Comments on Quelques clarifications sur l'intuitionnisme et l'ultrafinitisme

Dyonisos (2016-01-08T13:34:57Z)

Oops, j'ai posté trop tôt ce matin, je voulais dire la variante intuitionniste pas épistémique, expression qui ne signifie rien à cet endroit !

Dyonisos (2016-01-08T03:53:59Z)

Ah ok, je prends note de tout cet aspect de reformulation potentielle entre Brouwer et le formalisme hilbertien. Mais en fait je pensais davantage au contraste Brouwer/ hyper-platonisme/réalisme à la Gödel qui était persuadé qu'un univers mathématique existait, avec ses réponses et ses solutions, indépendamment de l'accès épistémique qu'on en a. Or, c'est l'œil, l'intuition du mathématicien qui sert parfois d'argument pour cette position. Mais l'aspect constructif de l'intuitionnisme prend à contre-pied cette position et je ne vois pas trop comment on peut simplement reformuler ce désaccord en harmonie. Et ce qui me frappe c'est que l'intuitionnisme aussi fait appel à l'expérience éprouvée du mathématicien, comme si cet argument pointait dans les deux directions contradictoires. Bref, il y a sans aucun doute convertibilité/insertion/reformulation entre les mathématiques classiques et la variante épistémique mais sur la position "méta-mathématiques" de ce que sont les mathématiques (réalisme d'un univers logique et mathématique qu'on se borne à explorer ou constructivisme) c'est beaucoup plus délicat, voire impossible. Tiers-exclu oblige ;-)

Ruxor (2016-01-07T21:54:12Z)

@Dyonisos: Cet argument s'expose à la réponse évidente que le désaccord entre Brouwer et Hilbert est simplement une question de terminologie : ce n'était pas évident quand Brouwer a initialement développé ses idées, mais depuis qu'elles ont été reformulées et formalisées, on peut tout à fait prétendre qu'il n'y avait pas de différence de fond entre eux, juste une différence de nomenclature (et qu'à la limite ce n'est pas plus significatif que le fait que certains mathématiciens appellent « anneau » quelque chose de commutatif alors que d'autres ne font pas cette hypothèse).

Il me semble que la plupart des mathématiciens constructivistes, au moins contemporains (et sans doute depuis Markov et Martin-Löf), considèrent que ce qu'ils font est manipuler des concepts calculables/effectifs en un certain sens, ou que donner des preuves consiste à fabriquer des algorithmes : du coup ils font bien le même genre de choses que les mathématiciens classiques, mais sous un vocabulaire différent. (Et concrètement, quand Fabrice Orgogozo et moi avons écrit notre papier sur la calculabilité de la cohomologie étale, nous avons un peu discuté avec des algébristes constructivistes comme Henri Lombardi, et ma conclusion était que nous parlions bien des mêmes choses dans un langage différent — d'ailleurs on a tenté de nous convaincre de rédiger nos résultats dans leur langage…) Même si Brouwer lui-même ne voyait pas forcément la chose comme ça, ce ne serait pas la première fois qu'une dispute qu'on croyait initialement substantielle s'avérerait, *in fine*, seulement terminologique.

Mais même si on trouve que cette différence est significative (de fait, ce que Brouwer appelle un nombre réel, ou une fonction réelle, n'est pas ce que Hilbert en pense), symétriquement, il faut alors admettre qu'il est également significatif qu'ils soient tombés d'accord sur un point essentiel, en gros les entiers naturels (le point auquel je fais référence est que l'arithmétique de Peano est conservatrice par rapport à l'arithmétique de Heyting pour les énoncés arithmétiques Π₂) ; d'autant plus que cela fait écho à cette fameuse pensée de Kronecker que je cite sans arrêt, « Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk » (Kronecker, parfois considéré comme précurseur du finitisme, du prédicativisme et/ou de l'intuitionnisme).

Dyonisos (2016-01-07T18:22:40Z)

Ce que je trouve tout de même remarquable, c'est la manière dont la simple existence de l'intuitionnisme mathématique met en difficulté un des arguments fréquents du platonisme/réalisme des mathématiques traditionnelles, à savoir que cette réalité est donnée par une espèce d'intuition au mathématicien (argument qui intimide le non-mathématicien). Puisque Brouwer n'était pas l'archétype du cancre en maths, pire: dans la mesure où c'est notamment au nom d'un contact vivant avec ce domaine et sa "créativité" qu'il développe son projet, on assiste en quelque sorte à un retournement de l'argument sur la question de l'étendue des mathématiques et la réalité de ses objets. Je crois qu'on devrait en tirer la conclusion qu'il faudrait en somme exclure cet argument du contact éprouvé par le mathématicien compétent sur cette question puisqu'on peut apparemment en tirer les conclusions les plus diamétralement opposées.

Ruxor (2016-01-07T08:57:14Z)

@jonas: That's because I intend to do say more about the subject in a later entry. I just added a little paragraph on the topological interpretation (semantics) of intuitionistic propositional calculus, however; and the previous entry has a number of references (in the note labeled « [#] »), or you could have a look at <URL: https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/int.pdf > (keeping in mind, however, that this is only one possible approach to explaining or interpreting intuitionism).

jonas (2016-01-06T22:43:12Z)

This entry seems somewhat incomplete compared to your usual style. Even if you don't wish to describe the rules of intuitionistic mathematics, can you at least give references to it? That is, if one wants to read about them, where can one find an easy to understand description?


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