David Madore's WebLog: Où je commence par penser tout haut toujours à propos de spectres, et finis par ranter de façon interminable sur les caractères des groupes de Lie

La notion de tore maximal

La première chose que je dois faire, c'est décrire un petit peu le tore qui apparaît dans l'histoire. Un tore T d'un groupe de Lie compact, c'est un sous-groupe commutatif compact (=fermé) et connexe ; et on peut le voir comme un quotient E/L d'un espace euclidien E (précisément, l'espace tangent au tore) par un réseau L (le réseau des périodes du tore) de rang égal à la dimension de E (qu'on appelle le rang du tore). Et un tore maximal, c'est, fort logiquement un sous-groupe commutatif compact connexe maximal pour l'inclusion — et c'est aussi la même chose qu'un tore de rang maximal et son rang s'appelle le rang du groupe de Lie. Je vais donner un exemple tout de suite sur les rotations, mais déjà je suis en train de glisser une poussière très importante sous le tapis, c'est que je n'explique pas en quoi il y a une structure d'espace euclidien (et crucialement, un produit scalaire) naturelle sur E. (Si on considère juste la structure de groupe et la topologie, un tore de rang r on peut toujours le voir comme (ℝ/ℤ)^r, et il n'y a pas besoin de considérer des réseaux ayant une forme différente ; c'est la structure euclidienne qui fait qu'on a vraiment des réseaux intéressants. Disons que cette structure euclidienne sera celle qui fera que le groupe de Weyl, que je vais définir plus loin, est un groupe d'isométries euclidiennes.)

Je donne un exemple dans le groupe SO(n) des rotations, donc, disons en n=2r ou n=2r+1 dimensions, puis de Spin(n). On peut choisir un système d'axes[#2] fixé et considérer l'ensemble T des rotations autour de ces axes et dont les r angles θ₁,…,θ_r varient : ces rotations commutent manifestement entre elles (les angles s'ajoutent simplement), elles forment manifestement un ensemble compact connexe (c'est l'image continue d'un compact connexe), et il n'est pas difficile de se convaincre qu'on ne peut pas en mettre plus. Ce T est donc un tore maximal. Dans l'exemple de T⊆SO(n), un élément de T est défini par le choix de r angles, chacun modulo 2π, ou modulo 1 tour si on préfère, donc on peut identifier T à (ℝ/ℤ)^r = ℝ^r/ℤ^r. Le réseau des périodes de SO(n) est donc simplement le réseau cubique ℤ^r. Mais s'agissant de Spin(n), le tore maximal T˜ qui relève T est toujours défini par la donnée de r angles, cette fois-ci chacun modulo deux tours, mais où une rotation d'un tour complet est toujours la même quelle que soit l'axe autour de laquelle elle a été faite : cela revient à quotienter ℝ^r par le réseau formé des r-uplets d'entiers tous de même parité. (Ou, si on préfère compter les angles en doubles-tours, du réseau des r-uplets de réels tous entiers ou tous entiers-et-demi.) Ce réseau des périodes de Spin(n) s'appelle D_r^*.

[#2] Par un système d'axes je veux dire une base orthonormale de l'espace telle que la rotation s'obtienne en composant une rotation d'un premier angle θ₁ sur les deux premières coordonnées uniquement, puis d'un second angle θ₂ sur les deux coordonnées suivantes, et ainsi de suite. Bref, telle que la rotation se décrive par une matrice diagonale par blocs 2×2 égaux à des matrices de rotation en dimension 2 (auxquels on ajoute encore un 1 diagonal final si la dimension est impaire). Le terme de système d'axes est tout à fait abusé (je ne sais pas vraiment quels sont les « axes » de l'histoire… ce sont probablement des machins de codimension 2), mais je l'utilise par analogie à la dimension 3. Ici et dans toute la suite, quand je parlerai de rotation [d'angles θ₁,…,θ_r] autour d'un système d'axes cela signifiera une rotation définie, dans une certaine base fixée correspondant au « système d'axes » par la matrice diagonale par blocs que j'ai décrite.

Il y a deux faits essentiels à citer à propos des tores maximaux dans les groupes de Lie G compacts connexes, et qui sont, je crois, dus au père Cartan :

1. Si T est un tore maximal fixé, n'importe quel élément de G est conjugué à un élément de T (autrement dit, si x∈G, il existe g∈G tel que g·x·g⁻¹∈T). C'est ce fait qui justifiera qu'on peut toujours ramener l'étude des éléments du groupe G à des éléments de T (et spécifiquement, que toute classe de conjugaison est représentée par un tel élément).
2. Deux tores maximaux sont conjugués entre eux (autrement dit, si T et T′ sont deux tores maximaux. il existe g∈G tel que g·T·g⁻¹=T′). C'est ce fait qui justifiera que le choix précis du tore maximal n'aura pas d'importance dans tout ce que je vais raconter.

Si on a du mal à visualiser l'opération de conjugaison, disons que dans le cas des rotations, conjuguer une rotation x par une autre g signifie géométriquement qu'on « fait une rotation sur la rotation », c'est-à-dire qu'on fait tourner le système d'axes de x selon la rotation g. Dans ces conditions, le fait (A) signifie qu'on peut toujours effectuer une rotation (g) pour ramener le système d'axes d'une rotation x donnée sur le système d'axes choisi pour définir T ; et le fait (B) signifie que tout tore maximal se définit par un choix de système d'axes. (Voir la note #2 ci-dessus au sujet du terme système d'axes.)

Le groupe de Weyl entre dans l'histoire

Maintenant, une fois fixé un tore maximal T d'un groupe de Lie compact connexe G, s'il est vrai que tout élément du groupe est conjugué à un élément de T (fait (A) ci-dessus), en revanche, cet élément n'est pas unique, c'est-à-dire que deux éléments différents de T peuvent être conjugués. Dans le cas de mon exemple des rotations, j'ai expliqué qu'on pouvait amener par conjugaison n'importe quelle rotation x sur une rotation de T (i.e., autour du système d'axes choisi), ce qui permet de mesurer ses angles θ₁,…,θ_r, mais non seulement ces angles ne sont définis qu'à un tour près (voire modulo un réseau de périodes pour le cas de Spin(n)) mais en plus la conjugaison choisie pour ramener la rotation sur un élément de T va influencer les angles. Cela signifie, concrètement, que la donnée des r angles d'une rotation n'est pas bien définie (il y a plusieurs moyens de conjuguer ma rotation en une rotation de T). Pour commencer, on peut évidemment permuter arbitrairement les angles. Mais aussi, on peut effectuer des changements de signes dessus : en dimension n=2r+1 on peut changer le signe de n'importe quel nombre d'entre eux, c'est évident en dimension 3 où l'angle d'une rotation n'est définie qu'au signe près puisqu'on peut changer l'orientation de l'axe en le tournant d'un demi-tour, en dimension n=2r, on peut changer simultanément le signe d'un nombre pair d'angles.

Les transformations de T en lui-même par la conjugaison d'autres éléments du groupe G s'appellent le groupe de Weyl W de G (relativement à T, mais à cause du fait (B) plus haut, le choix de T n'a pas d'importance). Techniquement, il s'agit du normalisateur de T dans G quotienté par T lui-même. Et un fait crucial est que ce groupe W est fini.

Moralement, donc, le groupe de Weyl mesure l'indétermination qu'il y a à rapporter un élément de G à un élément de T par conjugaison.

Le groupe de Weyl opère sur toutes sortes d'objets : non seulement (par définition) sur T = E/L, mais aussi sur l'espace euclidien E dont T est quotient (je passe ici sur quelques subtilités sur la manière dont on relève l'action de W sur T à une action sur E) et (par restriction) sur le réseau L des périodes de T (et du coup aussi sur le réseau dual L^* de L qui interviendra plus loin). L'action sur E (et, du coup, L et L^*) se fait par isométries euclidiennes : c'est essentiellement la définition de la structure euclidienne sur E (que j'ai passée sous silence plus haut) et c'est un point crucial pour comprendre la géométrie de la situation.

Dans le cas de SO(n) ou Spin(n), le groupe de Weyl est engendré par les permutations des r angles et les changements de signes autorisés (c'est-à-dire sur un nombre quelconque d'angles dans le cas de dimension impaire n=2r+1 ou sur un nombre pair d'angles dans le cas de dimension paire n=2r) : c'est l'indétermination à mesurer les angles d'une rotation en dimension n. Je peux aussi mentionner que pour SU(n) (où un tore maximal est donné par les matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont des complexes de module 1 et de produit 1), le groupe de Weyl est le groupe des permutations sur n objets (les permutations des coefficients diagonaux) ; pour Sp(n), le groupe de Weyl est le même que pour SO(2n+1) ; et pour les cas exceptionnels, les groupes de Weyl sont des groupes pas complètement évidents à décrire mais cf. notamment ici.

En fait, un groupe de Lie compact connexe, de beaucoup de points de vue, se comporte comme s'il était un quotient de son tore maximal par son groupe de Weyl (voir aussi cette question).

Description des classes de conjugaison et alcôve de Weyl (digression)

Il y a une très jolie géométrie dans l'histoire. Par définition du groupe de Weyl (et, bien sûr, par le fait (A) ci-dessus), l'ensemble des classes de conjugaison du groupe de Lie G peut s'identifier (au moins en tant qu'ensemble !) au quotient T/W du tore maximal T par le groupe de Weyl W. Mais comme T est lui-même quotient E/L d'un espace euclidien (son espace tangent) E par un réseau L dedans, on peut voir l'ensemble des classes de conjugaison comme un quotient de E par le groupe W_aff := L⋊W engendré à la fois par les translations de L et les symétries de W (qu'on peut relever de L à E en décidant qu'elles fixent l'origine) ; ce groupe W_aff s'appelle le groupe de Weyl affine. Moralement, si W mesure l'indétermination qu'il y a à rapporter un élément de G à un élément de T, le groupe W_aff mesure l'indétermination à le relever à E. Mais ce qui est intéressant, en supposant maintenant que le groupe G soit simplement connexe, c'est qu'il existe un polytope A dans E, appelé alcôve de Weyl, qui (i) est un domaine fondamental de W_aff agissant sur E, c'est-à-dire que chaque élément de E peut être ramené sur un unique élément de A par l'action de W_aff, donc, concrètement, A paramètre exactement les classes de conjugaison de G (au moins en tant qu'ensemble, ou en tant qu'espace topologique, on peut identifier A à E/W_aff à T/W et à G/Int(G)), et (ii) est un polytope « kaléidoscopique », c'est-à-dire que c'est un polytope (et dans le cas d'un groupe G simple, c'est un simplexe) dans E tel que quand on le reflète de façon répétée par ses facettes, on obtient un pavage de E ; et les réflexions en question engendrent justement W_aff (c'est un groupe de Coxeter affine).

À titre d'exemple, je peux décrire l'alcôve de Weyl A de Spin(2r+1) par les inégalités suivantes (sur un élément (θ₁,…,θ_r) de E ; rappelons qu'il s'agit des angles de la rotation, exprimés en tours) : θ₁ ≥ ⋯ ≥ θ_r ≥ 0 et θ₁+θ₂ ≤ 1. Autrement dit, un élément de Spin(2r+1) est décrit à conjugaison près de façon unique par la donnée de ses angles si on les choisit vérifiant les inégalités que je viens de dire. Et en remplaçant une de ces inégalités par une égalité on obtient les facettes de l'alcôve de Weyl.

Le même genre de choses vaut pour les autres groupes semisimples — ou disons plutôt simples pour que l'alcôve soit un simplexe — et simplement connexes. La correspondance est même telle que les simplexes kaléidoscopiques (ou les groupes de Coxeter affines irréductibles) sont exactement en correspondance avec les groupes de Lie compacts simples et simplement connexes. Les angles diédraux du simplexe sont d'ailleurs tous π/2 ou π/3 ou π/4 ou π/6, et si on trace une figure dont les nœuds sont les facettes du simplexe et en reliant chaque paire de nœuds par zéro, un, deux ou trois traits selon que l'angle est l'une de ces quatre quantités, on obtient le diagramme de Dynkin étendu (= diagramme de Coxeter affine) de la situation : par exemple, dans le cas de Spin(2r+1), si on calcule les angles diédraux entre les (r+1) hyperplans définis par les cas d'égalité des inégalités données plus haut (soit θ₁=θ₂, θ₂=θ₃, et ainsi de suite jusqu'à θ_r−1=θ_r mais aussi θ_r=0 et θ₁+θ₂=1), on tombe sur le diagramme étendu B_r˜ de cette figure.

(Extra : Pour en savoir plus sur tout ce genre de choses, notamment la notion de coordonnées de Kac, comment calculer l'ordre des éléments à partir de leurs coordonnées de Kac, un passage sur le SU₂ principal de Kostant, et aussi comment généraliser les coordinnes de Kac au cas du groupe — pas forcément connexe — des automorphismes d'une algèbre de Lie simple, je recommande l'excellent article de Mark Reeder, Torsion Automorphisms of Simple Lie Algebras.)

Polynômes trigonométriques et polynômes W-invariants et W-antiinvariants sur le tore

Mais je dois essayer de revenir au spectre du laplacien, parce que j'ai digressé (ce que j'ai raconté était surtout dû à Cartan et Coxeter, il faut que je revienne à Weyl). Sauf qu'avant, il faut encore que je parle de polynômes trigonométriques, de polynômes trigonométriques W-invariants, et de poids dominants.

Je repars donc d'un groupe compact connexe G (semisimple pour simplifier) et de son tore maximal T qu'on voit comme un quotient d'un espace euclidien E par un réseau L « des périodes » dans E. Le réseau dual L^* de L s'appelle réseau des poids[#3] de T ou de G. Comme je l'ai expliqué plus haut dans le cadre des réseaux avant de commencer à parler de groupes de Lie, les modes vibratoires de T sont les x ↦ exp(2iπ(α·x)) où α parcourt L^*, i.e., est un poids de T. Je vais appeler monôme trigonométrique une telle fonction x ↦ exp(2iπ(α·x)) sur T, et polynôme trigonométrique (sur T), ou d'ailleurs polynôme sur T tout court parce qu'il n'y en aura pas d'autres dans l'histoire, une combinaison linéaire de monômes trigonométriques. (Donc, concrètement, une combinaison linéaire de sinus et de cosinus qui admette n'importe quel élément de L comme période.) Les polynômes trigonométriques forment d'ailleurs un anneau (en fait, si on convient de parler de polynômes complexes, c'est un anneau de polynômes de Laurent, mais peu importe). Accessoirement, le théorème de Stone-Weierstraß assure que les polynômes trigonométriques sur T approchent arbitrairement près (pour norme de la convergence uniforme) n'importe quelle fonction continue sur T.

Sur mon exemple du groupe SO(n) des rotations, un polynôme trigonométrique sont les combinaisons linéaires des exponentielles imaginaires (ou sinus et cosinus) des 2π(a₁θ₁ + ⋯ + a_rθ_r) où a₁,…,a_r sont tous entiers ; s'agissant de Spin(n), comme les θ_i ne sont chacun définis qu'à deux tours près ou à un tour près sur deux quelconque d'entre eux, on peut aussi avoir des termes où a₁,…,a_r sont tous entiers-et-demi. (Je souligne que, pour l'instant, je parle de fonctions sur T et pas sur G.)

[#3] À vrai dire, ma terminologie n'est pas complètement standard, mais je ne trouve pas vraiment de terminologie standard. Le truc est que le groupe G est quelque part intermédiaire entre son revêtement universel G˜ (« forme simplement connexe ») et son quotient G₁ par son centre (« forme adjointe » ou centerless) ; tous les groupes entre un même G₁ et G˜ sont dits isogènes. Les tores maximaux T, T˜, T₁ (choisis pour se correspondre) de ces groupes respectifs sont les quotients du même espace euclidien E par trois réseaux de périodes L, L₀ et L₁ respectivement, vérifiant L₀ ⊆ L ⊆ L₁ (d'ailleurs, tous les L entre L₀ et L₁ sont possibles), tandis que leurs duaux vérifient L₀^* ⊇ L^* ⊇ L₁^*. Les réseaux extrêmes L₀, L₁, L₀^* et L₁^* s'appellent respectivement réseau des coracines, réseau des copoids, réseau des poids et réseau des racines (remarquez que le réseau des poids est dual du réseau des coracines et le réseau des copoids dual du réseau des racines), mais je ne connais pas vraiment de nom pour L et L^*. Je choisis d'appeler quand même L^* réseau des poids, en comprenant que c'est le réseau des poids de G tandis que L₀^* est le réseau des poids possibles (le plus gros possible), et le réseau des racines L₁^* est le plus petit réseau des poids, que j'aurais tendance à appeler réseau des poids garantis : avec cette terminologie, le réseau des poids de G est donc quelque part entre le réseau des poids garantis et le réseau des poids possibles. Notons que ker(G˜→G) = ker(T˜→T) = L/L₀ = L₀^*/L^* est le groupe fondamental de G, et que ker(G→G₁) = ker(T→T₁) = L₁/L = L^*/L₁^* est son centre.

Je dirai qu'un polynôme trigonométrique sur T est W-invariant (ou W-symétrique) lorsqu'il est invariant par toutes les symétries définies par le groupe de Weyl : φ(w(x))=φ(x) pour tout w∈W et x∈T (ou dans x∈E si on préfère). C'est le cas quand l'ensemble des poids (i.e., des monômes) qui interviennent dedans est invariant par W (opérant sur L^*) et que les coefficients sont les mêmes devant chaque orbite sous W (chaque ensemble de poids qui s'envoient les uns en les autres par l'action de W). Pour reprendre l'exemple de SO(n) dont le tore maximal est paramétré par r=⌊n/2⌋ angles θ₁,…,θ_r, un polynôme trigonométrique W-invariant est un polynôme trigonométrique qui ne change pas par permutation des θ_i ni par changement de signe d'un nombre quelconque d'entre eux (lorsque n est impair) ou d'un nombre pair d'entre eux (lorsque n est pair).

Ce n'est pas difficile de fabriquer un polynôme trigonométrique W-invariant : on peut partir d'un monôme exp(2iπ(α·x)) défini par un poids α∈L^* quelconque, et de sommer sur W, qui est un groupe fini, c'est-à-dire faire la somme ∑_w∈W exp(2iπ(w(α)·x)). Éventuellement on peut préférer faire la moyenne, c'est-à-dire la somme divisée par le cardinal #W de W ; parfois il est préférable de considérer la somme p_α := ∑_w(α)∈Wα exp(2iπ(w(α)·x)) = ∑_α′∈Wα exp(2iπ(α′·x)), où ce que je veux dire est : on ne somme qu'une seule fois chaque valeur w(α) distincte : et cela revient à diviser la somme ∑_w∈W exp(2iπ(w(α)·x)) précédente par le nombre de fois que chaque terme y est répété, qui est le cardinal #Stab_W(α) du stabilisateur de α dans W : p_α = (1/#Stab_W(α)) ∑_w∈W exp(2iπ(w(α)·x)) ; tout ça n'aura guère d'importance pour ce que je vais raconter.

Par exemple, si je considère SO₅ ou Spin₅ (peu importe), la fonction exp(2iπθ₁) sur T est le monôme trigonométrique défini par α=(1,0) : ses images (= son orbite) par W sont (lui-même et) exp(2iπθ₂) et exp(−2iπθ₁) et exp(−2iπθ₂), et la somme de tout ça, p_α = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂), est invariante par le groupe de Weyl (échange de θ₁ et θ₂ et changements de signes quelconques). Soit dit en passant, quand on fait des sommes ∑ exp(2iπ(w(α)·x)) comme ça, sur le groupe de Weyl, comme tous les w(α) ont la même norme euclidienne que α, ce sont des vecteurs propres pour la même valeur propre −|α|² (ou peut-être −4π²·|α|², enfin, peu importe) du laplacien sur T, donc la somme est encore un vecteur propre.

Il est facile de se convaincre que, si α parcourt les poids (i.e., parcourt le réseau L^*), les sommes (ou les moyennes) ∑_w∈W exp(2iπ(w(α)·x)) ou p_α que je viens d'évoquer définissent une base des polynômes trigonométrique W-invariants sur T ; mais ces éléments ∑_w∈W exp(2iπ(w(α)·x)) ou p_α ne sont pas tous distincts, ils coïncident lorsque α et α′ sont dans la même orbite sous W. Donc la question préliminaire se pose de savoir comment paramétrer l'ensemble L^*/W des orbites de L^* sous W (de manière à avoir une base paramétrée par cet ensemble).

Heureusement, le caractère géométriquement très agréable de l'action de W (sur E^*) fournit une réponse : W est engendré par des réflexions (= symétries orthogonales par rapport à des hyperplans), si on considère le complémentaire de la réunion de tous les hyperplans H tels que la symétrie par rapport à H soit dans W (par exemple, dans le cas de SO(2r+1), ce sont les hyperplans a_i=0 et les hyperplans a_i=a_j), il se trouve que le nombre de composantes connexes est exactement égal au cardinal de W (et W opère simplement transitivement sur ces composantes), et que si on choisit une composante connexe quelconque de ce complémentaire, c'est un cône ouvert de sommet l'origine, et son adhérence C (cône fermé de sommet l'origine) fournit un domaine fondamental (tout point de E^* est l'image par W d'un unique point de C). J'appellerai C le cône des poids dominant ou la chambre de Weyl (en fait, la chambre de Weyl duale, celle de E^*, parce que la chambre de Weyl elle est plutôt dans E, c'est le cône engendré par l'alcôve A dont il était question plus haut ; mais si on identifie E avec E^* par le produit scalaire, alors c'est bien le même cône dont il est question). Un élément de C∩L^* s'appelle un poids dominant ; et si G est simplement connexe, il se trouve qu'il est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers naturels de r éléments uniquement définis et qu'on appelle les poids fondamentaux (ce sont les premiers éléments non nuls de L^* rencontrés quand on parcourt les arêtes du cône). Les poids dominant représentent exactement les orbites de L^* sous W (chaque orbite de poids sous W contient un et un seul poids dominant).

Du coup, les polynômes trigonométriques W-invariants sur T ont pour base les sommes p_α = ∑_w(α)∈Wα exp(2iπ(w(α)·x)) des monômes trigonométriques définis par l'orbite sous W d'un poids dominant α∈C∩L^* (cette base est, donc, indicée par l'ensemble C∩L^* des poids dominants). Par exemple, si je reprends l'exemple de SO(2r+1), la chambre de Weyl C (enfin, un choix d'une chambre de Weyl !) peut être définie par les inégalités a₁ ≥ ⋯ ≥ a_r ≥ 0 (les inégalités linéaires parmi celles qui m'ont servies à définir l'alcôve de Weyl plus haut, mais vues cette fois dans l'espace dual E^*), les poids dominants sont donc les r-uplets d'entiers vérifiant a₁ ≥ ⋯ ≥ a_r ≥ 0, et pour chaque tel choix, en faisant la somme (ou la moyenne) de tous les exp(2iπ(b₁θ₁ + ⋯ + b_rθ_r)) où b₁,…,b_r parcourt tous les r-uplets obtenus en permutant et en changeant arbitrairement les signes de a₁,…,a_r, je construis un polynôme trigonométrique W-invariant, et ces polynômes forment une base des polynômes trigonométriques W-invariants ; et pour Spin(n), c'est presque pareil sauf que les a_i ont le droit d'être tous entiers-et-demi au lieu d'être entiers. (Et les poids fondamentaux sont (1,0,…,0), (1,1,0,…,0), (1,1,1,0,…,0), … (1,…,1,0) et (½,…,½) : remarquez que chacun vérifie les inégalités et que pour chacun ce sont toutes des égalités sauf exactement une qui est stricte.)

Soit dit en passant, si G est simplement connexe (L^* est le réseau des poids possibles, cf. la note #3 ci-dessus), un théorème de Bourbaki affirme que l'anneau des polynômes trigonométriques W-invariants sur T est un anneau de polynômes ordinaires, à savoir l'anneau des polynômes en les indéterminées que sont les moyennes comme ci-dessus formées à partir des poids fondamentaux. Par exemple, pour le cas de Spin₅, tout polynôme trigonométrique W-invariant s'écrit de façon unique comme un polynôme en p_(1,0) = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(πθ₂) et en p_(½,½) = 2·cos(π(θ₁+θ₂)) + 2·cos(π(θ₁−θ₂)) (les 2 ne servent à rien dans l'histoire, bien sûr, c'est juste que quand on fait la somme des orbites comme je les ai écrites avant, ils apparaissent).

Il sera aussi utile d'évoquer la question des polynômes trigonométriques W-antiinvariants. Pour définir ça, on remarque que W, qui est engendré par des réflexions (dans E ou, en l'occurrence, dans E^*, cela revient au même), admet une morphisme ε:W→{±1} qui vaut +1 pour un élément produit d'un nombre pair de réflexions et −1 pour un élément produit d'un nombre impair de réflexions (si on veut c'est juste le déterminant en tant qu'application linéaire E→E). On dit qu'un polynôme trigonométrique φ est W-anti-invariant (ou W-antisymétrique) lorsqu'il change de signe comme prédit par ε si on effectue les symétries du groupe de Weyl, autrement dit, φ(w(x)) = ε(w)·φ(x) pour tout w∈W et x∈T (ou dans x∈E si on préfère). C'est le cas quand l'ensemble des poids (i.e., des monômes) qui interviennent dedans est invariant par W (opérant sur L^*) et que les coefficients sont eux-mêmes anti-invariants dans chaque orbite sous W. S'agissant de SO(n) ou Spin(n) avec n impair, un polynôme trigonométrique est W-anti-invariant lorsqu'il change de signe dès qu'on échange deux des angles θ_i ou qu'on change le signe de l'un d'entre eux (pour n pair, il change de signe dès qu'on échange deux des angles θ_i et ne change pas quand on change le signe de deux d'entre eux).

La même idée fonctionne pour fabriquer des polynômes trigonométriques W-antiinvariants que W-invariants, à savoir : on peut partir d'un monôme exp(2iπ(α·x)) défini par un poids α∈L^* qu'on peut toujours supposer dominant, et le sommer (ou le moyenner, comme on préfère) sur W, mais cette fois-ci avec des signes, c'est-à-dire faire la somme ∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(α)·x)) (éventuellement divisée par le cardinal de W). La principale différence avec précédemment, c'est que cette somme donne parfois zéro, en fait, elle donne zéro dès que α a un stabilisateur (c'est-à-dire n'est pas dans l'intérieur de C). (Du coup, cette fois, il est indifférent d'écrire ∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(α)·x)) ou ∑_w(α)∈Wα ε(w)·exp(2iπ(w(α)·x)).) Par exemple, pour Spin₅, si je pars de exp(2iπθ₁), je vais trouver zéro parce que je vais devoir ajouter l'opposé en remplaçant θ₂ par −θ₂.

En un certain sens (que je n'essaierai pas de rendre précis), pour un groupe simplement connexe, le « plus petit » polynôme trigonométrique W-antiinvariant s'obtient en faisant a somme ∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ)·x)) évoquée plus haut où ρ est un vecteur bien particulier : le vecteur de Weyl, qui est la somme des poids fondamentaux (les poids fondamentaux sont le permier poids non non nuls sur chacune des arêtes de C, leur somme est intérieure à C, et c'est essentiellement le plus petit vecteur élément de L^* à C). Cette somme portera un nom : c'est le dénominateur de Weyl (je dirai plus loin pourquoi). Par exemple, pour Spin₅, avec la convention faite plus haut sur la chambre de Weyl, le vecteur de Weyl est la somme des poids fondamentaux (1,0) (correspondant au monôme exp(2iπθ₁)) et (½,½) (correspondant au monôme exp(iπ(θ₁+θ₂))), soit (3/2, 1/2) (monôme exp(iπ(3θ₁+θ₂))), et le dénominateur de Weyl vaut : 2·cos(π(3θ₁+θ₂)) − 2·cos(π(3θ₁−θ₂)) − 2·cos(π(θ₁+3θ₂)) + 2·cos(π(θ₁−3θ₂)) (on se convainc que changer le signe de θ₁ ou de θ₂, ou les échanger, change le signe de cette expression).

Fonctions W-invariantes sur T et G-invariantes sur G

Pourquoi est-ce que je parle tellement de polynômes trigonométriques sur T alors que je suis censé parler de fonctions sur G ? La première chose, c'est de remarquer qu'une fonction W-invariante sur T c'est essentiellement la même chose qu'une fonction sur G qui soit invariante par conjugaison :

En effet, considérons les fonctions φ sur G (à valeurs dans n'importe quoi) qui sont « G-invariantes » (on dit aussi fonctions de classes), ce qui signifie, constantes sur chaque classe de conjugaison, autrement dit (φ(g·x·g⁻¹)=φ(x)) : comme j'ai expliqué plus haut que les classes de conjugaison de G correspondent exactement aux éléments de T modulo le groupe de Weyl W, une telle fonction « G-invariante » φ est complètement caractérisée par sa restriction à T, et cette restriction est invariante (=symétrique) par W, et inversement, toute fonction W-invariante sur T est la restriction à T d'une unique fonction G-invariante sur G. On peut donc identifier (par simple restriction à T) les fonctions G-invariantes sur G et les fonctions W-invariantes sur T.

Notamment, les polynômes trigonométriques W-invariants sur T définissent des fonctions G-invariantes sur G. Ces fonctions peuvent s'appeler polynômes trigonométriques G-invariants sur G. (Le théorème de Stone-Weierstraß assure que n'importe quelle fonction continue G-invariante sur G est approchée arbitrairement près par de telles fonctions.)

On aimerait croire que le laplacien sur T et celui sur G sont compatibles au sens où quand on calcule le laplacien sur G d'une fonction G-invariante sur G et qu'on la retreint ensuite à T (pour obtenir une fonction W-invariante sur T), on obtient la même chose que si on restreint d'abord à T et qu'on calcule ensuite le laplacien sur T. En particulier, qu'un vecteur propre du laplacien sur T qui aurait le bonheur d'être W-invariant, définirait un vecteur propre (G-invariant) du laplacien sur G.

Malheureusement, ce n'est pas vrai. Pour prendre un exemple concret, p_(1,0) = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) est une fonction W-invariante sur le tore maximal T de SO₅ ou Spin₅ (i.e., invariante par changement de signe ou par échange de θ₁ et θ₂) qui est un vecteur propre du laplacien sur T de valeur propre −4π², elle définit bien une fonction (un polynôme trigonométrique, par définition de ce terme) G-invariant sur G=SO₅ ou Spin₅, mais cette unique extension à G n'est pas un vecteur propre du laplacien. Le calcul est un peu fastidieux, d'autant que ce n'est pas si évident que ça d'exprimer le laplacien sur SO₅ pour commencer, mais on peut au moins se convaincre que la moyenne de p_(1,0) = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) sur SO₅ ne vaut pas 0, elle vaut −1, autrement dit, la fonction p_(1,0) + 1 = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) + 1, elle, est de moyenne nulle sur SO₅ : une façon de le faire est de remarquer que 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) + 1 est la trace de la matrice de rotation considérée, et il est facile de se convaincre que la trace, moyennée sur tout SO₅, doit valoir 0. Et de fait, c'est bien 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) + 1 qui est « la bonne » fonction (notée χ_(1,0) plus bas), et elle, elle est vecteur propre du laplacien sur G (de valeur propre quelque chose comme −16π² mais tout ça dépend de la normalisation du laplacien sur G).

Donc même si les polynômes trigonométriques G-invariants sur G peuvent s'identifier aux polynômes trigonométriques W-invariants sur T (lesquels ont pour base les orbites des poids dominants), être un vecteur propre du laplacien ne passe pas si bien que ça dans l'affaire : en général (pour α∈C∩L^*), ∑ exp(2iπ(w(α)·x)) est un vecteur propre du laplacien sur T mais n'est pas un vecteur propre du laplacien sur G. Mais alors pourquoi j'ai raconté toutes ces histoires, moi ?

La théorie de Weyl

Parce que Hermann Weyl a la réponse à nos problèmes. Son idée incroyable est de considérer non pas les W-invariants sur T mais les W-antiinvariants. Précisément, on a vu que p_α = ∑_w(α)∈Wα exp(2iπ(w(α)·x)) était W-antiinvariant pour tout α∈C∩L^* ; ce que fait Weyl, et mettons temporairement que G soit simplement connexe, c'est considérer le rapport entre deux W-antiinvariants, et précisément, le rapport, appelons-le χ_α, entre ∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ+α)·x)) et ∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ)·x)) (ici, ρ est le vecteur de Weyl évoqué plus haut, qui est la somme des poids fondamentaux ou le « plus petit » poids de l'intérieur de C ; et α∈C∩L^* est un poids dominant fixé). Raison pour laquelle la seconde de ces expressions a été appelée dénominateur de Weyl ci-dessus. En quotientant deux fonctions W-antiinvariantes sur T, on obtient une fonction W-invariante sur T, qu'on peut donc voir comme une fonction G-invariante sur G, en fait, il n'est pas difficile de se convaincre que ce χ_α est un polynôme trigonométrique (a priori c'est une fraction rationnelle), polynôme dans lequel le monôme exp(2iπ(α·x)) et du coup tous ses copains exp(2iπ(w(α)·x)), apparaissent avec coefficient 1 et que exp(2iπ(α·x)) est un certain sens le monôme de plus grands poids dominant apparaissant. (Et ces χ_α tout autant que les p_α forment une base des polynômes trigonométriques W-invariants sur T, mais comme je vais l'expliquer, cette base est plus adaptée à G.)

Bref, au lieu de considérer ∑ exp(2iπ(w(α)·x)), Weyl considère χ_α = (∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ+α)·x))) / (∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ)·x))), qui s'avère être égal à p_α := ∑_w(α)∈Wα exp(2iπ(w(α)·x)) plus des termes « plus petits ». Aussi, un autre truc sympathique est que même si la définition que j'ai donnée n'est sensée que pour G simplement connexe, en fait, si G ne l'est pas, on peut faire la définition sur le revêtement universel G˜ (dont le réseau des poids L₀^* est possiblement plus gros que celui de G), et si on a pris α dans L^* (et pas juste L₀^*), à la fin on obtient bien une fonction sur G, un polynôme trigonométrique formé de poids dans L^* (et pas juste L₀^*). Donc tout se passe bien même pour un groupe pas simplement connexe.

Je reprends l'exemple de α=(1,0) pour G valant SO₅ ou Spin₅ : j'ai déjà dit que p_α = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) n'était pas vecteur propre du laplacien sur G ; mais χ_α = (2·cos(π(5θ₁+θ₂)) − 2·cos(π(5θ₁−θ₂)) − 2·cos(π(θ₁+5θ₂)) + 2·cos(π(θ₁−5θ₂))) / (2·cos(π(3θ₁+θ₂)) − 2·cos(π(3θ₁−θ₂)) − 2·cos(π(θ₁+3θ₂)) + 2·cos(π(θ₁−3θ₂))) = 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) + 1 (c'est-à-dire p_α+1), lui, l'est. Je peux donner aussi l'exemple de β=(1,1) : alors p_β = 2·cos(2π(θ₁+θ₂)) + 2·cos(2π(θ₁−θ₂)) n'est pas vecteur propre du laplacien ; mais χ_β = (2·cos(π(5θ₁+3θ₂)) − 2·cos(π(5θ₁−3θ₂)) − 2·cos(π(3θ₁+5θ₂)) + 2·cos(π(3θ₁−5θ₂))) / (2·cos(π(3θ₁+θ₂)) − 2·cos(π(3θ₁−θ₂)) − 2·cos(π(θ₁+3θ₂)) + 2·cos(π(θ₁−3θ₂))) = 2·cos(2π(θ₁+θ₂)) + 2·cos(2π(θ₁−θ₂)) + 2·cos(2πθ₁) + 2·cos(2πθ₂) + 2 (c'est-à-dire p_β+p_α+1), lui, l'est. Et c'est un fait général :

Ce que démontre Weyl (pour partie avec son étudiant Fritz Peter), plus quelques compléments plus tardifs, c'est :

• Les fonctions (G-invariantes sur G déduites des fonctions W-invariantes sur T) χ_α = (∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ+α)·x))) / (∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ)·x))) sont des vecteurs propres du laplacien sur G, la valeur propre correspondante étant l'opposé de Λ(α) = α·(α+2ρ) (où le point désigne le produit scalaire euclidien sur E, dont la normalisation exacte dépend de celle du laplacien).
• De plus, les fonctions χ_α, quand α parcourt l'ensemble C∩L^* des poids dominants de G, sont une famille orthonormée (donc une base hilbertienne de la partie de L²(G) formée des fonctions G-invariantes). (Ajout : En particulier, les χ_α avec α non nul dans C∩L^* sont de moyenne nulle sur G, ce qui n'était pas le cas[#3b] des p_α, lesquels sont de moyenne nulle sur T.)
• Les χ_α sont exactement les caractères (c'est-à-dire les traces) de représentations irréductibles V_α de G (cf. ci-dessous) qui décrivent exactement toutes les représentations irréductibles de G ; le degré (= la dimension) N_α = dim(V_α) = χ_α(1) peut s'exprimer comme un polynôme en (les coefficients de) α (si on applique directement l'expression de χ_α(1) comme un quotient, le numérateur et le dénominateur s'annulent donc il faut faire plus attention pour passer à la limite ; il y a une formule appelée formule de la dimension de Weyl qui décrit explicitement ce polynôme comme le quotient de deux fonctions rationnelles — je ne l'écris pas ici parce que j'ai soigneusement évité de parler de systèmes de racines, de racines simples et positives, mais ce n'est pas spécialement compliqué).
• La moyenne sur G d'une fonction G-invariante φ s'obtient en moyennant sur T le produit de φ par la norme au carré |∑_w∈W ε(w)·exp(2iπ(w(ρ)·x))|² du dénominateur de Weyl et en divisant par l'ordre de W. (Ainsi, la famille des χ_α s'obtient en appliquant Gram-Schmidt à la famille des p_α pour le produit scalaire de L²(G), lequel peut se décrire comme le produit scalaire de L²(T) corrigé par la norme au carré du dénominateur de Weyl.)
• Pour ce qui est de décrire les vecteurs propres du laplacien qui ne soient pas forcément G-invariantes, les translatées de χ_α par les éléments de G (à gauche ou à droite, cela donne la même chose) engendrent un espace vectoriel de dimension N_α² = χ_α(1)² qui peut, en fait, s'identifier, en tant que représentation de G à gauche et à droite, à l'ensemble V_α⊗V_α^* des matrices sur V_α (produit tensoriel de V_α par son dual) en envoyant χ_α sur la matrice identité sur V_α ; de plus, on obtient l'ensemble du spectre du laplacien sur G de la sorte.

[#3b] Ces histoires de moyenne sont certainement liées au fait que j'avais remarqué à la fin de cette entrée : j'y traçais les valeurs des χ_α pour les poids α fondamentaux, restreints au tore du « SU₂ principal de Kostant » : il y a donc quatre moyennes de χ_α auxquelles on peut s'intéresser : (a) celle sur G (qui vaut 0), (b) celle sur T (qui vaut le coefficient constant, je veux dire, coefficient du poids nul), (c) celle sur le SU₂ de Kostant (qui vaut, je crois, zéro, mais je ne sais pas très bien pourquoi, en fait), et (d) celle sur le tore du SU₂ de Kostant, qui vaut la même que (b) à cause de la manière dont le tore est foutu (c'est clair sur la façon dont je calcule les caractères). Je m'étonnais que, les valeurs (b)=(d) étant non nulle, mes graphes se concentrent autour de zéro ; mais la moyenne au sens de (a) et je crois au sens de (c), elle, est nulle, ce qui fournit au moins un élément d'explication.

(Je ne suis pas content de ma description parce que je n'ai pas vraiment dit ce qu'était V_α, à part que c'est un espace vectoriel de dimension N_α = χ_α(1) muni d'une action de G, et je suis embêté parce que je n'ai pas vraiment envie de rentrer dans la théorie de la représentation ou de décrire ce que irréductible signifie. Du coup, mes explications sont très bancales. Il y a certainement moyen de construire explicitement V_α à partir de χ_α puisque V_α⊗V_α^* peut se voir comme l'espace de dimension N_α² engendré par tous les translatés de χ_α : mais comment repêcher V_α dans V_α⊗V_α^* sans recourir à quelque chose de moche et sans évoquer la théorie de la représentation ? Je suis un peu coincé, là.)

Shouldbedone: Quelque part par ici, je pense que je devrais ajouter une explication en rapport avec l'isomorphisme de Harish-Chandra entre le centre de l'algèbre enveloppante universelle de l'algèbre de Lie et l'algèbre des polynômes W-invariants (mais sur T^* plutôt que T, il me semble). Seulement, à vrai dire, je ne comprends pas du tout le sens profond de cet isomorphisme, ni même pourquoi il est important et quel rapport il a précisément avec ce que j'ai raconté ci-dessus. Donc en fait, je n'ai rien à dire sur ce sujet (et c'est dommage).

En tout cas, il y a une théorie tout à fait analogue à la théorie de Fourier classique sur le cercle (au moins la théorie L²) :

• pour les fonctions L² G-invariantes sur G, les χ_α fournissent une base de Hilbert, c'est-à-dire que la partie de L²(G) formée des fonctions G-invariantes est isomorphe aux fonctions de carré sommables sur C∩L^* ;
• pour toutes les fonctions L² sur G, le résultat est un tout petit peu moins explicite, mais une fonction L²(G) va se décrire par une suite de matrices N_α × N_α, une pour chaque α∈C∩L^*, la fonction χ_α correspondant à l'identité (pour ce α et 0 pour les autres), la norme étant la norme 2 sur les matrices (« norme de Frobenius ») normalisée de façon que l'identité ait norme 1 ; l'action de G à gauche opère sur les colonnes de la matrice (via la représentation V_α) tandis que l'action de G à droite opère sur les lignes (via la représentation duale V_α^*).

Beaucoup de choses fonctionnent comme dans la théorie classique : par exemple, pour convoler deux fonctions, on multiplie leurs séries de Fourier (dans le second cas ci-dessus, on multiplie terme à terme des suites de matrices, ce n'est pas commutatif ce qui est normal car la convolution sur G n'est pas commutative).

Le cas le plus facile est celui de Spin₃ (qui est aussi SU₂, mais la notation que j'ai prise est plutôt celle de Spin₃), et qui est, d'ailleurs, aussi une 3-sphère (la 3-sphère des quaternions de norme 1, voir ici et plus précisément ici). Dans ce cas, il n'y a qu'un seul angle de rotation, que je note donc juste θ (plutôt que θ₁). Tout élément de Spin₃ est conjugué à une rotation d'angle θ, défini modulo 2 tours, autour d'un axe fixé (ceci définit T = ℝ/2ℤ = E/L) ; et l'action du groupe de Weyl, qui permet simplement de remplacer θ en −θ en faisant faire un demi-tour à l'axe, donc de ramener la rotation à une rotation d'angle 0≤θ≤1 (c'est l'alcôve de Weyl) ; les polynômes trigonométriques en θ sont les polynômes en exp(iπθ), et ceux qui sont W-invariants sont ceux en p_½ := exp(iπθ) + exp(−iπθ) = 2·cos(πθ), ou, ce qui revient au même, les combinaisons linéaires de p_a := exp(2iπaθ) + exp(−2iπaθ) = 2·cos(2πaθ) (variatur p₀=1) pour a∈L^* = ½ℤ. La chambre de Weyl C est définie par a≥0, le vecteur de Weyl vaut ρ=½, et les χ_a sont les rapports (exp(2iπ(a+½)θ) − exp(−2iπ(a+½)θ)) / (exp(iπθ) − exp(−iπθ)) = p_a + p_a−1 + ⋯ + p_a−⌊a⌋. La valeur propre correspondante du laplacien sur G=Spin₃ est Λ(a) = a(a+1) (rappelons qu'ici a parcourt ½ℕ : les valeurs obtenues, à savoir 3/4, 2, 15/4, 6, etc., correspondent bien à constante près aux valeurs données plus haut pour le spectre de la 3-sphère, qui étaient ℓ(ℓ+2) pour ℓ parcourant ℕ, soit 3, 8, 15, 24, etc.). Et comme p_a(1) = 2 (pour a>0), on trouve N_a = χ_a(1) = 2a+1. En se rappelant que la multiplicité du spectre du laplacien est donné par les m_a = N_a² = (2a+1)², on a décrit complètement le spectre de Spin₃. Si on veut celui de SO₃, on se limite à a dans le réseau des poids de SO₃, c'est-à-dire a∈ℕ, toujours pour Λ(a) = a(a+1) et m_a = (2a+1)².