Comments on Je passe plusieurs jours à paramétrer une surface cubique

Ruxor (2015-06-29T13:38:43Z)

@Félix: On pourrait donner l'exemple joint du théorème de Chevalley-Warning et du théorème de Tsen : sur un corps fini, ou bien sur le corps des fractions rationnelles sur un corps algébriquement clos, si on considère des polynômes homogènes dont la somme des degrés est strictement inférieure au nombre de variables, alors ils ont un zéro commun non-trivial (c'est-à-dire autre que (0,…,0)). (On dit aussi que les corps finis, ou le corps des fractions rationnelles sur un corps algébriquement clos, sont C′₁.)

Or cette contrainte, « la somme des degrés est strictement inférieure au nombre de variables » (pour une hypersurface, ça va donc correspondre à : une courbe au maximum quadratique, une surface au maximum cubique, une 3-variété au maximum quartique, etc.) a une interprétation géométrique naturelle[#], c'est qu'on a affaire à une variété de Fano (<URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_variety >), c'est-à-dire très grossièrement parlant que les champs de vecteurs algébriques globaux sur la variété définissent un plongement de celle-ci dans un espace projectif, et c'est une façon d'être « proche d'être rationnelle » (par exemple, sur une telle variété, on peut relier deux points géométriques par des chaînes de courbes rationnelles). Tout ça pour dire que ces théorèmes assez élémentaires que sont Chevalley-Warning et Tsen, s'inscrivent dans le cadre d'un programme plus vaste pour montrer que certaines variétés proches d'être rationnelles (p.ex., Fano) ont des points sur différentes sortes de corps. (Après, ce n'est pas le corps des rationnels, dans l'histoire, ni un corps de nombres, donc on peut contester le terme d'« arithmétique » utilisé pour l'existence de solutions sur ces corps.)

[#] Bon, je triche un peu : je suppose que j'ai affaire à une intersection complète lisse (c'est-à-dire en gros que les zéros des polynômes s'intersectent bien transversalement). Il y a toutes sortes de subtilités sinon.

Félix (2015-06-29T12:07:15Z)

Je sors de mon anonymat pour un petit commentaire à cet article qui le mérite et n'en a pas eu : merci, c'était très intéressant !

J'en profite pour poser une petite question : existe-t-il des résultats qui illustrent le slogan « la géométrie influence l'arithmétique » tout en restant élémentaires, mais qui soient plus substantiels que le paramétrage du cercle, et si possible qui ne soient pas l'étude d'un cas particulier explicite ?

Fred le marin (2015-06-20T13:49:53Z)

Ainsi 3²+4²=5² et 3³+4³+5³=6³, etc.

L'Eternel (ou plutôt l'éternité) a forcé les choses ainsi.
Mais est-ce *forcément* intelligent ?
Cela ne pourrait être qu'un (beau) signe.
Sans plus, hélas : et il faudra attendre encore. Pfff…
(j'apprécie la finesse du quadrillage sur le schéma du cercle)


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