Comments on La fonction de Fabius

oleg (2014-12-13T22:11:22Z)

I'm sorry that I don't speak french. But, probably you will find this paper:
http://arxiv.org/pdf/1403.2235v1.pdf
interestiong and very close to this topic.

mandatory (2014-10-30T00:23:52Z)

C'est sûrement une question idiote, mais d'où vient le fait que l'intégrale de G entre 0 et 1/2 vaut B-2A?

Ruxor (2014-09-24T15:44:25Z)

@François Guéritaud: Très astucieux, merci ! Quand j'en trouverai le temps, je tâcherai d'implémenter cette méthode de calcul, ne serait-ce que pour calculer la valeur en 1/3 avec une meilleure précision.

François Guéritaud (2014-09-23T13:32:52Z)

Bonjour !

La fonction f envoie tous les dyadiques sur des rationnels. Par exemple, f(1/4)=5/72 et f(1/8)=1/288.

Pour voir ces 2 égalités, notons A l'intégrale sur [0,1/4], et B l'intégrale sur [0,1/2] (ainsi A=f(1/8) et B=f(1/4)). Notons aussi F le polynôme osculateur (quadratique) en 1/4, et G le recollement du polynôme osculateur (nul) en 0 et du polynôme osculateur (linéaire) en 1/2, le point de recollement étant 1/4.

Alors l'intégrale de G entre 0 et 1/2 vaut B-2A, tandis que l'intégrale de F entre 0 et 1/2 vaut B+2A. Cela donne deux relations linéaires entre A et B (en effet F(1/4)=B et les autres dérivées de F sont déjà connues). On en déduit A et B.

Le même procédé permet de calculer par récurrence les valeurs en 1/4^n et 1/(2*4^n), pour tout n, et d'en déduire aussi les valeurs aux dyadiques. Les approximations de Taylor sont très bonnes aux dyadiques, donc ça donne aussi un procédé de calcul efficace.

Je ne sais rien sur f(1/3). J'aimerais bien aussi avoir une expression asymptotique simple de f en 0.

jonas (2014-09-20T21:31:29Z)

Someone else has tried to compute the Fourier transform of this function as well: <URL: http://math.stackexchange.com/questions/16874/evaluating-fx-fx-2-fx-4-fx-8-cdots >

Ruxor (2014-09-17T09:50:37Z)

@jonas, @Fred le marin: Je pense que toute forme de la transformée de Fourier ou fonction caractéristique associée donnera une expression comme celle que Nick a écrite dans son second commentaire.

@Ilia: Effectivement, ça fait beaucoup penser à la fonction point d'interrogation (je viens d'ajouter un lien), ou plutôt, en fait, à la bijection réciproque de celle-ci, sauf qu'ici on a une forme d'autosimilarité apparemment beaucoup plus subtile qui permet d'obtenir l'infinie différentiabilité. Ce serait intéressant d'essayer d'obtenir le même genre de relations sur la fonction de Fabius que sur la fonction point d'interrogation.

jonas (2014-09-16T20:57:37Z)

My question might be similar to Nick's, and it might not be a good question to ask.

Can you write the Fourier or Laplace transform of the probability density function of Z in closed form?

Ilia (2014-09-16T19:49:57Z)

Ca me fait un peu penser (c'est totalement autre chose, bien sûr ; simple association d'idées) à la fonction ? de Minkowski : http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski%27s_question_mark_function

L'égalité f(1/4) = 5/72 paraît extrêmement intrigante !! ça donne très envie d'en trouver une preuve…

Fred le marin (2014-09-16T18:45:58Z)

À tout hasard: connaît-on la fonction caractéristique associée à sa loi ?
<URL: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_caract%C3%A9ristique_%28probabilit%C3%A9s%29 >
J'ai rencontré ladite notion en école (comme beaucoup bien-sûr),
mais je me gratte la tête pour retrouver quelque chose d'intéressant à dire à son propos…
Arf, 'faut avouer que je m'en sert siii souvent (- honte & ironie -:).
Ah, enfin : ne pas confondre une fraction dyadique et un nombre dyadique !
(ou : le retour d'un certain "Club Contexte", hum ?)

Nick (2014-09-16T18:28:16Z)

Il semble que ce soit (indexé par k entier relatif)
prod_{n>0} sin(pi k/2^n)/(pi k/2^n)

ce qui n'est pas franchement informatif…

Damien (2014-09-16T13:13:59Z)

On ne trouve pas vraiment de détails, mais je pense que ce mathématicien est (ou était) Jaap Fabius.

Nick (2014-09-16T08:33:02Z)

À tout hasard: connaît-on la série de Fourier de la loi de Z?


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