Comments on Polynômes plus ou moins symétriques en cinq variables

DM (2012-01-11T17:06:32Z)

J'ai voulu exploiter ce genre de symétries (ou antisymétries) partielles pour des preuves par Positivstellensatz, mais je n'ai pas trouvé d'étudiant pour bosser dessus!

Ruxor (2011-12-18T18:52:29Z)

@Grasyop: Pour les deux coquilles, tu as raison, et j'ai corrigé.

Oui, j'aurais pu mettre ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5) en haut du schéma. Par contre, il n'est pas égal à E(Z1) (ça ça donnerait les polynômes complètement symétriques en Z2,…,Z5) : si on veut l'engendrer par un seul polynôme, on peut prendre par exemple Z2·Z3^2·Z4^3·Z5^4 (il faut trouver quelque chose qui ne soit invariant sous *aucune* permutation des variables).

Pour le calcul des fonctions de Hilbert-Poincaré, la formule que j'ai utilisée est que la série est la moyenne, sur tous les éléments π du groupe considéré, de l'inverse du déterminant de (1-t·π) où t est l'indéterminée formelle et π doit se comprendre ici comme une matrice de permutation (5×5 dans mon cas, donc). On peut aussi calculer les petites dimension par un argument ad hoc. Je suis sûr que les résultats que je donne sont corrects, mais c'est vrai que juste comme ça je ne vois pas de raison évidente pour laquelle il y a une symétrie entre les coefficients d'ordre i et 10−i, mais la raison pour laquelle Aff(5) y échappe c'est visiblement parce que c'est le seul qui ne soit pas contenu dans le groupe alterné 𝔄_5 (probablement ceci permet d'écrire la série sur un dénominateur différent).

Grasyop (2011-12-18T12:46:19Z)

Très beau billet, qui m'a appris beaucoup de choses, notamment la jolie description géométrique de Aff(5).

Il y a deux coquilles (ou alors je n'ai pas compris) :

« il est possible en principe d'exprimer Q, P et δ en fonction de P (et de e1,…,e5) »
Je pense que c'est plutôt en fonction de F.

« une base est donnée par les monômes Z1i1·Z2i2·Z3i3·Z4i4·Z6i5 avec i1≤1, i2≤2, i3≤3, i4≤4 et i5≤5 »
Il faut écrire Z6 au lieu de Z5, et, je suppose, i1≤0, i2≤1, i3≤2, i4≤3 et i5≤4.

Deux questions :

Je m'interroge sur l'absence de ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5) en haut du schéma. Ai-je raison de penser que ℚ(Z1,Z2,Z3,Z4,Z5) = E(Z1) ? (Je ne vois pas comment exprimer Z2 dans E(Z1) par exemple.)

J'ai un peu plus de mal avec la fin de l'article, et je voudrais bien un exemple de calcul du numérateur de la fonction génératrice de Hilbert-Poincaré de ℚ[Z1,…,Z5]^X où X = Aff(5), D_5 ou C_5 (pour les trois autres, je crois comprendre). Notamment, celui de ℚ[Z1,…,Z5]^Aff(5) est le seul à ne pas être symétrique, c'est normal ?

Remarque informatique : quand je copie-colle un élément du schéma dans mon éditeur de texte (Kate) et que je tente ensuite de la modifier, l'éditeur fait n'importe quoi.

Conscrit neuneu (2011-12-13T15:04:49Z)

git-memek -> l'idée est de cliquer sur le lien snapshot sur le premier commit, de décompresser l'archive et taper pdflatex dans le répertoire livre autant de fois qu'il faut pour ne plus avoir de undefined reference.

Malheureusement je n'arrive pas à compiler, ça échoue.

nameronick (2011-12-13T09:42:48Z)

Merci pour le lien, intéressant! Un futur Cours Spécialisé de la SMF pour 2013?

git-memek (2011-12-13T06:33:19Z)

Pour les gros boulets tels que moi, y a un moyen simple de faire cracher un pdf à git ?

JML (2011-12-12T23:21:09Z)

Urgh ! C'est super que tu explicites de nombreux détails de calcul, ça me permet de bien voir que je suis largué assez vite. Pas d'enfumage possible, c'en est presque relaxant.

Ruxor (2011-12-12T16:57:04Z)

bidibulle (2011-12-12T15:57:14Z)

Bonjour

Je passe à autre chose: puisque tu écris un ouvrage sur la théorie de Galois, compte tu en diffuser les drafts comme cela se fait quelque fois ici?
Est ce d'ailleurs un manuel sur le sujet, un ouvrage de "vulgarisation" ou alors un ouvrage très pointu?

nameornick (2011-12-12T14:10:24Z)

Pour une vision géométrique, et même topologique (i.e. voir que le groupe de monodromie de toute combinaison finie de racines est résoluble, donc problème au delà du degré 5) consulter le livre suivant de 2004, basé sur un cours d'Arnold à des élèves de lycée dans les années 60 <URL: http://books.google.fr/books?id=GI_SmiYsh0UC&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false > L'appendice par Khovanskii traite de la généralisation aux fonctions de plusieurs variables.

Ruxor (2011-12-12T12:13:56Z)

@Vicnent: C'est parce que leur groupe de Galois (défini dans ce post) peut ne pas être « résoluble », ce qui signifie en gros « analysable en termes de groupes cycliques », ces groupes cycliques étant en gros ce qu'on peut obtenir comme groupes de Galois quand on écrit des racines n-ièmes, (et les groupes symétrique et alterné sur 5 objets ou plus ne sont plus résolubles).

Vicnent (2011-12-12T11:12:00Z)

Pas si loin avec le quintique, quelqu'un saurait il expliquer pourquoi, à partir du degré 5, les équations polynomiales dans le cas général ne sont pas résolubles par radicaux et il ne saurait y avoir d'expression algébrique finie des racines solutions. J'entends bien que c'est un résultat connu (Ruffini Abel 1824), mais ma question est plus de l'ordre de l'explication : y a t il une explication (géométrique, …) plus profonde à cette particularité qui démarre au degré 5 ?


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