Comments on Faut-il communiquer sur l'intuition en mathématiques ? — ici : le corps de classes

Dyonisos (2014-05-22T12:49:02Z)

Deux passages de Grothendieck : un abscons pour qui n'est pas mathématicien (comme moi !) : "Ce "lit à deux places" est apparu (comme par un coup de baguette magique. . . ) avec l’idée du topos. Cette
idée englobe, dans une intuition topologique commune, aussi bien les traditionnels espaces (topologiques),
incarnant le monde de la grandeur continue, que les (soi-disant) "espaces" (ou "variétés") des géomètres
algébristes abstraits impénitents, ainsi que d’innombrables autres types de structures, qui jusque là avaient
semblé rivées irrémédiablement au "monde arithmétique" des agrégats "discontinus" ou "discrets" ";
Or, ce que je trouve assez fascinant, c'est que dans l'esprit de Grothendieck, cette intuition paraît être dans le droit fil d'une très simple sur le volume dont il dit, toujours dans le même livre un peu frappadingue par endroits: "Il n’y avait aucun doute en moi que je ne pourrai manquer d’y arriver, de trouver le fin mot des choses, pour
peu seulement que je me donne la peine de les scruter, en mettant noir sur blanc ce qu’elles me disaient, au
fur et à mesure. L’intuition du volume, disons, était irrécusable. Elle ne pouvait qu’être le reflet d’une réalité,
élusive pour le moment, mais parfaitement fiable. C’est cette réalité qu’il s’agissait de saisir, tout simplement
- un peu, peut-être, comme cette réalité magique de "la rime" avait été saisie, "comprise" un jour."

Dyonisos (2014-05-22T11:10:08Z)

Il y a la question de savoir dans quelle mesure il faut s'efforcer de communiquer son intuition mathématique et, ce qui est très différent, il y a des situations où cette intuition se donne à voir dans ses effets assez sidérants pour le commun des mortels (je pense par exemple à des cas de figure comme le rapport particulier de Ramanujan aux nombres). Je me demande vraiment si on peut appréhender ces intuitions simplement comme le produit d'une extrême familiarité, un peu comme avec les joueurs d'échecs façonnant leur jeune cerveau sur des combinaisons au point qu'ils développent un jeu très "naturel" à la capablanca ou fischer (naturel, ce serait l'équivalent du paradigme réaliste en mathématique) ou bien plus radicalement comme une vraie intuition au sens radical du mot qui les met en contact, moyennant bien sûr la maîtrise du langage approprié (Ramanujan avait lu des livres de maths !), plus ou moins directement avec des vérités mathématiques et donc un domaine mathématique objectif. J 'ai l'impression que c'est en grande partie l'incommunicabilité de l'intuition qui laisse à penser qu'il des mathématiques réelles que certains sont aptes à saisir. Dans le livre vraiment allumé Récoltes et semailles, Grothendieck a des passages comme ça très beaux où tout se passerait comme s'il s'agissait de "voir" des vérités mathématiques et le fait qu'ils émanent d'un mathématicien aussi génialement intuitif, ben, c'est difficile à prendre en compte et à se dire qu'il a raison … puisqu'apparemment c'est comme ça qu'il vit son rapport aux mathématiques. En gros, on aboutit un peu paradoxalement à une justification par l'ineffable communicatif autre que de l'évocation à parfum poétique articulé à la fertilité effective des résultats de certains qui parlent ainsi.

David (2014-05-21T23:44:52Z)

Ruxor: Je ne sais pas si je comprends beaucoup mieux avec ces explications (mes cours d'algebre sont loin), mais merci neanmoins neanmoins d'avoir pris le temps de repondre!

Ruxor (2014-05-21T21:48:26Z)

@Bob: La théorie du corps de classes a une histoire un peu compliquée, qui commence avec la loi de réciprocité quadratique et ses généralisations : le morphisme vers le groupe de Galois porte le nom de « symbole d'Artin », et convenablement formulé il généralise ces lois de réciprocité, même si ce n'est pas évident à expliquer (voir <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Artin_reciprocity_law >). La formulation en termes de classes d'« idèles » est une invention de Chevalley pour remplacer la formulation classique de la théorie qui est en termes de classes d'« idéaux » (le mot « idèle » est une contraction inversée de « ÉLément IDéal »).

Par ailleurs, il ne s'agit pas juste de calculer des groupes de Galois (abéliens, donc pas très intéressants), mais de chercher à décrire *toutes* les extensions abéliennes possibles (dans le cas de ℚ la question est complètement résolue : ce sont les sous-extensions des extensions cyclotomiques, i.e., engendrées par une racine de l'unité).

Ceci étant, la théorie du corps de classes regroupe tout un tas de résultats, le rapport entre lesquels n'est pas toujours totalement clair pour moi, surtout sous l'aspect historique (i.e., pourquoi a-t-on commencé à ce poser toutes ces questions ?), donc je ne peux pas en dire beaucoup plus.

Bob (2014-05-21T21:04:37Z)

Bonjour David

Merci pour ces explications sur les idèles, je n'avais encore jamais rencontré ces bêtes-là. Je trouve que ton texte est plutôt bien écrit, au regard de ton introduction. Cependant, j'aurais aimé connaître les raisons de l'introduction de ce concept, je suppose qu'il a une raison d'être autre que le calcul du groupe de Galois d'une extension, qu'on peut faire sans lui. Une généralisation, peut-être ?

Ruxor (2014-05-21T09:18:16Z)

@David: C'est un reproche valable, effectivement.

Le symbole ∞ indiquant la place réelle des rationnels n'est pas censé évoquer la limite des p finis, mais plutôt « la place qui manque si on ne considère que les p finis ». L'intuition qu'ont les algébristes, c'est celle d'une courbe (algébrique, disons, plane) et des points à l'infini de cette courbe (par exemple le point à l'infini d'une droite) : aux yeux d'un algébriste, ce point n'est pas plus la limite des autres que n'importe quel autre point serait de toute façon la limite de tous les points différents de lui, donc ce qui importe ce n'est pas tellement une idée de limite, c'est une idée d'ajouter quelque chose qui manquait. Et en l'occurrence, la place à l'infini est essentielle pour obtenir la formule selon laquelle le produit de toutes les valeurs absolues (i.e., à toutes les places) d'un rationnel non nul vaut toujours 1.

Autre façon de dire les choses : il faut penser aux rationnels un peu comme des fonctions rationnelles (sur un corps : pour une bonne analogie ça devrait être un corps fini, mais peu importe). Les places p finies correspondent aux endroits où la fraction rationnelle peut avoir un zéro (valuation >0) ou un pôle (valuation <0), tandis que le symbole ∞ correspond au comportement à l'infini de la fonction rationnelle (sa valuation à l'infini est définie comme l'opposé de son degré).

David (2014-05-20T23:13:32Z)

J'aurais envie de te reprocher exactement ce dont tu te plains: apres avoir vu definis une famille de corps Q_p ainsi qu'un corps Q_\\infty = R, la question qu'une partie de ton lectorat (en tout cas, moi) doit se poser, c'est de savoir s'il existe un concept naturel de limite expliquant la notation ci-dessus. Mais, a mon niveau de maths, je n'ai vu nulle part dans ton texte un indice qui me permette d'y repondre. Si toi ou un de tes lecteurs a plus de details, ca m'interesse!

Jean Grange (2014-05-20T13:04:09Z)

Merci pour cette entrée qui vient compléter un manque du Coursera "Intro to Galois.." de l'ENS qui finalement n'a pas présenté ce corps de classe initialement annoncé!

Laurent (2014-05-20T07:04:33Z)

J'approuve ton lapsus "qui est beaucoup plus intéressante et profonde que la théorie globale"!


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