Comments on Jouons avec le système de racines E8

jonas (2016-05-04T20:40:48Z)

I would like to hereby mention a recent result that might be relevant (from 2016, years after this blog post). Maryna Viazovska has proved that the lattice generated by E_8 roots gives the centers of the densest sphere packing in 8 dimensions. Links:

Maryna Viazovska, "The sphere packing problem in dimension 8" (2016), preprint at <URL: http://arxiv.org/abs/1603.04246 >.

Gil Kalai, "A Breakthrough by Maryna Viazovska Leading to the Long Awaited Solutions for the Densest Packing Problem in Dimensions 8 and 24" (2016-03-23) blog post <URL: https://gilkalai.wordpress.com/2016/03/23/a-breakthrough-by-maryna-viazovska-lead-to-the-long-awaited-solutions-for-the-densest-packing-problem-in-dimensions-8-and-24/ >

John Baez, "E_8 Is the Best" (2016-03-24) blog post <URL: https://golem.ph.utexas.edu/category/2016/03/e8_is_the_best.html >

(The two blog posts give each other as sources. Gil Kalai might be a time traveler.)

Fork (2010-10-19T07:34:55Z)

Ruxor → Effectivement, la technique que tu donnes a l'air de bien marcher.

Sinon je veux bien que les mouvements soient symétriques et faciles à prévoir, mais j'ai toujours été impressionné par les grands amas de points (et en l'occurrence, je suis complètement paumé après une ou deux permutations.)

Ruxor (2010-10-18T13:26:49Z)

Fork → En fait, je ne pense pas que ce soit délirant de visualiser l'effet qu'aura le fait de cliquer sur une racine r : d'une part cela échange r et −r, et d'autre part cela échange s et s±r pour 56 paires {s, s±r}, donc en fait on peut s'en tirer à bon compte en regardant pour quelles racines s sur le dessin un des deux points s±r est encore une racine (il se pourrait que ce soit le cas par coïncidence ou que ça passe très près, bien sûr, mais ça ne doit pas trop arriver). C'est particulièrement simple dans les projections qui ont un haut degré de symétrie (j'aime beaucoup celle d'ordre 24), et pour aider à visualiser j'ai ajouter une commande « show displacement angles » qui colorie temporairement les racines en fonction de l'angle qu'elles forment avec leur nouvel emplacement (si on l'utilise après avoir cliqué sur une seule racine, on voit vraiment bien quelle racine a bougé où).

Ceci étant, le puzzle est de toute façon trop facile, pas trop dur : il y a une technique pour le résoudre en quelques coups qui marche remarquablement bien, consistant juste à cliquer sur une racine qui a été déplacé de l'angle le plus grand possible (π s'il y en a, 2π/3 sinon, et π/2 sinon ; si toutes les racines sont déplacées de π/3, il faut un peu ruser, mais c'est assez rare pour qu'on puisse juste permuter aléatoirement et recommencer, dans ce cas). Comme j'affiche toutes les informations qu'il faut, c'est vraiment évident à faire. Mais il faut que je me renseigne un peu sur les raisons mathématiques derrière ça.

Koko90 (2010-10-18T08:00:17Z)

PS : En fait, il existe une seconde implémentation de M12 sous formes d'objet physique.

C'est toujours créé par Oskar van Deventer. Plus de détails là (la page présente les deux casse-tête).
http://oskarvandeventer.nl/M12/

Koko90 (2010-10-18T07:58:13Z)

A propos de cass-tête, je pense qu'une référence au Topsy Turvy d'Oskar van Deventer est nécessaire ici.

C'est le groupe de Mathieu M12. Facile à implémenter de 100 façons différentes sur un PC. Mais ce qui est impressionnant, c'est que c'est un objet mécanique…

La vidéo est là :
http://www.youtube.com/watch?v=H8ZcYvU0sLY

Étant donné qu'on a que 2 permutations pour engendrer le groupe entier, la difficulté doit être affolante.

Pour les amateurs de casse-tête. Oskar van Deventer a fait des dizaines de trucs déments :
http://www.youtube.com/user/OskarPuzzle

Fork (2010-10-18T07:16:27Z)

Ugh, mais c'est ignoble comme puzzle ! Je serais très, très impressionné si quelqu'un me montrait qu'il est capable de se représenter ce que veulent dire toutes les petites couleurs quand elles sont mélangées (ou dit autrement, arriver à se représenter la configuration).

De temps en temps je me demande aussi combien de temps tu passes pour coder des trucs pareils :-)

P.S. Dans tous les cas ce puzzle fait un beau Zahir ; E8 a été mentionné dans une discussion que j'ai eue il y a même pas une semaine.

Ruxor (2010-10-17T18:24:11Z)

Ah, mais je n'ai pas dit « le groupe de Weyl », j'ai dit « le groupe de symétries » : je rappelais juste la définition d'un polytope régulier comme un polytope sur lequel le groupe des symétries opère transitivement sur les drapeaux.

Maintenant, dans le cas de E8, il se trouve que le groupe de symétries du polytope des racines est bien égal au groupe de Weyl, parce que le diagramme de Dynkin n'a pas d'automorphismes, or le groupe des symétries d'un système de racines est le produit semidirect par le groupe de Weyl du groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin (cf. par exemple Bourbaki, LIE chap. VI, §4, nº2 (p. 196), corollaire de la proposition 1 ; ou bien <URL: http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/11/the-automorphism-group-of-a-root-system/ >). Il est vrai que je n'ai pas été très clair, dans mon background mathématique, sur ce qui est vrai pour tout système de racines ou ce qui est particulier à certains d'entre eux (comme le fait qu'il n'y ait qu'une seule longueur de racines, ou ce que je viens de dire) : si quelqu'un a des suggestions sur la façon de reformuler sans que ça devienne très lourd, je suis preneur.

L'exemple de A2 correspond donc essentiellement au fait que le diagramme de Dynkin de A2 a un automorphisme. (C'est encore plus frappant pour D4, bien sûr, dont le groupe de Weyl est d'ordre 192 et le groupe des symétries d'ordre 1152.)

Ah, et, sinon, il me semble qu'il est faux que le groupe de Weyl opère transitivement sur les drapeaux de l'appartement : il opère simplement transitivement sur les chambres de dimension maximale, donc il ne reste plus de place pour opérer sur le reste du drapeau. (Pour A2, justement, il y a six chambres de Weyl, donc douze drapeaux, et le groupe de Weyl est d'ordre 6.)

H.S.M. (2010-10-17T15:49:14Z)

Si c'est le polytope des racines que tu veux prendre, ça foirera de toute façon. Par exemple, celui de type A_2 est un hexagone, mais le groupe de Weyl est celui du triangle, qui n'est donc pas transitif sur les 12 drapeaux de l'hexagone. Pourtant, A_2 est un cas que tu souhaites justement conserver quand tu classifies les polytopes réguliers.

Ruxor (2010-10-17T12:45:20Z)

Oui, mais les drapeaux du complexe de Coxeter ne sont pas les drapeaux du polytope des racines, et le groupe de Weyl n'agit pas transitivement sur ces derniers. Je suis d'accord que ma formulation était un peu pourrie.

H.S.M. (2010-10-17T08:48:35Z)

La raison pour laquelle E_8 ne définit pas un solide régulier n'est pas liée à la transitivité (un groupe de Weyl agit TOUJOURS transitivement sur les drapeaux de son complexe de Coxeter), mais le fait que son diagramme de Dynkin n'est pas linéaire.


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