Comments on Pourquoi la physique utilise-t-elle des mathématiques ?

DM (2010-09-11T21:04:02Z)

Je ne vois pas en quoi l'informatique serait intrinsèquement binaire. Si on remplace la base 2 par la base n>=2, on obtient les mêmes notions de calculabilité et complexité.

Ruxor (2010-07-04T08:45:04Z)

Dans les p-adiques aussi il y a une notion de « petit » (ce qui est hautement multiple de p) et de « grand » (ce qui comporte des 1/p), donc a priori l'existence de différentes échelles n'est pas un problème que dans ℝ. Au contraire, elle est même plutôt mieux définie (il y a moins d'arbitraire dans la limite entre les différentes échelles). Par contre, du coup, c'est vrai que ça soulève un problème possiblement incompatible avec l'existence de la vie ou d'une physique vraiment intéressante : il est possible que les échelles petites aient du mal à faire émerger des phénomènes aux échelles grandes. Je ne sais pas à quel point les systèmes dynamiques p-adiques ont été étudiés, donc ce n'est qu'une vague intuition, il faudrait vérifier.

un Vieux Con (2010-07-02T20:43:50Z)

Le temps n'est pas forcément le meilleur exemple de l'importance d'une structure d'ordre : sans ordre, les passages de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique ne sont pas vraiment évidents. Par exemple, si des particules élementaires apportent chacune une contribution élementaire à une variable macroscopique, cela suppose des interactions un peu bizarroïdes pour que l'effet de k*p^n et de 1+k*p^n particules soit radicalement différent. C'est-à-dire que des grandeurs additives au sens p-adique donneraient lieu à des phénomènes complètement non-locaux aux yeux d'un physicien dans |R.

La vie telle qu'on la connaît suppose justement d'arriver à faire abstraction de ces petites variations locales (un être vivant n'est pas à quelques quarks/atomes/molécules près) pour faire des blocs de plus en plus "puissants". Si tu veux concevoir une vie dans un autre système physique, à moins de chercher un type de vie radicalement différent du nôtre il faudra sans doute savoir comment faire passer tes lois physiques à l'échelle.

Ruxor (2010-06-20T13:55:28Z)

BR → C'est toujours la même question. Dire qu'il y a une « flèche » du temps, c'est dire que le temps est ordonné. Certes, mais pourquoi ? On peut tout à fait faire des EDP, et imaginer une physique, sur un monde p-adique, avec un temps p-adique : il n'y a pas de flèche du temps comme nous la décrivons, à la place il y a une filtration du temps par l'éloignement au présent. Je n'ai pas réfléchi à la façon dont fonctionnerait la seconde loi de la thermodynamique dans un tel Univers, mais en tout état de cause, c'est *parce que* le temps est réel dans notre Univers que la flèche du temps existe (ou existe sous la forme sous laquelle elle existe), et à moins de donner une raison pour laquelle une flèche du temps devrait forcément exister, ce n'est que signaler une conséquence que de dire qu'elle existe, ce n'est pas une cause.

BR (2010-06-20T10:41:33Z)

Quand le sage montre la lune…

Cesse de regarder mon doigt, petit scarabé, et explique moi sur quelle autre place p-adique est définie une relation d'ordre compatible avec la relation d'ordre sur Q (qui permet de définir cette notion élémentaire qu'est la flèche du temps).

Ruxor (2010-06-20T09:56:21Z)

BR → C'est une pétition de principe : tu es en train de dire « les nombres réels sont l'unique place de ℚ qui soit archimédienne » (c'est-à-dire pour laquelle les entiers naturels ne sont pas bornés), certes, mais les nombres p-adiques sont l'unique place de ℚ pour laquelle p est petit. Et alors ? Pourquoi la physique a-t-elle besoin que les entiers naturels ne soient pas bornés ? C'est exactement la question que je pose, et ce n'est pas forcément plus clair de la reformuler comme ça (ça donne au contraire l'impression que c'est une évidence, alors que ça ne l'est pas).

BR (2010-06-20T08:38:04Z)

Il me semble qu'il y a une explication très simple pour justifier le rôle des nombres réels par rapport aux nombres p-adiques. Cherchez bien : quel différence y-a-t-il entre les nombres réels et les nombres p-adique ?

Je vous laisse réfléchir; mais pensez bien que même Archimède pourrait vous donner la réponse (et que la notion de temps physique dépend fortement de cette différence).

valerio (2010-06-17T21:01:34Z)

vite, un FLG sur le Nombre Absolu A qui a rendu fou Grothendieck, lorsqu'il comprit que l'univers était en réalité décrit par des nombres A-adiques…

tartaglia (2010-06-14T22:41:27Z)

David: ne t'en déplaise, la physique est une science exacte, certes, mais qui craint tellement de ne pas etre une science rigoureuse qu'elle en a des complexes. Les sciences naturelles et la médecine, c'est pareil, sauf qu'en plus, du fait du rapport à l'humain, une complexification et des inhibitions apparaissent ( je te renvoie, toi et notre pote Fork, à ta digresion sur la variabilité des résultats des analyses sanguines, que tu trouvais rigolos, alors que pour lui, de tte manière il avait fallu se faire fendre la caisse à cause d'une appendoc compliquée qui ne s'était pas réglée simplement par unez coezlioscopie ni vu ni connu ou un coup de bistouriquette, une petite toilette locale, et une suture de minette)

RRRrrr (2010-06-12T19:58:23Z)

Ruxor : "il est beaucoup plus difficile de mettre le doigt sur des propriétés mathématiques des réels qui soient préférables aux p-adqieus"

Tu n'oublierais pas la structure d'ordre, quand même ? Il me semble que c'est la principale propriété utilisée par les physiciens (plutôt que la structure de corps) et on ne la retrouve pas en p-adique.

Simon : "quelle différence y a-t-il entre le temps et l'espace en EDP ?"

Dans beaucoup d'EDP, il y a une grande différence entre temps et espace. Par exemple pour l'équation de la chaleur d/dt u= d/dx^2 u, l'opérateur d/dx^2 a des propriétés très intéressante (propriété de la moyenne, principe du maximum, lien avec les fonctions harmonique, diagonalisation) que n'a pas l'opérateur d/dt-d/dx^2. Il est donc très naturel de faire une opposition entre temps et espace.

Ruxor (2010-06-11T19:18:11Z)

Ceux qui font remarquer que la physique utilise des réels seulement approximatifs, donc pas vraiment des réels, sont à côté de la plaque : les p-adiques aussi, ils existent en version approximative ; la question n'est pas de savoir si la physique utilise des vrais réels avec précision infinie ou seulement une version approximative, mais de savoir pourquoi elle utilise des réels (exacts ou approximatifs) et pas des p-adiques (exacts ou approximatifs).

J'ai d'ailleurs donné l'exemple des comptes en banque : les soldes des comptes en banque sont, aux dernières nouvelles, des rationnels, donc formellement ce sont à la fois des réels et des p-adiques pour tout p. Mais ce qui compte est leur place réelle : si c'était la place 7-adique qui comptait, avoir 0€ sur un compte en banque ou avoir 403536.07€ ce serait presque la même chose. De même, si la physique utilisait des nombres 5-adiques, une masse de 1kg et une masse de 10000001kg, ce serait presque la même chose. De toute évidence, ce n'est pas le cas… Ce n'est pas le problème que la physique utilise des nombres exacts ou approximatifs, c'est que quand elle utilise des nombres approximatifs, elle le fait à la place réelle, pas à une place p-adique.

xavier (2010-06-11T17:32:03Z)

La physique se fait souvent sur R pour parler facilement de continuité, de dérivabilité et de tout ce qui va avec. Cependant elle n'a de sens que sur les décimaux car la précision infinie n'a pas de sens physique. Ce serait terriblement chiant d'écrire la physique sur les décimaux donc on plonge tout ça dans les réels en oubliant qu'on est loin d'être sur R.

Fork (2010-06-10T16:28:50Z)

« [#] Enfin, ce n'est pas vrai […] »

Y aurait pas eu cette note, j'aurai immédiatement râlé pour dire la même chose. Mais du coup je me sens maintenant obligé de souligner qu'il y a tout de même un énorme pan de l'informatique qui se soucie relativement peu des maths :) le sujet de mon stage en ce moment, c'est d'essayer d'améliorer les performances de la communication entre un CPU et un DSP d'un même système. Pas très mathématique tout ça ;)
De la même façon que la géométrie algébrique est sans doute assez éloignée de la théorie des ensembles (enfin, je crois :P), la théorie de la complexité et les systèmes d'exploitation, c'est pas si proche que ça.

Mo (2010-06-10T02:34:10Z)

Je trouve que c'est une question très difficile, peut être même liée à la précédente, puisqu'après tout ce sont de Hommes qui font la science (Maths ou Physique). Mais à mon avis les physiciens sont des gens très pragmatique (l'un d'entre eux, et non des moindres R. Feynman disait bien, l'important c'est pas d'avoir la meilleure solution, mais d'avoir une solution). Et on peut voir à travers l'histoire des sciences, par exemple, Newton, pour moi le plus grand esprit de tous les temps, a inventé le calcul intégral et différentiel, tout simplement parce qu'il en avait besoin pour sa théorie de la gravitation. Pareil, Einstein, a du ré-inventer la géométrie différentielle et le calcul tensoriel pour les besoins de la relativité générale. La mécanique quantique quand à elle, a été plus chanceuse, puisque sa base, les espaces de Hilbert étaient prêt depuis des années déjà…Et les exemples sont nombreux. Mais la question que je me pose, moi, c'est si on imagine qu'il aient des extra-terrestres, et qu'ils aient inventé des mathématiques complètement différentes des nôtres, ce qui est fort probable, est-ce qu'ils trouveraient la bonne formulation des lois de la physique qui est nécessairement la même que nous?

Ruxor (2010-06-09T22:32:16Z)

Natacha → La norme 2 a des propriétés purement mathématiques qui sont nettement meilleures que les autres, du fait qu'elle résulte d'un produit scalaire, qu'elle est homogène, différentiable, toutes sortes d'autres choses. Donc, du point de vue purement mathématique, ça ne surprend pas du tout. C'est pour ça que je prenais les p-adiques comme exemples, parce qu'il est beaucoup plus difficile de mettre le doigt sur des propriétés mathématiques des réels qui soient préférables aux p-adqieus.

JML (2010-06-09T21:28:39Z)

Pour moi, les maths c'est d'abord l'étude des mécanismes de cause à effet ; au sens où on se donne des lois (des axiomes) et on regarde ce que ça a comme conséquences à partir d'une situation donnée (prémisse => des théorèmes).
Localement de nombreux aspects de l'Univers semblent se décrire correctement par des lois de cause à effet (même s'il peut y avoir d'autres formulations, comme des mins d'une certaine fonction, peu importe pour mon propos), et en fait on a du mal à imaginer qu'une vie se développe dans un univers sans cette propriété (si n'importe quoi devient trop probable sans raison particulière, ça paraît dur de maintenir une homéostasie). La vie telle qu'on la conçoit est à l'interface de l'ordre et du chaos (merci Moorcock).
Une science qui dépasse le stade descriptif, par définition, a construit des modèles de son objet d'étude, c'est-à-dire un mécanisme de cause à effet, c'est-à-dire qu'elle affirme qu'un sous-ensemble particulier des maths décrit son objet d'étude, en suivant une certaine méthode. Bon.

Après, pourquoi ces maths-là plutôt que d'autres… pourquoi j'arrive pas à cracher des boules de ki même en essayant très fort… Moi je me demande toujours quelle est la nature de la différence entre les entiers de Peano et ceux de la physique !
Ce qui est certain, c'est qu'on n'utilise que les maths qu'on arrive à utiliser, et aussi que les maths pour physiciens sont pas complètement des maths, mais ça y ressemble de loin et ça donne un résultat qui correspond à l'expérience jusqu'à ce qu'un petit malin pousse le bouchon trop loin – puisque, pour un physicien, un théorème (ou une méthode) est vrai(e) quand il est localement vérifié, jusqu'à preuve du contraire.
Alors, est-ce que la physique utilise vraiment des nombres réels ? Comme on répond «oui, à condition de pas aller trop loin dans les décimales», c'est pas vraiment des réels, c'est juste que les réels sont plus simples puisqu'on peut imaginer qu'on peut couper autant qu'on veut (et faire des dérivations réelles etc.) tant qu'on ne le fait pas vraiment (et là on demande aux matheux d'expliquer pourquoi les lois microscopiques s'approximent au macroscopique par des lois sur les réels, non qu'il y ait besoin de le savoir puisqu'on a constaté que ça marche, mais au cas où ça permettrait d'imaginer des applications nouvelles), mais dans la description moderne de la réalité (mur de Planck) il n'y a pas les mêmes réels (ils deviennent complexes et ne veulent plus dire la même chose avec Schrödinger).
La physique utilise même des trucs trop bizarres pour que les matheux sachent quoi en faire, comme les diagrammes de Feynman. Franchement, que demande le peuple ;)

Natacha (2010-06-09T21:06:37Z)

Je me suis souvent posé une question qui ressemble à l'exemple que tu donnes, mais à une échelle plus modeste : pourquoi la norme 2 est-elle aussi majoritairement utilisée ? Il y a plein d'autres normes très intéressantes, comment se fait-il que l'on soit ainsi bloqués avec cette norme 2 ?

J'imagine que je n'aurai pas plus de réponses que sur la question des réels par rapports aux p-adiques.

Et je suis beaucoup plus séduite par ta dernière tentative d'explication que les précédentes : ce ne serait qu'une question de point de vue, et avoir baigné depuis notre plus tendre enfance dans des nombres réels (ou presque) nous empêche de voir autrement.

Cependant il n'est peut-être pas facile, voir impossible, de voir autrement, à cause de ce que j'ai appelé dans une de mes réflexions une « complexité irréductible » : est-il possible d'apprendre des mathématiques suffisamment avancées pour maitriser les nombres p-adiques sans avoir été d'abord exposé aux réels ? J'avais eu cette réflexion en proposant un autre système de représentation des entiers <http://instinctive.eu/articles/systeme-numeration-exotique> qui utilise les nombres premiers comme une base multiplicative (contrairement au système décimal qui utilise les puissances de dix de façon additive), et je n'arrive pas à imaginer comment acquérir les concepts nécessaires pour écrire un nombre dans ce système sans avoir déjà fait beaucoup plus qu'écrire des nombres.

JB (2010-06-09T20:20:26Z)

Tu as oublié le Principe de Bip : la physique est une des plus grandes entreprises de l'humanité, et si elle utilise des nombres réels c'est parce qu'elle a de bonnes raisons :)

Simon (2010-06-09T17:52:11Z)

Une question que je trouve relativement proche, même si ça ne parle pas de physique (quoique) : quelle différence y a-t-il entre le temps et l'espace en EDP ? On fait toujours des d/dt et des d/dx et je ne vois pas quelle différence fondamentale il y a entre les deux, et pour le moment, je n'ai encore trouvé personne qui m'a donné une explication convenable (mais je ne l'ai pas posée souvent, la question, tant elle me paraît bête).
Du coup, je la pose ici, tiens, peut-être que quelqu'un aura la gentillesse de me répondre :)


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