Comments on Les affres du nilradical inférieur

Koko90 (2005-04-13T11:25:16Z)

En recherchant sur google j'ai rapidement trouvé que le terme anglais était "lower nilradical"… Mais j'ai la flemme de chercher la définition dans tous les articles .PDF que renvoie google… Surtout que d'autre ont répondus.

J'imagine qu'elle doit y être. Bon, je fais une thèse d'info et les informaticiens aiment définir les objets qu'ils utilisent même quand ils sont courants (hypergraphe et action transitive étaient définis dans le dernier article que j'ai lu - il faut dire que nous n'utilisons qu'assez rarement des objets évolués et que perdre 2 pages à donner des définitions n'est pas un si grand mal).

Saute-Mouton (2005-04-11T23:44:33Z)

Ruxor, je me dis que tu devrais te contraindre à "restreindre" les maths pendant un moment. Voire à les stopper complètement pendant les grandes vacances. Par auto-persuasion s'il le faut.

oiseau de nuit (2005-04-11T22:09:32Z)

Joel: oui j'ai raconte des betises pour le nilradical inferieur. La def. correcte est
N_*(R)={s\in R| tout m-systeme qui contient s contient aussi 0}

un m-systeme M est un sous-ensemble non-vide de R tel que pour tout a,b\in M il existe r\in R t.q. arb\in M.

Ruxor (2005-04-11T19:54:53Z)

Bon, j'ai eu le temps de regarder un peu le Lam cet après-midi, mais j'en ai déjà oublié une partie… En tout cas, le nilradical supérieur est bien la somme de tous les idéaux (bilatères) nils (un idéal nil était un idéal dont tous les éléments sont nilpotents), il est lui-même nil, mais n'est pas forcément l'ensemble de *tous* les éléments nilpotents (le contre-exemple le plus stupide étant l'anneau des matrices n×n sur un corps). Le nilradical inférieur peut être défini comme l'intersection de tous les idéaux (bilatères) premiers, un idéal étant dit premier lorsque dès qu'il contient le produit de deux idéaux (qu'on peut supposer principaux) il contient l'un d'entre eux, mais il y a plein de conditions équivalentes. Il doit aussi y avoir une condition du genre (mais là je n'en suis plus très sûr) c'est l'ensemble des x tels que, pour un certain n, tout produit qui comporte au moins n fois le facteur x est nul (même si on met d'autres facteurs entre eux dans ce produit).

Joël (2005-04-11T16:20:55Z)

oiseau de nuit : si N_*(R)=\sqrt{0}={s\in R| s^n=0 pour un certain n}, le nilradical inférieur ne serait pas forcément un sous-groupe, me trompe-je ?

(Si on considère le cas universel : l'algèbre Z{X,Y} en deux indéterminées non commutatives quotientée par l'idéal bilatère engendré par X^p et Y^q (p=q=2 pour commencer), j'ai l'impression que X+Y n'y est pas nilpotent.)

Pour modérer ce que dit David, j'ai quand même l'impression qu'à Paris, on a la chance d'avoir des bibliothèques mathématiques *extrêmement* bien fournies (à l'ENS, à Chevaleret, à l'IHP), je discutais avec des allemands la semaine dernière, ils n'ont pas cette chance (la bibliothèque apparemment considérée comme la meilleure en Allemagne serait située à l'institut où je me trouvais, ils appréciaient beaucoup d'avoir accès pendant une semaine à une bibliothèque mieux fournie que celle de leur université [elle est ouverte et illuminée quelque chose comme 20h/24], la photocopieuse tournait à plein régime…). Maintenant, c'est vrai qu'avoir une bibliothèque de maths ouverte 24h/24 à Paris, ce serait grassouille.

bidibulle (2005-04-11T14:26:14Z)

Pas Laurie, mais Lorie…

Les connaisseurs auront rectifie…

Ravachol (2005-04-11T09:35:18Z)

C'est affreux le nihilisme radical ! Il faut positiver comme Laurie a dit notre Raffarin.

Media (2005-04-11T09:05:51Z)

Lorsque que vous aurez retrouvé la définition du nilradical inférieur, pensez à l'insérer dans Wikipedia (<URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent>), pour que cette désaventure terrible n'arrive jamais à un de vos confrêres.

Que je regrette d'avoir arrêté les math en maîtrise. La suite a l'air délicieuse.

Florence (2005-04-11T06:57:32Z)

Dans ce cas-là, moi j'aurais employé les grands moyens : je téléphone à ma famille, et je leur demande ce qui est écrit à telle page du livre qui est à tel endroit. :-)

Mais à onze heures du soir, peut-être que ça ne le fait pas, en fait.

oiseau de nuit (2005-04-11T03:06:52Z)

nilradical inferieur:

N_*(R)=\sqrt{0}={s\in R| s^n=0 pour un certain n}

nilradical superieur

N^*(R)=la somme de tout nil-ideal

on a bien sur N_*(R) \subset N^*(R) subset rad(R)
on a l'egalite si R est artinien gauche

Geocherchetout (2005-04-11T02:52:21Z)

C'est marrant les maths… des définitions à n'en plus finir.

Une question : comment est-ce que la recherche en maths se compare à de la recherche en informatique (par exemple) ou meme d'autres sciences ?

Prenons un exemple d'un article classique (plus ou moins récent) en informatique. "Le calcul des ambients" . Il s'agit d'un formalisme qui permet
de décrire à l'aide d'un langage des système informatiques qui présente une structure hierarchique et ou les différentes entitées (ambients) peuvent se ballader la dedans. Exemple : un réseau contient, trois machines qui contiennent quelques agents qui peuvent se ballader d'une machine à l'autre.
Sur ce formalisme se sont greffés des systèmes de types, des notions d'équivalences, une multitude de variantes ou les ambients possédent des caractéristique différentes etc… Bref, rien qui demande vraiment une grande accumulation de connaissances. L'originalité de l'article est d'avoir identifié une classe de système à modéliser, et d'avoir proposé un modèle très simple.
Il n'y a aucune technicité et tout ça repose sur des concepts plutot simple (pas besoin d'une accumulation de définition et théorèmes). Et énormément d'article en informatique (sans parler des choses expérimentales) sont de ce style.

J'ai l'impression qu'en maths c'est très différent : exemple, le theoreme de Fermat pour lequel (parait-il) très peu de gens sont capable de comprendre
la démonstration. Me trompe-je ?

Autre question, est-ce qu'en maths pures les articles sont guidés par des applications un tant soit peu pratiques ? ou alors, on essaye plus de généraliser des résultats existants, de résoudre des problèmes ouverts etc… ?

Quand on me demande "Mais, qu'est ce qu'on peut chercher en informatique",
ça m'agace un peu. J'espère ne pas donner la meme impression !


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