Comments on Platonisme et mathématiques

Jef (2008-05-21T08:08:24Z)

J'ai pas tout compris (le début ok, la fin ok, le milieu non)
on m'a indiqué ce lien parce que ça pouvait rejoindre mes dernières préocupations (cf le lien que je mets ici, qui sont des compilation de textes sur Gödel.), sur "d'où viennent les mathématiques" entres autres.
"Cantor, interrogé sur ce qu'était pour lui un ensemble, répondait: un abîme".
Et d'où vient l'informatique, aussi. On oublie un peu que si la production matérielle d'un ordinateur est aujourd'hui dévastateur sur le plan environnemental, on ignore encore plus que la constitution des fondements métaphysiques des ordinateurs a aussi fait des ravages psychologiques chez leurs concepteurs (Turing, Godel, Von Neuman…et avant ça Cantor…devenus plus ou moins "fous").

Fork (2008-04-29T19:35:10Z)

Hop, commentaire tardif et inutile…
Moi aussi j'aime bien ce post, c'est le genre de questions que je trouve intéressantes (qui me *semblent* intéressantes en tout cas), même si je n'ai pas la formation et les connaissances pour vraiment les comprendre.

ooten (2008-04-25T16:06:01Z)

Oui j'aime bien aussi ce post, il est pour moi parfait.

Bashô (2008-04-25T13:46:50Z)

Que l'hypothèse du continu est essentiellement fausse, cf articles de Woodin.

tartaglia (2008-04-25T11:13:54Z)

Le plus beau des paradis, c'est celui des astronomes.

Ben (2008-04-25T08:35:21Z)

A ce propos, je me souviens vaguement d'une phrase d'un mathématicien écrivant qu'il fallait "interner les gens qui pensent que des ultrafiltres non-triviaux existent dans la nature"!

Je ne sais pas s'il faut interner les gens qui se pensent (m,n)-platoniciens pour tous m,n (cf travaux de Woodin sur l'hypothèse du continu et la Omega-conjecture, et leurs expositions par Dehornoy), mais je me méfierais par contre de ce qui se pensent (459,631)-platoniciens stricts!

phi (2008-04-24T20:53:24Z)

Le vrai acte de foi platonicien, c de croire qu'un énoncé a une valeur de vérité alors qu'on n'a aucun espoir de le démontrer; le platonicien pense qu'un énoncé, càd une suite de caractères bien formée suivant une certaine grammaire, correspond à un objet, une proposition, qui aurait donc une valeur de vérité. Le platonsieme fort serait de proclamer que les deux quantificateurs ne permettent pas d'engendrer des énoncés "mauvais", càd auxquels il ne correspond aucune proposition donc(?) aucune valeur de vérité. Ça se corse quand on introduit des choses comme "X = l'ensemble des x tels que …": il faut alors introduire des restrictions ad hoc, codées dans la syntaxe et la foi platonicienne est alors relativisée à ces restrictions: le schisme n'est pas loin.

Les expressions "le x tel que …" peuvent donner lieu, selon une certaine interprétation, à une absence de valeur de vérité lorsque le x n'existe pas (question classique: "le roi de France en 1900 est chauve"). À ce moment, le nominaliste décide l'énoncé, une fois développé, est simpelement faux tandis que le platonicien hésite: soit il décide qu'il n'y a plus de proposition, soit il accepte qu'on ait une proposition et il admet des valeurs de vérité exotiques, et admet des objets qui n'existent pas mais "subsistent" car il faut bien reconnaître ce que contient la proposition.

Bref, je trouve l'exposé très intéressant mais je ne suis pas sûr que la notion de (n,p)-platonisme soit suffisante.

PS
- c vrai, (0, -1) aurait été plus pratique pour désigner les ultra-finitistes (des sceptiques!).
- cf. aussi Le point aveugle, de JY Girard

iPidiblue histoire du temps (2008-04-24T09:39:01Z)

On pourrait aussi inventer des vérités mathématiques qui seraient valables du temps t-1 au temps t+1 !
D'ailleurs c'est à peu près la vérité historique des mathématiques, l'intégrale selon Leibniz est supplantée par l'intégrale selon Riemann, elle-même surpassée par l'intégrale de Lebesgue etc … donc il y a bien une forme d'existence temporelle des maths !

nameornick (2008-04-24T00:36:12Z)

Dans ta terminologie je suis (0,0). J'ai vu que tu as noté à plusieurs endroits savoir que d'autres pensent différemment, donc je donne juste mon point de vue sans chercher à convaincre. Je pense en gros qu'il faut bien faire gaffe au fait que l'humain a beaucoup d'imagination et donne du sens à des choses qui n'en ont pas.

Par exemple parlons d'un éléphant rose et d'un tigre bleu. Est-ce que l'énoncé "l'éléphant rose est plus lourd que le tigre bleu" est vrai ou faux? On a envie de s'en faire une idée (en l'occurrence que c'est vrai), sauf que ce sont des animaux imaginaires.

Pour les entiers c'est pareil à mon sens. Un entier de Peano ce n'est pas un entier de ZFC, même si on utilise le même mot "entier". Et ces deux types d'entiers là ne sont pas non plus les entiers de notre intuition (i.e. la perception d'entiers finis petits tels que façonnée par l'évolution dans notre cerveau). Cette intuition nous fait croire que c'est de ceux de la théorie considérée dont on parle alors qu'il n'en est rien.

Ainsi on croit percevoir le sens exact des énoncés mathématiques puisqu'on peut dire "avec cet objet je peux faire ceci mais pas cela, je connais ses propriétés", ce qui amène à penser que l'on parle de choses "réelles", alors que justement le mot n'est pas la chose (et en l'occurrence les tignes bleus sont imaginaires, et les "entiers" aussi).

Voilà, cela dit j'adore les maths et le genre de raisonnements et d'imagination que ça requiert, que l'on ne trouve dans aucune autre activité humaine à ce niveau d'intensité.


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