Comments on Devinette mathématique

Hélène (2010-03-07T20:22:43Z)

Construction à la règle trop courte et au compas à ouverture limitée (X. Caruso) : <URL: http://perso.univ-rennes1.fr/xavier.caruso/articles/troppetit.pdf >

Jussieu (2005-09-08T17:13:17Z)

> Si c'est Marcel Berger qui fait passer l'oral OUI !

Marcel Berger s'est efforcé de populariser la géométrie différentielle, en effet. En plus il mettait en avant les méthodes dites "intrinsèques" (non calculatoires par opposition aux méthodes où on introduit des cartes, calcule les difféomorphismes correspondant sur R^n et bourrine tout plein de calculs pour arriver au résultat).

Cela ne signifie pas que ses méthodes ne soient pas rigoureuses. Par contre, ta construction d'un seul oeil, ça, on me fera difficilement croire qu'il y a une méthode mathématique rigoureuse sous-jacente.

elbou (2005-09-07T08:56:33Z)

> Tu te vois répondre ça à un grand oral de l'X toi ?

Si c'est Marcel Berger
(http://www.academie-sciences.fr/Membres/B/Berger_Marcel.htm)
qui fait passer l'oral… OUI !

l'exercice (il n'en donne pas la solution) me semble tiré d'un de ses ouvrages :
(j'ai fouillé ma mémoire et ma bibliohèque)

Géométrie (il s'agit de l'ancienne édition en 5 tomes -
2e éd. avril 79 - Cedic/Nathan)
1/ action de groupes;
espaces affines et projectifs.
p 149
exercice 5.5.5 :
"Tracer, avec le seul usage d'une règle trop courte, la droite
joignant deux points d'une feuille de papier."

Et M. Berger est suffisemment facétieux pour tracer, ailleurs,
des géodésiques avec un modéle réduit d'automobile…

Ruxor (2005-09-06T22:20:57Z)

vicnent → Milieu projectif, ça ne veut rien dire : alors qu'en géométrie affine fixer deux points sur une droite suffit à la rigidifier complètement (ça détermine une coordonnée sur cette droite si on appelle 0 un des points et 1 l'autre point, le milieu est ½, etc.), en géométrie projective il n'y a pas de milieu parce que fixer deux points sur une droite ne suffit pas à la rigidifier, on peut encore en mettre un troisième n'importe où. Mais bon, je crois que ça suffit, on a compris ce qui n'allait pas.

vicnent (2005-09-06T21:56:59Z)

oui oui oui !!!
je viens de comprendre mon erreur.
j'ai nommé des milieux projectifs (au sens de la renaissance) comme des milieux géométriques (au sens mathématique), ie en fait, je considère que des droites sont géométriquement parallèles parce que concourante en l'infini (ici les points de fuites A et B de ma perspective).
Quand la perspective se veut plus vraie qua nature !!
Je n'ai donc aucune assurance "géométrique" que dans ma solution A,B et G sont tous trois alignés…

Ruxor (2005-09-06T21:09:13Z)

vicnent → On est d'accord que les deux seules opérations que tu as le droit de faire sont relier deux points (avec en plus une contrainte sur leur distance, mais admettons même qu'on puisse relier deux points quelconques) ou intersecter deux droites ? (Plus rajouter des points ou des droites « arbitraires », bien sûr.) Dans ces conditions je prétends qu'il est impossible de tracer le milieu d'un segment : le milieu n'est pas constructible à la règle seule. Voici une façon de le voir (en rendant explicite la notion de « transformation projective ») : appelons Π le plan où tu a fait tes constructions, qu'on plonge dans l'espace. Soit O un point de l'espace non situé sur Π, et Π′ un plan distinct de Π (et ne passant pas par O). On projette Π sur Π′ par la projection centrale de centre O (c'est-à-dire qu'un point M de Π s'envoie sur l'intersection M' de Π′ et de OM : si O et Π′ sont suffisamment génériques ça a bien un sens pour tous les points de la figure). En gros, ça correspond à prendre une perspective différente (« perspective » dans son sens propre, hein : le truc des peintres de la Renaissance) pour voir le plan de figure. Eh bien toutes les droites tracées sur Π vont devenir des droites sur Π′ et la relation d'incidence sera préservée et tout et tout, donc ta construction sur Π marche aussi bien sur Π′. Manque de chance, un point G qui était le milieu de deux points A et B sur Π, il ne se projette pas forcément sur le milieu des projetés sur Π′ (je pense qu'il est clair, quand on regarde une figure en perspective, que le milieu d'un segment n'est pas au milieu sur le tableau). Donc une construction à la règle seule qui prétendrait trouver le milieu, sur Π, sera forcément en échec sur Π′. D'où problème. Et c'est essentiellement tout ça que résume l'affirmation « le milieu n'est pas un invariant projectif ».

vicnent (2005-09-06T20:26:10Z)

Gloups !!!
Ton pédigree universitaire ainsi que ta spécialité me forcent à retourner 7 fois ma souris sur son tapis.
tu peux expliciter la notion "d'invariant projectif" ?
tu veux dire que mon étape A.4 est "gratuite" ?

Ruxor (2005-09-06T19:33:43Z)

J'ai précisé que la règle faisait « environ » 30cm pour éviter qu'on soit tenté de s'en servir comme unité de mesure, mais j'aurais dû préciser que c'est également de la triche de considérer sa longueur comme constante… La règle ne doit servir qu'à tracer des droites.

vicnent → Non, ta solution est forcément fausse : il n'est pas possible, à la règle non graduée seule, de tracer le milieu d'un segment, puisque toute construction à la règle non graduée doit être un invariant projectif, ce qui n'est pas le cas du milieu d'un segment.

jonas → Indeed, the solution I had in mind was using Pappus's theorem (I am too lazy to check whether it is identical, or somehow dual, to the one you wrote down). For a reasonable ratio of lengths, it does not seem too imprecise.

Je viens de rajouter une solution en-dessous de l'entrée.

Jussieu (2005-09-06T19:31:18Z)

> elbou

Tu te vois répondre ça à un grand oral de l'X toi ? A mon avis, le jury te mettrait une note d'un seul oeil aussi.

elbou (2005-09-06T16:43:09Z)

Il suffit de placer la regle perpendiculairement a un plan contenant les
deux points A, B et de regarder (d'un seul oeil) un peu obliquement par rapport a ce plan; on peut alors obtenir un (ou plusieurs) points entre A et B.

rodeo (2005-09-06T14:48:21Z)

pour information,ce problème a été posé au grand oral de l'X, cf http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/banque_exercice/voir_livre.php3?identifiant=200&cat=Concours%20fin%20pr%E9pa&id0=
(désolé, le correction n'y figure pas!)

BrunoNation(autodidacte) (2005-09-06T14:46:43Z)

ça rédige plus vite que son ombre ici … zut alors !

vicnent (2005-09-06T10:32:26Z)

rha…. il m'a fallu une bonne heure pour trouver !!!
(A) principe : on va trouver un point sur [AB] = G qui nous permettra de tracer AG puis GB.
Pour ce faire :
1/ on trace une sécante D à [AB], A et B étant les deux points de notre segment de 35 cm. D porte au nord deux point E et F. on trace AE AF BE et BF
2/ ceci dessine un quadrilatère Q : AE et BF = K, AF et BE = M
3/ on trace MK, l'autre diagonale du Quadrilatère Q , et MK et EF = S
4/ AS et FK = H (milieu de [FK])
5/ BS et EK = P (milieu de [EK])
6/ HP et FE concourrent en G
7/ "Thalès dans tous les sens" et G est sur [AB]

(B). si d(A,B) > 60 cm, on ne peut plus tracer soit les AF ou les BF ou les deux simultanément.

J'ai bon ?

BrunoNation(autodidacte) (2005-09-06T09:55:39Z)

si l'on donne une réponse, comment savoir on si l'on a bon ou faux étant donné que l'hôte de ses lieux très souvent ne se prononce pas (en tous cas avec moi) ?

:-)

jonas (2005-09-06T09:33:05Z)

If tou treat this as a purely geometrical problem, the Desargues-theorem gives a satisfying solution.

However, carrying out such solutions with a real-world ruler and pencil on a paper, it turns out that it is riddiculously imprecise. If the distance of the points is not much greater than the length of your ruler, you get a reasonable solution by drawing a line from one point in the approximate direction of the other, then draw a more precise line using the first one as guidence. If you'd like a better practical method, you should probably ask an architect or other engineer, but not a very young one who always used computers for their work.

If you are interested, here's the theocretical solution I've been speaking of. (There may be a better solution that this.)

Let the two given points be A and B. Firstly, draw two lines e and f from A towards B, and lengthen them enough towards B. Now draw two lines starting from B in such a way that they intersect both e and f not too far from B. The intersection of one of these lines with e and f are named C and G resp., the intersections of the other line with e and f are D and F resp. Now the find the intersections of the lines CF and DG, and name it O. Draw yet another line from O in about the same direction as the two lines crossing it. This new line intersects e in E, f in H. Now draw the lines EG and DH. They should be short enough to draw with the ruler. (If not, you can always retry the method.) The intersection of EG and DH shall be I. Now you can connect B and I with a line, and it will contain A. You can prove this by applying the Desargues-theorem on the triangles BCF and IEH.

Lastly, let me say thanks to Reiman István, who thought me these things.

Nick (2005-09-06T09:06:34Z)

A-t-on le droit d'utiliser la longueur totale de la regle comme unite de mesure (i.e. En partant d'un point, puis-je tracer un segment dont la seconde extremite est situee a exactement la longueur de la regle du premier point)?

space boy (2005-09-06T06:24:57Z)

Petite question :
Peut on mesurer avec une règle non gradué? i.e. peut on placer 2 points à 30 cm de distance grâce à la règle ou peut on reproduire une distance?

Je pense que la règle non graduée ne doit servir qu'à tracer des droites,mais je n'en suis pas sûr.