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Ruxor (2012-02-20T03:49:45Z)
@Valerio: Une fonction holomorphe, c'est une application du plan vers lui-même qui conserve les angles orientés (localement). Pas particulièrement de rapport avec ce qu'on disait.
Valerio (2012-02-19T21:02:39Z)
La, franchement, on te surestimait: on pensait naïvement que, dès les premiers ordinateurs, ton papa t'avais immergé dans un simulateur d'espace à 10 dimensions afin que tu en acquières l'intuition!
Car on comptait sur toi pour nous expliquer ce qu'est géométriquement une fonction holomorphe; n'y aurait-il pas un lien avec les "deux vitesses angulaires en rapport rationnel"?
Ruxor (2012-02-14T15:09:06Z)
@Guego: Oui, bien sûr, je me suis mal exprimé, c'est dense dans un tore dont la dimension est justement le rang du groupe des rotations (donc 2 en dimension 4).
Guego (2012-02-14T14:58:27Z)
"En dimension quatre ou plus, la trajectoire d'un point sous l'effet d'une rotation uniforme est une sorte de courbe de Lissajous, qui en dimension paire va avoir tendance à être dense dans la sphère"
J'aurais plutôt tendance à dire que l'adhérence de la trajectoire va être un tore, et non la sphère. En effet, une rotation dans R^4 peut se décomposer en deux rotations dans deux plans orthogonaux. Dans chacun de ces deux plans, la norme va être conservée. Autrement dit (dans une base adaptée), la trajectoire de (a,b,c,d) sera sur le tore d'équations x^2+y^2=a^2+b^2 et z^2+t^2=c^2+d^2.
Non ?
Vicnent (2012-02-14T13:57:13Z)
"À partir de la dimension quatre, ce n'est plus le cas : une rotation uniforme très générale n'a pas de période" : marrant, contre intuitif. 'M'étais jamais posé la question car pour moi, il était évident que c'était le contraire. Merci.
Ruxor (2012-02-14T13:26:18Z)
@DH: Je n'ai pas dit qu'une rotation n'était *jamais* périodique, j'ai dit qu'en général elle ne l'était pas. En gros, en dimension quatre, il y a deux vitesses angulaires de rotation (c'est en gros ça que signifie le fait que SO_4 est de rang 2), sans compter quatre paramètres précisant les « axes » de rotation ; si ces deux vitesses angulaires sont en rapport rationnel, la rotation est périodique, sinon elle ne l'est pas. La rotation du tesseract sur Wikipédia semble avoir des vitesses angulaires en rapport 1:1, et du coup elle est bien périodique, mais c'est un cas très particulier.
DH (2012-02-14T13:12:44Z)
Tiens, pourtant l'animation du tesseract que tu as mise en lien semble être une rotation et pourtant elle est périodique. Ou alors je l'ai mentalement interprété comme une rotation, mais ce serait quoi alors ? J'ai l'impression qu'il y a au moins un axe/un plan invariant dans cette animation…