprendre. MAIS tu peux également avoir besoin qu'on te définisse un cap : assimiler des mathématiques demande un certain effort, et faire cet effort gratuitement, sans qu'un sens ait préalablement donné à cet effort peut être perturbant pour certains. Si je dis qu'un espace topologique formalise l'intuition de proximité, de ressemblance, je mets en lien cette notion avec une idée que l'élève connait et sait très importante, et jusqu'au prochain truc non-naturel pour lui, l'élève aura naturellement de l'énergie pour faire l'effort d'assimiler ce qui lui est présenté.

Bref, la question n'est pas tant pour l'élève de savoir si ce qu'on lui apprend est utile que si c'est naturel/intéressant/profond/enrichissant/beau, ce qu'il peut peiner à deviner par lui-même si le cours est trop formel pour lui. Enfin, "c'est" : faut pas mettre de l'intrinsèque là-dedans ; il n'est ici question que du ressenti de l'élève.

Notons aussi qu'un élève peut être intéressé par une notion mais pas par mathématiser cette notion. Il est nettement moins coûteux en énergie de manipuler des intuitions floues, et il y a certains domaines où ça marche très bien. Dans ce cas-là, expliquer quelques paradoxes levés par la théorie ou des théorèmes parlants pas évidents à intuiter peuvent convaincre un élève que le jeu en vaut la chandelle. On peut commencer à parler d'utilité, là, mais ça reste une utilité bien plus faible que tu mentionnes dans ton commentaire : je ne veux pas que mon cours dans ma globalité me "serve" plus tard ; je veux seulement que mes efforts pas parlants de début de cours me servent à démontrer le théorème-phare que, lui, je veux comprendre vu à quel point il enrichira ma personne/vision du monde (même si je ne l'utilise jamais concrètement).

Enfin, si tu suspectes que ta démarche intellectuelle risque d'être étrangère à une partie conséquente de ton auditoire alors que tu la considères comme un prérequis pour suivre ton cours, tu peux aussi prendre un petit moment pour la rendre explicite : peut-être ne pensent-ils pas comme toi seulement parce qu'ils n'y ont pas pensé !

Voilà. Bref, je dis ça, mais je tiens à préciser que je te respecte énormément d'un point de vue mathématicodidactique. J'adore ton blog, et ce que j'ai survolé de ton poly de théorie des jeux a l'air sympa et foisonnant d'exemples. Donc, je le répète : je ne prétends pas que tu tombes dans les travers que j'ai décrit ; je dis seulement que je pense que, selon ma lecture du commentaire de Xavier, ce dernier parlait plus de motivation générale que de motivation par l'utilité.

Ruxor (2016-03-11T14:16:59Z)

@xavier: C'est possible. En fait, je ne comprends vraiment pas la mentalité des gens qui apprennent des choses dans l'idée de s'en servir : je crois que ça ne m'est jamais arrivé, de toute ma vie, d'apprendre quelque chose en me disant « ça servira peut-être plus tard » — j'apprends parce que ce que j'apprends m'intéresse, et parfois plus tard ça ressert (et je ne parle pas que des maths, j'ai appris la programmation parce que ça m'intéressait, j'ai appris à me servir d'Unix parce que ça m'intéressait, j'ai appris des langues parce qu'elles m'intéressaient, etc.). Du coup, je n'ai vraiment aucune prise sur cette mentalité qui m'est tellement étrangère.

Mais à la limite, si je veux faire passer un seul message à des étudiants, c'est justement l'idée que c'est essentiellement impossible de savoir à l'avance ce qui va servir ou pas — un concept mathématique qui semble totalement théorique peut s'avérer avoir des applications complètement inattendues, c'est bien pour ça qu'il ne faut pas se dire *a priori* « je veux apprendre ce qui peut me servir » — et pour illustrer ce fait il vaut mieux que les applications viennent à la fin.

xavier (2016-03-09T22:19:41Z)

Ruxor:
Ma remarque va probablement te sembler étrange car tu baignes dans les maths.
*Que veux tu que tes étudiants, non "matheux", retiennent de ton cours sur les courbes algébriques?*
Ton cours commence par des définitions. Rien que de voir ça, ça ne donne pas envie à qlqn ayant une tournure d'esprit "ingé" de le lire. Il faudrait que ça commence par qqch du genre "regarder ce fait ou ce beau problème sur les courbes…on va construire les outils pour le comprendre/résoudre".
En commençant ton cours comme ça, tu as une chance que les étudiants qui auront tout oublié des détails dans N ans se rappellent au moins de cette introduction.
Comme c'est fait là, les esprits "non matheux" ne se rappelleront plus de rien dans N ans. Gâchis.

Tez (2016-03-08T14:16:18Z)

Ah ok, merci beaucoup…désolée… Je me disais bien que l'ensemble du paragraphe semblait bizarre. Avec "machin", "bidule" ou un théorème de "Tartempion", je me serais sans doute plus méfiée :-)

Ruxor (2016-03-08T13:11:55Z)

@Tez: C'est un concept imaginaire pour illustrer le genre de choses dont je parle (cf. <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Metasyntactic_variable >). Il n'y a pas non plus de théorème de Pumpernickel ni de lemme de Bratwurst. :-)

@Héhéhé: Ce ne sont pas des étudiants lambda, c'est un petit sous-ensemble qui a choisi de suivre une filière de master dont le nom (ACCQ) commence par « Algèbre », et qui a obligatoirement suivi l'année précédente un cours d'algèbre où ils ont vu les notions d'anneaux commutatifs, d'idéaux, de polynômes, de modules, d'extensions de corps et quelques choses de ce genre, et les trimestres précédents ils ont eu d'autres cours sur les corps finis, l'algèbre computationnelle et quelques choses de ce genre. Par ailleurs, je ne traite pas tout ce qui est dans mes notes (j'ai décidé d'écarter la notion d'extensions de corps linéairement disjointes, et j'ai présenté tous les résultats sur la séparabilité comme des boîtes noires). Mais sinon, oui, je me rends bien compte que c'est assez difficile.

Héhéhé (2016-03-08T12:44:48Z)

Quel est le parcours en algèbre des étudiants qui suivent ton cours sur les courbes algébriques ? J'ai du mal à voir comment un étudiant lambda d'école d'ingé puisse suivre ton cours qui m'a l'air assez difficile…

Tez (2016-03-08T11:47:09Z)

C'est quoi des "foobars bleutés" svp ?


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