Comments on Sur la réalité des quaternions, quasars, quarks et quaggas

Typhon (2014-07-07T18:47:31Z)

The truth is out there : <URL: http://existentialcomics.com/comic/36 >

quen_tin (2014-05-31T00:45:12Z)

Une bonne lecture sur le sujet du réalisme mathématique : http://worldtracker.org/media/library/Mathematics/Algebra%20&%20Trigonometry/Chihara%20-%20Structural%20Account%20of%20Mathematics%20%28Oxford,%202004%29.pdf

A mon avis la principale différence entre les entités physiques et mathématiques tiens à la distinction concret / abstrait.
Dire que les objets mathématiques existent serait plutôt équivalent à dire que l'entité universelle "quark" existe, et non pas que les quarks existent (qu'on les qualifie ou non de quark).

Par ailleurs sur le réalisme scientifique : il y a aussi des anti-réalistes (idéalistes, empiristes, …).
J'ai écris un article la dessus récemment :

http://philosophiedessciences.blogspot.fr/2014/04/les-electrons-existent-ils-12-realisme.html
http://philosophiedessciences.blogspot.fr/2014/04/les-electrons-existent-ils-2.html

Le principal argument pour le réalisme scientifique reste le succès prédictif. Je ne suis pas certain qu'on puisse parler de véritables prédictions en mathématiques ? Ce qui ne veut pas dire que les objets mathématiques n'existent pas, Quine notamment a proposé un argument d'indispensabilité.
En gros quand on fait des sciences, on utilise des maths, et donc on considère implicitement que les objets mathématiques existent.
Mais bon il y a des contre-arguments (cf. le premier lien)

jonas (2014-05-19T08:45:20Z)

One more reply on Scott Aaronson's blog at <URL: http://www.scottaaronson.com/blog/?p=1767#comment-106559 >.

f3et (2014-05-16T08:32:09Z)

@Moi et les nombres : Je ne sais plus qui (Borges? Eco?), parlant de la justification classique de l'Enfer ("Le châtiment est infini, car la faute, s'adressant à un Dieu infini, est infinie elle aussi") remarque qu'elle fait appel, parmi d'autres sophismes, à trois notions différentes de l'infini : illimité dans le temps pour le châtiment, plus grand que tout pour Dieu, et quelque chose n'ayant pas de sens clair pour la faute. Ton affirmation me semble souffrir d'un défaut analogue…

Moi et les nombres (2014-05-14T10:24:41Z)

Je doute que la réalité des mathématiques soit un problème décidable si déjà à l'intérieur des mathématiques il y a des problèmes indécidables …

Ruxor (2014-05-14T09:32:43Z)

@Noplato: "ZF + AC contre ZF + AD est un exemple parmi d’autres," → Ça signifie juste que ZF+AC et ZF+AD définissent des notions différentes d'ensemble, exactement comme les variétés différentielles et les variétés topologiques sont des notions différentes de variétés (bon, celles-ci ne sont pas incompatibles, mais on voit l'idée). Il n'y a pas plus de problème à ce que les ensembles sous ZF+AD soient intéressants en même temps que ceux sous ZF+AC, pas plus le fait que la physique des solides et la physique des liquides soient intéressantes en même temps.

"La machine en question est un automate qui est effectivement conçu pour appliquer méthodiquement ces axiomes," → Non, c'est complètement faux. Un ordinateur n'applique pas les axiomes de Peano ; si on regarde le code qui effectue une multiplication en silicium (ou en logiciel pour les grands entiers), les axiomes de Peano n'y figurent nulle part ! D'ailleurs, les techniques pour multiplier des nombres ont commencé à être développées bien avant les axiomes de Peano[#]. À moins que l'ordinateur commence par réordonner les nombres pour accélérer la multiplication (je ne crois pas que ce soit le cas, et même si ce l'est, on pourra trouver d'autres propriétés à tester), il y a vraiment un phénomène *expérimental* constaté à appliquer m×n et n×m et à observer qu'on obtient la même chose. Les axiomes de Peano sont une *théorie* qui prétend expliquer ce phénomène, *exactement* de la même manière que le Modèle Standard de la physique est une théorie qui prétend expliquer que les détecteurs expérimentaux donnent tel ou tel résultat (et dans les deux cas, évidemment, les expériences présupposent une partie de la théorie : dans le cas de l'accélérateur de particules, c'est notamment des bouts de l'électromagnétisme qui permettent de faire les mesures). On peut vérifier expérimentalement cette théorie, et on le fait quotidiennement. À un autre niveau, les mathématiciens vérifient quotidiennement le fait expérimental que ZFC est consistant (et qui, pour le coup, n'est pas une conséquence de ZFC, donc prima facie ça ne peut être *que* un fait expérimental).

De même, le fait que le nombre 1 soit présent partout, ou en tout cas, que les axiomes de Peano soient vrais partout, est un fait expérimental : si je lance un calcul déterministe sur un ordinateur dans mon salon et le même sur un ordinateur dans ma chambre, je dois trouver le même résultat — ça non plus, ça n'a rien d'évident, c'est un fait expérimental, qui serait susceptible d'être falsifié. L'ensemble de Mandelbrot pourrait très bien ressembler à un cœur le matin et à un carré l'après-midi : ce n'est pas le cas, c'est bien une vérification expérimentale (ou plutôt, une falsification qui n'a pas lieu) du fait que les objets mathématiques sont invariables dans l'espace et le temps.

[#] L'exemple suivant est encore plus frappant : si je joue au jeu de Nim contre un adversaire qui ne connaît pas du tout les mathématiques, en appliquant la stratégie optimale décrite par la théorie combinatoire des jeux, je gagne à chaque fois. Ceci est une constatation expérimentale d'un phénomène mesurée sur des vraies allumettes contre quelqu'un qui n'est pas complice et n'est pas en train d'« appliquer les axiomes de Peano ». Là aussi, je peux répéter le jeu à différents moments ou à différents endroits de l'espace ou du temps pour constater l'invariabilité des mathématiques.

Noplato (2014-05-14T01:50:17Z)

Sur le “deux théories mathématiques ne sont jamais incompatibles” :
ZF + AC contre ZF + AD est un exemple parmi d’autres, mais peut-être que j'ai pas compris ce que tu voulais dire. Bon de toute façon on peut toujours bloquer mutuellement sur les positions “cela n’arrivera pas” ou “cela peut arriver”. Donc sur ce point, on peut juste dire, laissons faire le temps et on aura probablement pas de réponse de notre vivant, de toute façon.

Le fait que l’ordinateur confirme bien que mn=nm ne prouve pas l’existence des nombres entiers en tant qu’objets de la réalité. Cela montre simplement que l’on ne se trompe pas collectivement lorsque l’on dit que “mn=nm” est un théorème du système de Peano (par exemple). La machine en question est un automate qui est effectivement conçu pour appliquer méthodiquement ces axiomes, comme nous les humains (modulo une rapidité plus grande, et un support moins organique). Il n’est pas du tout surprenant qu’elle aboutisse à la même conclusion que nous.
Si la machine n’aboutissait pas à nm=mn, ceci ne montrerait pas que les entiers n’existent pas, ceci montrerait que : soit on s’est tous planté depuis des générations et on n’a pas vu qu’il y avait une erreur dans la preuve nm=mn dans nos bouquins de maths, soit la machine a été mal fabriquée ou a un défaut, et elle ne suit pas vraiment comme il faut les axiomes en question.

Concernant la localisation dans l’espace temps, je ne pense pas que cela soit soit si naïf. Lorsqu’on dit que le Boson de Higgs est “partout”, ceci a effectivement un sens expérimental (ce Boson est un champ scalaire, et on le voit bien, indirectement, d’après telle ou telle expérience) et on peut décrire “comment” il est ”partout”, idem pour le Big-Bang.
Lorsqu’on dit le nombre 1 est partout, ceci ne veut pas dire grand chose car cette assertion n’est reliée à aucun fait expérimental.
Et ceci n'est pas une position fixe, d'ailleurs. Si on concevait une seule expérience pouvant potentiellement falsifier l'existence du nombre 1 alors je serais prêt à y croire. Mais sur ce point, la réponse à faire est évidemment : *ça ne se produira pas* :).

Ruxor (2014-05-13T09:20:25Z)

@Noplato: Comme je l'ai écrit, les mathématiques expérimentales existent, elles se font dans des ordinateurs, et il y a toutes sortes d'objets mathématiques qui ont été détectés expérimentalement, de l'ensemble de Mandelbrot à des représentations de E8.

On peut confirmer expérimentalement l'existence des entiers naturels en lançant des ordinateurs faire toutes sortes de calculs m×n et n×m et vérifier qu'ils trouvent bien le même résultat, comme la théorie (les axiomes de Peano) le prédit : c'est tout à fait semblable à lancer des accélérateurs de particules pour vérifier les spectres des hadrons prédits par QCD. (Et pour répondre d'avance à l'objection comme quoi les ordinateurs présupposent déjà une large partie des mathématiques : les accélérateurs de particules présupposent aussi une large partie de la physique.) Le problème est que les théories des matheux sont tellement parfaites et tellement sûres qu'on ne se fatigue même pas à faire calculer m×n et n×m à des ordinateurs pour vérifier expérimentalement si les axiomes de Peano sont corrects : mais ceux qui ne font pas confiance aux mathématiques comme quelque chose de réel sont invités à le faire (le fait qu'on obtienne le même résultat n'a rien d'évident, ce n'est pas présupposé par l'ordinateur, il y a vraiment quelque chose à *expliquer*).

Pour donner un exemple peut-être plus rigolo, j'avais écrit la page <URL: http://www.madore.org/~david/math/hydra0.xhtml >, qui peut se voir comme une expérience visant à vérifier (expérimentalement, donc) que l'ordinal ε₀ existe : le fait que le jeu soit toujours gagné par Hercule, quoi qu'il fasse, est une conséquence de l'existence de cet ordinal qui n'est pas dérivable des axiomes de Peano.

Sur la question « où et quand », c'est juste le reflet d'une vision naïve de la réalité comme impliquant nécessairement une localisation dans l'espace et le temps conçus de façon « tactile ». Mais la physique moderne met déjà à mal cette idée : on ne peut pas expliquer « où et quand » est le boson de Higgs produit par les accélérateurs du CERN, parce qu'il est tellement localisé en quantité de mouvement que sa position n'a plus de sens — ou alors il faut faire une réponse fausse pour les journalistes, et alors je peux aussi répondre que le nombre 1 est simultanément dans tout l'univers comme le boson de Higgs l'est. De même, si on demande où le Big Bang s'est produit, c'est une question naïve qui n'admet pas d'autre réponse que de l'agitage de mains pour faire plaisir aux journalistes (« partout à la fois ! »).

Concernant l'objection sur le système d'axiomes, c'est amusant de demander ça alors que les deux théories physiques les plus emblématiques (la théorie quantique des champs relativiste, et la relativité générale) sont incompatibles. C'est à la fois un faux problème (deux théories mathématiques ne sont jamais incompatibles, pas plus que l'algèbre commutative et l'algèbre non-commutative, ou que la géométrie différentielle et la géométrie analytique et la topologie, ou que la logique classique et la logique intuitionniste) mais aussi ignorer que, justement, un problème de ce genre *ne se produit pas* et que c'est bien un signe que les concepts mathématiques ne sont pas arbitraires (parce que je pourrais aussi demander : supposons qu'on arrive à construire une autre médecine qui donne tout autant de bons résultats que la médecine actuelle en terme de guérison et de survie des malades, mais qui soit basée sur des concepts fondamentalement incompatibles, par exemple sur je ne sais quel concept New Age, est-ce que ça voudra dire que ces concepts existent autant que les virus ? — la réponse à faire est évidemment : *ça ne se produira pas*).

Noplato (2014-05-12T23:10:26Z)

>je ne vois pas pourquoi ils seraient plus (ou moins) crédibles que les physiciens qui disent que les quarks et les quasars existent ou les mathématiciens qui disent que les quaternions existent.<

En tant que non-platonicien, je considère effectivement que les quaternions n'existent pas au même titre que les quarks ou les quasars. Si on part du principe qu'il existe une réalité indépendante de nous, alors oui, les quasars sont des objets appartenant à cette réalité et les quaternions, non (bien sûr les quaternions en tant que configuration locale de neurones stockant leur définition et leurs propriétés dans nos cerveaux existent, mais il est clair que tu parles des quaternions en tant qu'objets indépendamment de nous).

Au bout du compte tout ceci se ramène à l'ultime et fondamentale question : "Where is the evidence ?".
On peut voir les quarks et les quasars, on peut faire des observations (indirectes ou non). D'un autre côté, même en théorie, on ne peut pas concevoir une seule expérience qui confirmera ou falsifiera l'existence des quarternions, ou même plus simplement des nombres naturels. Où est-ce que l'on peut voir le nombre 0, le nombre 1, le nombre i ? Ils sont où et quand ?

Il semble que tu répondes à cette objection à la fin en faisant référence à "l'extrême utilité" des mathématiques. Mais en quoi l'efficacité de concepts (tels que les nombres entiers par exemple) prouvent leur réalité ?
Admettons que cela soit le cas. Supposons que l'on créé une théorie physique particulièrement efficace (pour faire des ponts, des fusées ou autres) qui utilise des concepts mathématiques provenant d'axiomes A1. Alors d'après toi, cela prouve que ces concepts existent. Maintenant, supposons que l'on parvienne à une théorie tout aussi efficace en utilisant des concepts provenant d'une autre axiomatisation A2 qui sont totalement incompatibles avec A1. Est-ce à dire que ces concepts existent aussi ? Même si leur coexistence avec les objets précédents est logiquement impossible?

La plupart des mathématiciens sont effectivement platonistes (il n'est pas simple d'admettre que l'on travaille sur des objets qui n'existent pas :) ), mais mon impression est qu'il est assez inutile de vouloir à tout prix mettre au même niveau les outils et concepts avec lesquels nous autres humains pensons le monde (mathématiques) avec ce qui existe effectivement dans le monde (dont nous-même). Cela correspond pour moi à une dévaluation de la notion d'existence assez peu fructueuse.

Dyonisos (2014-05-12T12:10:04Z)

Par rapport à la remarque de Gauvain, ça recoupe ce que je voulais dire: la théorie causale de la référence par laquelle, grosso modo, on tente de reconstruire le monde objectif à partir des stimuli sensoriels, peut parfaitement s'inscrire dans les efforts du réalisme scientifique ordinaire. Mais pour les mathématiques, c'est plus incertain: quelle connaissance peut-on avoir d'un domaine abstrait qui ne se livre pas par une perception sensorielle ? Souvent, des ultra-réalistes à la Gödel mobilisent alors la notion d'une intuition sui generis relative aux mathématiques. Certains tentent de montrer comment les notions de la théorie des ensemble se forgent dès l'enfance (Peneloppe Maddy a notamment beaucoup écrit dans cette voie). En tout cas, ce lien étroit entre l'intuition et le réalisme est souvent souligné dans les mathématiques alors qu'il est absent des autres formes du réalisme scientifique qui ne semblent pas acculées à le postuler. Cette différence est ce qui peut je crois être avancée pour relativiser/critiquer l'approche de l'entrée du blog qui veut au contraire aligner et fondre les problématiques et réponses enveloppées sous le chapeau plus général du Réalisme Scientifique considéré de manière homogène dans ses diverses branches.

Gauvain (2014-05-11T21:53:54Z)

Quelle est la différence entre un quark et une chaise ? Dans les deux cas on a un objet, qui se manifeste à nous par le truchement de nos divers sens. Qu'est-ce que ça veut dire qu'on "voit" une chaise ? Ca veut dire que quand je suis en présence d'une chaise, je reçois des stimuli visuels qui me signalent qu'il y a une chaise dans le coin. Mais même ces stimuli sont relativement autonomisés par rapport à l'objet qui les provoque : par exemple, je peux voir une chaise à dix mètres de distance, c'est-à-dire depuis un endroit où *la chaise n'est pas*.

Et j'ai besoin de certaines conditions pour voir la chaise : que la pièce soit éclairée, qu'il n'y ait pas de rideau entre elle et moi, etc.

Ben pour les quarks c'est pareil. Ce sont des objets qui se manifestent à moi via des stimuli, éventuellement indirects.

Epistémologiquement parlant, il y a à mon avis beaucoup plus de continuité entre le fait de savoir qu'une chaise existe et le fait de savoir que les quarks existent qu'entre le fait de savoir que les quarks existent et le fait de savoir que les quaternions existent. Parce que les quaternions, ils ne "dégagent" aucune information par eux-mêmes, ils ne déclenchent pas de stimuli chez les observateurs. C'est pareil pour les nombres réels, y compris les entiers les plus triviaux, du reste : je ne suis pas sûr que le nombre "quatre" existe dans le même sens qu'un quark ou une chaise. Je suis même assez convaincu du contraire…

Dyonisos (2014-05-11T20:14:17Z)

La question de l'antiréalisme pour la physique et les sciences expérimentales a nourri une littérature extrêmement abondante depuis un bail dans ses diverses versions, instrumentalisme à la Duhem, construction sociale pipeautée à la sauce social studies, empirisme prétendant ne sauver que les phénomènes dont un des représentants récents les plus éminents est van Fraassen. Mais, comme Dummett le notait (lui il défend un intuitionnisme en philo des maths), on peut parfaitement être réaliste en philo des maths et pas en physique, ou par rapport à la perception etc… Aucune de ces positions n'implique l'autre.
Je crois que ce qui te fait aller en sens inverse, c'est que tu ne considères que les seuls arguments de l'évolutivité de la science ou de l'exclusivité humaine de cette activité et de l'inobservabilité directe et sans biais instrumentaux de certaines entités théoriques postulées par nos théories.
Mais il y a au moins un élément qui peut motiver des prises de position opposées entre les mathématiques et les sciences "empiriques": le rôle de l'intuition. En effet, le platonisme mathématique recourt souvent à cette notion pour expliquer l'accès aux réalités mathématiques et ça peut sembler faire la part trop belle aux mots et pas assez à l'explication. La relation avec la théorie causale de la référence est plus délicate dans ce cadre du platonisme mathématique que dans les autres domaines scientifiques. Cette difficulté est par exemple centrale dans un papier de Benacerraf qui commence maintenant à dater. L'intuition mathématique a quelque chose de plus hermétique et suspect que la manière dont on construit les autres théories scientifiques (si on met de côté évidemment l'arsenal mathématique qui est souvent mobilisé dans les autres sciences mais qu'on utilise simplement sans se soucier de découvrir les vérités mathématiques auxquelles on renvoie.)

jonas (2014-05-10T15:00:20Z)

After this blog post, I asked Scott Aaronson a loaded question on his opinion of this, see his reply at <URL: http://www.scottaaronson.com/blog/?p=1767#comment-106469 >

Moi et les nombres (2014-05-10T10:28:18Z)

Qu'est-ce qui te tracasse ? L'efficacité des mathématiques, que d'autres que les purs géomètres touchent aux nombres et s'en servent, les physiciens, les radiologues jusqu'aux statisticiens et même les bouchers quand ils pèsent la barbaque ? Tu voudrais inscrire au fronton de ton temple que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ?

Un nombre est un nombre : c'est bien utile ! Mais il faut toujours une interface pour que le monde interagisse avec lui.
Il n'y a rien de plus à savoir là-dessus …

Si un pont casse ce n'est parce que le calcul l'a décidé c'est parce que des contraintes matérielles ont pesé sur lui (et même si l'architecte avait prévu d'avance le point de rupture après de savants calculs).

P.S : Ou alors c'est psychanalytique ; que les nombres aient leur vie propre et te survivent t'inquiète au plus haut point. Les nombres résument ta pulsion de mort …

phi@ediphi.org (2014-05-09T21:28:34Z)

Justement, j'avais qq interrogations sur le sujet…
C'est quoi, exister?
L'existence peut/devrait-elle être axiomatisée?
L'existence peut-elle être absolue?
L'existence existe-t-elle?

Couard Anonyme (2014-05-09T09:12:13Z)

> Peut-être parce que les physiciens des particules ont des détecteurs expérimentaux ?

Les explications les plus simples sont toujours les meilleures : parce que les ultra-réalistes sont des crétins qui ne se rendent pas compte que leur position est intenable et contredit leurs propres croyances hors mathématiques me semble être la raison qui explique le mieux le phénomène observé… sauf pour ce qui croient aussi que la terre a 6000 ans.

SM (2014-05-08T21:44:07Z)

Et le zèbre n'existe pas plus que les neurones car le système de vision humain est aussi sujet au scepticisme que le microscope. Voilà, c'était ma platitude du soir.

PS en passant - Ca fait quelques mois que j'arpente ce blog et le conseille à mes potes matheux : vraiment super, merci.

Fred le marin (2014-05-08T20:40:30Z)

Reste aveugle celui qui s'obstine à ne pas voir (grave).

Mes deux craintes (quelque peu antagonistes) sont les suivantes :
1) si l'on ne reconnait pas une certaine réalité aux choses comme celles évoquées dans le post du jour, c'est le retour évident à une forme d'obscurantisme.
Qui plus est, c'est nier tous les progrès des sciences.
2) pour autant, les (hautes) vérités trouvées seront-elles belles (au sens humain) ?
Sincèrement, je ne me gaverai pas davantage avec des tonnes d'automorphismes, de conjectures de géométrisation, de noms d'exoplanètes ou d'espèces animales (en latin de surcroît) : car c'est un délire (d'orgueil ?) digne de grand malade mental.
La vie est si courte, reprenons le souffle - bon sang -, et carpe diem !
Et pour finir, dans le rôle de l'éminent psychiatre (sic) :
Quel est votre dessein secret que de vouloir capturer/maîtriser toutes ces froides et colossales abstractions ?
L'existence doit être (quelques fois) savourée, pardi : à bon entendeur (on l'espère tous)…


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