David Madore's WebLog: Les labyrinthes de petits théorèmes tordus, tous semblables (ici : Fourier)

Je donne cette année un cours d'Analyse en première année à l'école-qui-s'appelait-ENST. Je ne suis pas du tout analyste, mais j'en profite pour essayer de me cultiver un peu sur le sujet, et apprendre à mettre dans leur contexte les résultats somme toute assez basiques que je leur enseigne. Aujourd'hui j'ai fait cours sur les séries de Fourier, et comme je voulais essayer de mettre au clair les différents résultats relatifs à la convergence et à l'estimation de séries de Fourier, j'ai commencé à essayer de me faire une liste systématique, et je suis tombé sur ce que j'aime appeler un labyrinthe de petits théorèmes tordus, tous semblables (le terme est une référence geek célèbre).

Ce que je veux dire par là est qu'on a un phénomène mathématique sur lequel on montre une propriété, qui suggère quelques nouvelles questions, auxquelles on répond par de nouveaux théorèmes ou des contre-exemples, mais ceux-ci suggèrent encore des questions, et le processus ne converge pas (ou du moins, ne converge pas dans les limites de la patience ou de la mémoire dont je dispose), et à la fin je me retrouve avec une masse de théorèmes que je confonds et où je ne vois plus rien. C'est loin d'être le seul cas où ce me soit arrivé, mais les séries de Fourier sont un exemple assez frappant (et le fait qu'un M. Zygmund ait réussi à écrire deux tomes de 350 pages chacun sur le sujet sans réussir à faire le tour non pas de toutes les questions mais de toutes celles que je me pose naturellement, suggère qu'il y a vraiment un labyrinthe). Petit apercu (tout ceci étant dit pour les fonctions périodiques d'une variable réelle) :

Si f est une fonction périodique L¹ dont les coefficients de Fourier sont nuls, alors f=0. [Zygmund (I.6.2) ; Katznelson (I.2.7).] Plus généralement (par dualité), ceci vaut pour une mesure borélienne signée finie (coefficients de Fourier-Stieltjes) [Katznelson (I.7.1)] ou une distribution.
Les coefficients de Fourier définissent un isomorphisme entre l'espace de Hilbert des fonctions périodiques L² et l'espace de Hilbert des suites ℓ² (Parseval-Riesz). [Zygmund, (II.1.12) ; Katznelson (I.5.5).]
Si f est une fonction périodique L¹, alors ses coefficients de Fourier tendent vers 0 (Riemann-Lebesgue). [Zygmund, (II.4.4) ; Katznelson (I.2.8).]
Si μ est une mesure borélienne signée finie sur le cercle, ses coefficients de Fourier-Stieltjes sont bornés (évident).
Si μ est une mesure borélienne signée finie sur le cercle, alors μ est sans atome si et seulement si ses coefficients de Fourier-Stieltjes tendent vers 0 en densité (i.e. pour tout ε>0 l'ensemble des coefficients de valeur absolue >ε est de densité nulle) (Wiener).
Si f est une fonction périodique dont les coefficients de Fourier sont ℓ¹ (la série de Fourier de f converge absolument), alors f est continue.
Si f est une fonction périodique L^p pour 1≤p≤2 et q l'exposant conjugué à p, alors les coefficients de Fourier de f sont ℓ^q (Hausdorff-Young). [Zygmund, (XII.2.3.i) ; Katznelson (I.4.7) & (IV.2.1).] Ceci n'est pas vrai en général pour p>2.
Dualement : si 1≤p≤2 et q l'exposant conjugué à p, alors toute suite ℓ^p est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction périodique L^q. [Zygmund, (XII.2.3.ii).] Ceci n'est pas vrai en général pour p>2.

Si f est une fonction périodique L^p pour 1<p<∞, alors les sommes partielles de sa série de Fourier convergent vers f au sens L^p (i.e., en norme). [Zygmund, (IV.5.14) ; Katznelson (II.1.5).] Ceci n'est vrai ni pour p=1 (Kolmogorov) ni pour p=∞ (évident).
Si f est une fonction périodique L¹, alors les moyennes de Cesàro des sommes partielles de sa série de Fourier convergent vers f au sens L¹. [Zygmund, (IV.5.5.ii).] (Vrai en remplaçant L¹ par L^p pour n'importe quel 1≤p<∞, mais c'est redondant avec le point précédent.)
Si f est une fonction périodique L¹, alors les moyennes de Cesàro des sommes partielles de sa série de Fourier convergent vers f presque partout (Lebesgue). [Zygmund, (III.3.9) ; Katznelson (I.3.2).]
Si f est une fonction périodique L^p pour p>1, alors les sommes partielles de sa série de Fourier convergent vers f presque partout (Carleson-Hunt — très difficile). Ceci n'est pas vrai pour p=1 (Kolmogorov) : il existe même une fonction L¹ dont la série de Fourier ne converge en aucun point. [Zygmund, (VIII.3.1) & (VIII.4.1) ; Katznelson (II.3.6).]
Si f est une fonction périodique admettant en x une limite à gauche et une limite à droite, alors les moyennes de Cesàro des sommes partielles de sa série de Fourier convergent en x vers la demi-somme entre la limite à gauche et la limite à droite de f en x (Fejér). [Zygmund, (III.3.4) ; Katznelson (I.3.1).] (Conséquence : si f est une fonction périodique L¹ admettant en x une limite à gauche et une limite à droite, et que sa série de Fourier converge en x, alors la somme en question vaut la demi-somme entre la limite à gauche et la limite à droite.)
Si f est une fonction périodique continue, alors les moyennes de Cesàro des sommes partielles de sa série de Fourier convergent uniformément vers f. [Zygmund, (III.3.4).]
Si f est une fonction périodique à variations bornées, alors les sommes partielles S_n[f] de sa série de Fourier convergent en chaque point x vers la demi-somme entre la limite à gauche et la limite à droite de f en x (qui existent toujours pour une fonction à variations bornées). [Zygmund, (II.8.1) ; Katznelson (II.2.2).] De surcroît, aux points x de continuité de f, cette convergence est uniforme en x (au sens où S_n[f](y)→f(x) quand (n,y)→(∞,x)) : en particulier, si f est une fonction périodique continue à variations bornées, alors les sommes partielles de sa série de Fourier convergent uniformément vers f. [Zygmund, (II.8.1) & (II.8.6) ; Katznelson (II.2.2).]
Si f est une fonction périodique höldérienne d'exposant 0<α≤1, alors les sommes partielles S_n[f] de sa série de Fourier convergent uniformément vers f avec ‖f−S_n[f]‖_∞ = O(n^−α·log(n)) [Zygmund, (II.10.8)] ; et les moyennes de Cesàro MS_n[f] des S_n[f] vérifient ‖f−MS_n[f]‖_∞ = O(n^−α) [Zygmund, (III.3.15)].
Si f est une fonction périodique höldérienne d'exposant 0<α≤1, alors les coefficients de Fourier de f sont ℓ^p pour tout p>1/(α+½). [Zygmund, (VI.3.10).] En particulier, si f est une fonction périodique höldérienne d'exposant α>½ alors la série de Fourier de f converge absolument (Bernstein). [Zygmund, (VI.3.1) ; Katznelson (I.6.3).] Ceci n'est pas vrai en général pour α=½.
Si f est une fonction périodique höldérienne d'exposant 0<α≤1 et à variations bornées, alors les coefficients de Fourier de f sont ℓ^p pour tout p>1/(½α+1). [Zygmund, (VI.3.13).] En particulier, si f est une fonction périodique höldérienne d'exposant α>0 et à variations bornées alors la série de Fourier de f converge absolument (Zygmund). [Zygmund, (VI.3.6) ; Katznelson (I.6.4).]
Si f est une fonction périodique à variations bornées, alors les coefficients de Fourier de f sont O(n⁻¹). [Zygmund, (II.4.12) ; Katznelson (I.4.5).] Si f est une fonction périodique absolument continue, alors les coefficients de Fourier de f sont o(n⁻¹). [Zygmund, (II.2.1) ; Katznelson (I.4.3).]
Si f est une fonction périodique C^r, alors les coefficients de Fourier de f sont o(n^−r). [Zygmund, (II.2.1) ; Katznelson (I.4.4).]
Si φ est une distribution sur le cercle, alors les coefficients de Fourier de φ sont à croissance au plus polynomiale, et réciproquement, toute suite à croissance au plus polynomiale est la suite des coefficients de Fourier d'une (unique) distribution sur le cercle.
Si les coefficients de Fourier d'une fonction périodique L¹ sont O(n⁻¹), alors la convergence des moyennes de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier entraîne la convergence (vers la même limite) des sommes partielles elles-mêmes (théorème taubérien de Hardy). [Zygmund, (III.1.26) ; Katznelson (II.2.2).] La même chose vaut pour la convergence uniforme. [Zygmund, remarques à la fin de (III.1) ; Katznelson (II.2.2).]
Si une série trigonométrique converge en tout point du cercle vers une limite qui définit une fonction L¹, alors la série est bien la série de Fourier de la fonction ; et en particulier, si une série trigonométrique converge en tout point vers 0 alors elle est identiquement nulle (Du Bois-Reymond). [Zygmund, (IX.3.1).] Mais ce dernier énoncé n'est pas vrai si on remplace en tout point par presque partout. [Zygmund, (IX.6.14).]

[Références : [Zygmund] = Antoni Zygmund, Trigonometric Series, 3e édition (2002) (première édition disponible ici). [Katznelson] = Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3e édition (2002).]

Pfiou ! Et encore, je ne dis rien sur le noyau de Poisson ou la fonction conjuguée, ni sur rien d'autre que les fonctions périodiques d'une variable réelle (et notamment rien sur la transformée de Fourier). Et malgré ça, il y a quantité de questions qui me semblent profondément naturelles et dont je n'ai toujours vu aucune mention dans les livres. Du genre :

Si f est une fonction périodique L¹, est-il vrai que les sommes partielles de la série de Fourier de f convergent vers f faiblement dans L¹, c'est-à-dire que ∫(f−S_n[f])·h tendrait vers 0 pour toute fonction h L^∞ sur une période. (On me fait remarquer que cela équivaut plus ou moins à demander si, pour g la convolée d'une fonction L¹ et d'une fonction L^∞, les sommes partielles de la série de Fourier de g convergent ponctuellement vers g.) Ajout : la réponse est négative.
Existe-t-il des séries trigonométriques qui convergent en tout point du cercle mais dont la limite ne soit pas une fonction L¹ ou même, qui ne soient pas la série de Fourier-Stieltjes d'une mesure borélienne signée finie ? (J'imagine que oui, peut-être dans l'esprit des intégrales de Denjoy/Khintchine en dérivant la série de Fourier d'une fonction dérivable non absolument continue.)
Existe-t-il des séries entières de rayon de convergence 1 admettant en tout point du cercle une limite nontangentielle (i.e., sommables en tout point au sens d'Abel), cette limite étant nulle partout, sans pour autant que la série soit nulle ? (Ajout : la réponse est non, cf. le commentaire de Damien.) Et si la réponse est non, admettant en tout point du cercle une limite nontangentielle sans pour autant être la série de Fourier d'une distribution (i.e., à croissance au plus polynomiale) ?
Existe-t-il des mesures boréliennes signées finies sur le cercle dont les coefficients de Fourier-Stieltjes sont O(n^−½), voire o(n^−½), et qui ne sont pas l'intégrale d'une fonction L¹ (i.e., ne sont pas absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue) ? (J'imagine que oui, il n'y a pas de raison.)

Je pourrais poser ces questions sur MathOverflow, mais chacune demandrait que j'y réfléchisse préalablement (pour m'assurer que ce n'est pas une question profondément idiote) sans doute plus que ce que je suis prêt à faire.

Alors on pourra me rétorquer que c'est normal, c'est comme ça que la science fonctionne : toute réponse suggère d'autres questions. C'est peut-être un joli slogan, mais ce n'est pas toujours le cas : il y a des domaines dont on a l'impression d'avoir fait le tour de façon assez nette (parfois cette impression est trompeuse, c'est vrai), ou du moins qui ne suggèrent pas des questions naturelles et évidentes à foison mais plutôt des questions dont on a d'emblée le sentiment qu'elles sont difficiles et riches. Ce que j'appelle un labyrinthe de petits théorèmes tous semblables, c'est quand les questions viennent plus vite que je n'ai le temps de les formuler, et quand les livres regorgent déjà de résultats qui partent dans tous les sens et qui sont rarement présentés de façon systématique et synthétique.

(Au sujet de l'ordre d'exposition des résultats, c'est d'ailleurs peut-être un problème sérieux de contradiction entre l'orthodoxie logique qui veut qu'on présente les théorèmes dans l'ordre dans lequel ils découlent les uns des autres, et la clarté pédagogique : dans l'énumération des énoncés que j'ai faite ci-dessus, certains des faits annoncés sont quasi triviaux et d'autres sont des théorèmes assez profonds, notamment le théorème de Carleson, donc aucun bouquin ne les listerait comme ça, et c'est bien dommage, parce que je trouve que ça aide à s'y retrouver dans le labyrinthe.)