David Madore's WebLog: Le jeu de cartes Dobble et la géométrie projective expliquée aux enfants

J'avais déjà entendu parler du jeu de cartes Dobble (appelé Spot it! aux États-Unis). Il s'agit d'un jeu de 55 cartes circulaires (logiquement il devrait y en avoir 57, mais il en manque deux pour une raison que seul l'éditeur du jeu connaît), chacune portant 8 symboles différents parmi 57 symboles possibles (un peu façon émojis : cœur, clé, cadenas, flocon de neige, sens interdit, coccinelle, vous voyez le genre). La propriété sur laquelle se base le jeu est que deux cartes quelconque du jeu ont toujours un et un seul symbole en commun, et le jeu est un jeu de rapidité consistant à identifier le plus rapidement possible ce symbole (selon les variantes : entre une carte qu'on a en main et une carte au sommet d'une pioche, ou quelque chose comme ça). Le jeu est assez distrayant et intéressant en ce que c'est un jeu auquel des adultes et des très jeunes enfants peuvent jouer ensemble et trouver également rigolo, ce qui n'est pas une contrainte évidente.

Mais son intérêt est également mathématique, car il s'agit d'une structure combinatoire classique et remarquable : pour les mathématiciens qui me lisent, disons brièvement qu'il s'agit du plan projectif sur le corps fini à 7 éléments (les cartes étant, disons, les points, et les symboles les droites — ou le contraire si on préfère — et le fait pour un symbole de figurer sur une carte étant la relation d'incidence). Pour les non-mathématiciens, on peut mentionner une autre propriété, duale de la précédente, qu'ont les cartes : deux symboles quelconques figurent toujours sur une et une seule carte — sauf s'il s'agit d'une des deux cartes « manquantes ». Mais le jeu n'exploite pas cette autre propriété, ce qui est vraiment dommage, parce que c'est la combinaison des deux qui rend la structure mathématiquement vraiment intéressante (voir ici par exemple). Voir aussi cet article de vulgarisation sur le site Images des mathématiques qui tente d'expliquer un peu les choses pour les non-mathématiciens. Comme son auteur (que je salue au passage si par hasard il me lit), je trouve vraiment dommage que les éditeurs n'aient pas eu de meilleure idée pour exploiter la structure combinatoire remarquable qu'ils ont concrétisée que de faire un simple jeu de rapidité (et n'utilisant qu'une seule des deux propriétés duales que j'ai mentionnées), et j'appelle à ce qu'on invente d'autres jeux amusants avec ce jeu de cartes. On pourrait par exemple jouer à choisir deux symboles (i.e. : deux joueurs en choisissent chacun un, le notent sur un papier, et le révèlent simultanément), et essayer de trouver le plus rapidement possible, toutes les cartes étant étalées simultanément, quelle est celle qui contient les deux symboles choisis — mais il y a certainement plus intelligent à faire.

J'avais entendu parler de Dobble, disais-je, parce que plusieurs personnes m'avaient indépendamment proposé, comme une énigme, d'imaginer comment je concevrais un tel jeu (ce qui n'est pas vraiment une énigme, parce que pour un matheux un peu algébriste, un peu géomètre et/ou un peu combinatoricien, la structure d'un plan projectif sur un corps fini est tellement naturelle que j'avais donné la réponse avant d'avoir compris la question). Toujours est-il que je n'avais pas vu les cartes ni retenu le nom. Mais ce week-end, en passant chez des amis à Lyon, j'ai vu le jeu en question. (Il s'agit, d'ailleurs, des mêmes amis qui m'avaient fait découvrir le jeu de Set, un autre jeu de cartes basé sur une géométrie finie — en l'occurrence l'espace affine de dimension 4 sur le corps à 3 éléments.)

Et il y a assurément quelque chose de fascinant pour un matheux (surtout fasciné par les jolies structures combinatoires) d'avoir un plan projectif fini entre les mains. Ceci permet d'expliquer de façon visuelle et interactive comment fonctionne la géométrie projective finie bien mieux que je ne saurais le faire avec un tableau. Avec toutes sortes de questions qui se soulèvent naturellement, par exemple : comment trouver, le plus efficacement possible, quelles sont les deux cartes manquantes ? (imaginons que j'aie un jeu complet de 57 cartes, avec un ensemble de symboles inconnu a priori, et que j'en retire deux au hasard, comment trouver le plus rapidement l'ensemble des symboles de ces deux cartes retirées ?). Et comment disposer efficacement les cartes pour exhiber la structure géométrique ? Sur la photo ci-dessus, même si elle n'est pas terrible, on voit un tel arrangement possible : le carré 7×7 principal (celui où il manque une carte dans le coin en bas à gauche) a la propriété que chaque ligne de cartes a un symbole en commun, chaque colonne en a un, mais aussi chaque diagonale (prolongée cycliquement), chaque antidiagonale, et en fait, les diagonales de pas quelconques (cherchez les cartes ayant un cactus, par exemple) — un matheux dira qu'il s'agit du plan affine sur le corps à 7 éléments, et les cartes restantes (où il en manque aussi une) sont la droite à l'infini. Avec cette disposition, il n'est pas difficile de trouver quels sont les symboles des deux cartes manquantes ; reste que c'est un chouïa fastidieux d'y parvenir. Je me suis aussi amusé à calculer la disposition (duale) des symboles, ce qui permet de faire des petits tours de magie, du genre : choisis une carte, ne me la montre pas, dis-moi deux symboles qu'elle porte, et je te dirai quels sont les autres.

Je me serais précipité pour acheter le jeu s'il n'y avait pas ce gag des deux cartes manquantes, ce qui pour un obsessif-compulsif comme moi est aussi frustrant que l'idée d'avoir un beau rayonnage de livres tous identiques sauf un qui dépasserait les autres de 1cm. (Il existe aussi un Dobble Kids, dont les images laissent suggérer qu'il doit être basé sur un plan projectif d'ordre 5 au lieu de 7, et au lieu d'avoir les 31 cartes qu'il est alors censé avoir, les descriptions que je lis çà et là suggèrent qu'il n'en a que 30 — décidément, cet éditeur cherche à tuer les mathématiciens obsessifs.) Je pourrais aussi concevoir et faire imprimer mes propres cartes. (Je ne sais pas ce que valent les sites Web qui proposent l'impression de cartes personnalisées, mais je tombe par exemple sur celui-ci, qui proposent des tarifs raisonnables, même s'ils le deviendront certainement moins après frais de port depuis les États-Unis — je ne trouve pas grand-chose basé en France ou en Europe, et le problème c'est que les jeux de cartes personnalisés font référence à la personnalisation des dos, pas des faces.) En revanche, si je fais ça, je passerai sans doute une éternité à me torturer sur la manière la plus logique, symétrique et élégante de choisir les symboles et de les disposer sur les cartes (dans le cas de Dobble, c'est visiblement fait au hasard, y compris pour la forme et l'orientation, ce qui participe justement à la difficulté du jeu).

On pourrait aussi chercher à faire des jeux de cartes avec d'autres structures mathématiques (après tout, un plan projectif, c'est un immeuble de Bruhat-Tits classique sphérique de type A₂ : je peux regarder par exemple le type B₂ [ajout : voir l'entrée suivante], et ainsi fabriquer un jeu de 40 cartes avec 4 symboles parmi 40 sur chacune, telles que deux cartes aient toujours au plus un symbole en commun, et que si un symbole ne figure pas sur une carte donnée, alors il existe exactement une autre carte ayant ce symbole et ayant un symbole en commun avec la carte donnée). Mais bon, avant de trouver un jeu à faire avec une structure plus compliquée, il serait déjà intéressant d'en trouver avec les plans projectifs.