Comments on Une question d'Analyse (moyenner une fonction), et de pourquoi elle m'intéresse

Ruxor (2016-02-12T12:51:38Z)

@Hélène: C'est toujours une question délicate s'agissant de concepts un peu techniques, mais j'ai tendance à penser qu'un concept technique n'est pas naturel, sauf s'il s'avère qu'il y a plein de façons différentes de définir la même notion. Les belettes stablement universelles, et autres souris et présouris, ne sont donc certainement pas naturelles, surtout s'il y a plein de variations du concept, et d'ailleurs c'est juste un concept qui sert comme outil technique pour démontrer d'autres choses. Par contre, les questions que se pose le problème du modèle interne (dans lequel apparaissent ces objets) sont à mon avis assez naturelles.

Hélène (2016-02-12T09:46:02Z)

Et les belettes stablement universelles, cela te semble naturel ?

Ruxor (2016-02-10T15:48:23Z)

Ah si, en fait, j'avais mal lu : le résultat de Rudin (cité comme théorème 4 dans le survey de Ruch et Weber) répond complètement à ma question — la question la plus faible a déjà une réponse négative.

(Et le secret pour chercher L^∞, c'est de chercher "bounded".)

Ruxor (2016-02-10T15:24:42Z)

@Touriste: Je n'avais pas pensé à associer le terme « Riemann sum » à ce problème (je pensais qu'une somme de Riemann était le cas associé à une subdivision quelconque, pas forcément régulière, et qu'on n'allait donc pas pouvoir dire grand-chose de plus que la construction de l'intégrale de Riemann).

Et effectivement, même si je n'ai pas eu le temps de regarder en détail pour l'instant, ça a l'air de répondre au moins à un sous-ensemble de mes questions : le survey de Ruch et Weber signale (théorème 3 dans leur survey) un résultat de Marcinkiewicz et Zygmund montrant au moins que pour f dans L¹ il n'y a pas forcément convergence presque partout de ce que je notais (ℳ_n)(f) (et qu'ils notent R_n(f)) vers f. Je n'ai pas vu la réponse pour L^∞, mais il faudrait voir avec plus d'attention, y compris l'article de Marcinkiewicz et Zygmund ("Mean values of trigonometric polynomials") et celui de Rudin ("An arithmetic property of Riemann sums").

Touriste (2016-02-10T14:25:32Z)

Je n'ai pas fait plus de travail que taper dans Google "Riemann sums" "almost everywhere", ça me renvoie plein de choses, à un tel point que je me demande si j'ai bien compris la question - mais après tout peut-être n'as tu pas vraiment testé Google.

Je peux donc signaler :

* le chapitre 26 "Riemann sums" de "The way I remember it" de Walter Rudin (pour l'anecdote, Google me l'a d'abord renvoyé sous forme d'un étonnant cours d'anglais à l'intention d'étudiants tchèques où on leur demande d'abord de lire ce chapitre, puis en exercice d'application de mettre au passif "Someone switched on a light and opened the door" - ah la pédagogie des langues) ;

* le survey "On Riemann sums" de Jean-Jacques Ruch et Michel Weber.

Espérant que ça aide, que je n'ai pas fait une énorme erreur d'inattention quant au lien de ces réponses avec ta question.

(Et malheureusement, je ne sais pas du tout googler "L infini").

Ruxor (2016-02-10T10:45:43Z)

@philippe: Ce n'est pas une coquille, j'ai exprès écrit f(x−1/n) (qui est égal à f(x+(n−1)/n), nous sommes d'accord), pour attirer l'attention sur l'hypothèse de périodicité (ou sur le fait qu'on moyenne les f(x+k/n) sur tout un ensemble de représentants des congruences modulo n).

Et je suis d'accord que si on appelle (𝒯_n)(f) la fonction f translatée par 1/n (soit x ↦ f(x+1/n)), alors (𝒯_n)(f) tend vers f au sens L^p pour tout p<∞ (si f est elle-même L^p) mais en général pas presque partout, ni au sens L^∞.

L'opérateur ℳ_n que je considère est la moyenne des (𝒯_n)^k pour k allant de 0 à n−1, et je sais montrer que (ℳ_n)(f) tend vers l'intégrale de f au sens L^p pour tout p<∞ si f est L^p, et je pose la question de la convergence presque partout, et de la convergence dans L^∞. Donc ça ressemble formellement à ce qui vient d'être dit sur 𝒯_n, mais je ne pense pas qu'on puisse vraiment s'en servir (ne serait-ce que parce que la limite demandée n'est pas la même…).

philippe (2016-02-10T09:13:16Z)

si on veut appliquer les théorèmes de convergence dominée/monotone pour résoudre ce type de question on tombe nécessaire sur le problème suivant :

lim f(x+1/n) = f(x) quand n tend vers l'infini , au moins ppt x ?

pour f continue (par morceau) c'est évident mais sans cette hypothèse on voit de suite que c'est compliqué (penser à la fonction indicatrice de Q).

Une autre manière de fois les choses c'est d'étudier la convergence de l'opérateur de translation T_h (f)(x)=f(x+h) dans les espaces L^p . Tu verras tout de suite que ||f-T_h(f)|| ne tend pas vers 0 avec h dans le cas p=+oo (prendre les fonctions indicatrices). Par contre pour p fini ça marche , les cas p=1 et 2 peuvent se traiter par transformation de Fourier.

philippe (2016-02-10T08:47:52Z)

tu a du faire une coquille dans ta somme, je suppose que tu veux dire f(x)+f(x+1/n)+…+f(x+(n-1)/n) soit encore la somme des f(x+k/n) pour k allant de 0 à n-1 .


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