David Madore's WebLog: Polynômes plus ou moins symétriques en cinq variables

Niveaux de symétrie et sous-groupes de 𝔖₅

On va donc dire que je considère des polynômes ou fractions rationnelles (= rapports entre deux polynômes) en les variables Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅, et à coefficients, disons, rationnels. Le corps de toutes les fractions rationnelles en ces variables est noté ℚ(Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅), l'anneau des polynômes, lui, est noté ℚ[Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅].

Les polynômes ou fractions rationnelles totalement symétriques sont ceux ou celles qui sont préservé(e)s (invariant(e)s) par n'importe quelle permutation des variables, i.e., par le groupe 𝔖₅ de toutes les (120) permutations possibles de Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅. Ces polynômes totalement symétriques sont bien compris, c'est un théorème très classique : ce sont exactement les polynômes en les (cinq) polynômes dits symétriques élémentaires, à savoir : e₁ = ∑_i(Z_i) = Z₁+Z₂+Z₃+Z₄+Z₅ (5 termes de degré 1), e₂ = ∑_i<j(Z_i·Z_j) = Z₁·Z₂+Z₁·Z₃+Z₁·Z₄+⋯+Z₄·Z₅ (10 termes de degré 2), e₃ = ∑_i<j<k(Z_i·Z_j·Z_k) = Z₁·Z₂·Z₃+⋯+Z₃·Z₄·Z₅ (10 termes de degré 3), e₄ = ∑_i<j<k<ℓ(Z_i·Z_j·Z_k·Z_ℓ) = Z₁·Z₂·Z₃·Z₄+⋯+Z₂·Z₃·Z₄·Z₅ (5 termes de degré 4), et enfin e₅ = ∏_i(Z_i) = Z₁·Z₂·Z₃·Z₄·Z₅ (1 terme de degré 5). C'est-à-dire que chaque polynôme totalement symétrique en Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅ est, et de façon unique, un polynôme en e₁,e₂,e₃,e₄,e₅ ; et réciproquement, il est clair que tout polynôme en les e_i est un polynôme totalement symétrique en les Z_i. Par exemple, le polynôme (Z₁)²+(Z₂)²+(Z₃)²+(Z₄)²+(Z₅)² (la somme des carrés des indéterminées, qui est manifestement totalement symétrique) vaut e₁²−2e₂. Ceci étant dit pour les polynômes, les fractions rationnelles fonctionnent du coup de la même manière (une fois qu'on a vérifié qu'une fonction rationnelle symétrique peut s'exprimer comme quotient de deux polynômes symétriques, ce qui n'est pas complètement trivial mais est néanmoins vrai) : le corps noté ℚ(Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅)^𝔖₅ des fractions rationnelles totalement symétriques en cinq variables est simplement le corps ℚ(e₁,e₂,e₃,e₄,e₅) des fractions rationnelles en les polynômes symétriques élémentaires. Je noterai E ce corps dans la suite.

Un autre fait bien connu est ce qui se passe si on considère les polynômes ou fractions rationnelles qui sont préservés par les 60 permutations paires des indéterminées, c'est-à-dire les permutations qui s'obtiennent comme composées d'un nombre pair de transpositions (une transposition consistant à échanger simplement deux objets, ici, deux indéterminées, sans toucher aux autres) ; on note 𝔄₅ l'ensemble des permutations paires (le groupe alterné) sur cinq objets. Déjà, peut-on trouver un exemple de polynôme qui soit invariant par les permutations paires mais pas par toutes les permutations (par 𝔄₅ mais pas 𝔖₅) ? Oui : un tel polynôme est donné par δ = ∏_i<j(Z_i−Z_j) = (Z₁−Z₂)·(Z₁−Z₃)·(Z₁−Z₄)⋯(Z₄−Z₅) (aussi appelé polynôme de Vandermonde ; il comporte 120 termes, qui sont tous les 120 produits des indéterminées avec des puissances 0,1,2,3,4, chacun précédé d'un coefficient +1 ou −1 ; il est de degré 10 et peut s'écrire comme le déterminant d'une matrice assez naturelle) ; il possède l'invariance souhaitée puisque toute transposition de deux variables change δ en −δ, donc toute transposition paire le laisse invariant. Le carré Δ=δ² de ce polynôme de Vandermonde s'appelle le polynôme discriminant, et il est, lui, totalement symétrique, c'est-à-dire qu'il appartient à E, et peut donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires. Cette expression est malheureusement un petit peu longue :

Δ = e₁²·e₂²·e₃²·e₄² − 4·e₁³·e₃³·e₄² − 4·e₁²·e₂³·e₄³ + 18·e₁³·e₂·e₃·e₄³ − 27·e₁⁴·e₄⁴ − 4·e₁²·e₂²·e₃³·e₅ + 16·e₁³·e₃⁴·e₅ + 18·e₁²·e₂³·e₃·e₄·e₅ − 80·e₁³·e₂·e₃²·e₄·e₅ − 6·e₁³·e₂²·e₄²·e₅ + 144·e₁⁴·e₃·e₄²·e₅ − 27·e₁²·e₂⁴·e₅² + 144·e₁³·e₂²·e₃·e₅² − 128·e₁⁴·e₃²·e₅² − 192·e₁⁴·e₂·e₄·e₅² + 256·e₁⁵·e₅³ − 4·e₂³·e₃²·e₄² + 18·e₁·e₂·e₃³·e₄² + 16·e₂⁴·e₄³ − 80·e₁·e₂²·e₃·e₄³ − 6·e₁²·e₃²·e₄³ + 144·e₁²·e₂·e₄⁴ + 16·e₂³·e₃³·e₅ − 72·e₁·e₂·e₃⁴·e₅ − 72·e₂⁴·e₃·e₄·e₅ + 356·e₁·e₂²·e₃²·e₄·e₅ + 24·e₁²·e₃³·e₄·e₅ + 24·e₁·e₂³·e₄²·e₅ − 746·e₁²·e₂·e₃·e₄²·e₅ − 36·e₁³·e₄³·e₅ + 108·e₂⁵·e₅² − 630·e₁·e₂³·e₃·e₅² + 560·e₁²·e₂·e₃²·e₅² + 1020·e₁²·e₂²·e₄·e₅² + 160·e₁³·e₃·e₄·e₅² − 1600·e₁³·e₂·e₅³ − 27·e₃⁴·e₄² + 144·e₂·e₃²·e₄³ − 128·e₂²·e₄⁴ − 192·e₁·e₃·e₄⁴ + 108·e₃⁵·e₅ − 630·e₂·e₃³·e₄·e₅ + 560·e₂²·e₃·e₄²·e₅ + 1020·e₁·e₃²·e₄²·e₅ + 160·e₁·e₂·e₄³·e₅ + 825·e₂²·e₃²·e₅² − 900·e₁·e₃³·e₅² − 900·e₂³·e₄·e₅² − 2050·e₁·e₂·e₃·e₄·e₅² − 50·e₁²·e₄²·e₅² + 2250·e₁·e₂²·e₅³ + 2000·e₁²·e₃·e₅³ + 256·e₄⁵ − 1600·e₃·e₄³·e₅ + 2250·e₃²·e₄·e₅² + 2000·e₂·e₄²·e₅² − 3750·e₂·e₃·e₅³ − 2500·e₁·e₄·e₅³ + 3125·e₅⁴

Le fait important est que : tout polynôme en Z₁,…,Z₅ invariant par les permutations paires s'exprime sous la forme u+v·δ avec u et v deux polynômes totalement symétriques, et la même affirmation vaut pour les fonctions rationnelles. En quelque sorte, donc, δ est le « seul » polynôme préservé par 𝔄₅ mais pas 𝔖₅, et par ailleurs la relation δ²=Δ (où Δ est l'expression assez lourde ci-dessus) « explique » complètement δ par rapport au corps E=ℚ(e₁,e₂,e₃,e₄,e₅) des fonctions rationnelles en les e_i. Bref, ce que je viens de dire s'écrit (pour les fractions rationnelles) ℚ(Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅)^𝔄₅ = E(δ) où δ vérifie l'équation δ²=Δ au-dessus de E.

Quelle autre famille de polynômes « un peu mais pas complètement » symétriques pourrais-je considérer ? Il faut chercher ce qu'on appelle les sous-groupes de 𝔖₅, c'est-à-dire les ensembles G de permutations qui sont stables par composition (et qui sont donc susceptibles d'être l'ensemble des permutations laissant invariant un polynôme — et il n'est pas difficile de montrer qu'il y a effectivement toujours un polynôme invariant pour chaque G). Il existe 156 sous-groupes de 𝔖₅, donc on va tâcher de simplifier un peu les choses. D'abord, si deux sous-groupes s'obtiennent l'un à partir de l'autre justement par une permutation des objets (ici, des variables) — on dit alors qu'ils sont conjugués dans 𝔖₅ — alors l'étude sera exactement la même, donc je peux me contenter de chercher les sous-groupes à conjugaison près (les classes de conjugaison) : il n'y en a plus que 19. (Il se trouve que les deux exemples envisagés ci-dessus, i.e., le groupe 𝔖₅ tout entier et le groupe 𝔄₅ des permutations paires, ne sont chacun conjugué qu'à lui-même, c'est-à-dire que le fait qu'une permutation soit paire ne dépend pas de la numérotation choisie des variables — on dit qu'il s'agit de sous-groupes distingués de 𝔖₅ — mais d'ailleurs, à part le groupe trivial qui ne contient que la permutation identité, ce sont les seuls tels sous-groupes.)

Par ailleurs, je vais demander qu'il existe au moins une permutation (laissant le polynôme considéré invariant, i.e., appartenant au groupe G) capable d'envoyer n'importe quelle variable sur n'importe quelle autre : autrement dit, j'exclus les cas où les variables se séparent en blocs (par exemple, le polynôme Z₁·Z₂·Z₃+(Z₄)³+(Z₅)³, il est symétrique par les 12 permutations qui échangent Z₁,Z₂,Z₃ n'importe comment d'une part et Z₄,Z₅ de l'autre : ce genre de choses ne m'intéresse pas), parce que ces cas relèvent en fait d'un nombre plus petit d'indéterminées. Lorsque c'est le cas (qu'il existe au moins une permutation dans G capable d'envoyer n'importe quelle variable sur n'importe quelle autre) on dit que le groupe G de symétries de mon polynôme est transitif sur les cinq indéterminées. Or les sous-groupes transitifs de 𝔖₅ ne forment plus que cinq classes (20 sous-groupes au total, mais comme expliqué ci-dessus, quitte à renuméroter les variables je peux toujours choisir celui qui me plaît dans chaque classe), qui sont représentées par :

• le groupe symétrique 𝔖₅ tout entier (qui a 120 éléments, toutes les permutations possibles des variables) ;
• le groupe alterné 𝔄₅ des permutations paires (60 éléments) ;
• un groupe que j'appellerai Aff(5), qui a 20 éléments, et qui peut être décrit comme l'ensemble des permutations de la forme i↦a·i+b où les variables sont numérotées par un indice i vu modulo 5 et où a,b sont deux entiers avec a non multiple de 5 (i.e., inversible modulo 5), c'est-à-dire les permutations affines (d'où le nom) sur ℤ/5ℤ ; si on préfère, Aff(5) est engendré par les permutations cycliques et par la permutation qui double le numéro de chaque indéterminée modulo 5, i.e., transforme Z₁ en Z₂, Z₂ en Z₄, Z₃ en Z₁, Z₄ en Z₃ et fixe Z₅ ;
• le groupe D₅ (groupe diédral) des 10 symétries d'un pentagone régulier dont les sommets sont étiquetés Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅ dans cet ordre ;
• et enfin, le groupe C₅=ℤ/5ℤ des 5 permutations cycliques des variables.

Les inclusions entre ces choses-là sont faciles : on a C₅ ⊂ D₅ ⊂ Aff(5) ⊂ 𝔖₅, et D₅ ⊂ 𝔄₅ ⊂ 𝔖₅, et en fait D₅ = Aff(5) ∩ 𝔄₅ (géométriquement, Aff(5) est formé des permutations qui transforment le pentagone régulier soit en lui-même soit en l'étoile à cinq branches obtenue en parcourant les sommets dans l'ordre 1,3,5,2,4, ou toute symétrie géométrique de l'un ou l'autre, et les permutations paires dans ceci sont bien celles qui gardent le pentagone comme un pentagone et pas comme une étoile).

Du coup, je définis aussi cinq niveaux de polynômes ou fractions rationnelles plus ou moins symétriques : ceux qui sont totalement symétriques c'est-à-dire invariants par toutes les permutations des variables, ceux qui sont invariants par les permutations paires, ceux qui sont invariants par les permutations « affines » (celles de Aff(5)), ceux qui sont invariants par les permutations « diédrales » (celles de D₅), et ceux qui sont invariants par les permutations cycliques des variables.

Des exemples de polynômes réalisant ces différents niveaux de symétrie et pas plus sont :

• pour 𝔄₅ (les permutations paires) : δ = ∏_i<j(Z_i−Z_j) = (Z₁−Z₂)·(Z₁−Z₃)·(Z₁−Z₄)⋯(Z₄−Z₅) comme détaillé ci-dessus ;
• pour Aff(5) : P = (Z₁)²·(Z₂·Z₅ + Z₃·Z₄) + (Z₂)²·(Z₁·Z₃ + Z₄·Z₅) + (Z₃)²·(Z₁·Z₅ + Z₂·Z₄) + (Z₄)²·(Z₁·Z₂ + Z₃·Z₅) + (Z₅)²·(Z₁·Z₄ + Z₂·Z₃) ;
• pour D₅ : Q = Z₁·Z₂ + Z₂·Z₃ + Z₃·Z₄ + Z₄·Z₅ + Z₅·Z₁ ;
• pour C₅ : F = (Z₁)²·Z₂ + (Z₂)²·Z₃ + (Z₃)²·Z₄ + (Z₄)²·Z₅ + (Z₅)²·Z₁.

On peut prendre ça pour définition de Aff(5), D₅ et C₅ si on veut : ce sont exactement les groupes de symétries de ces polynômes.

Fractions rationnelles plus ou moins symétriques

Ce qui est assez étonnant, c'est que la donnée d'une seule fraction rationnelle ayant précisément le bon groupe de symétries suffit, avec les polynômes symétriques élémentaires, à engendrer toutes les autres : par exemple, comme Q a pour groupe de symétries exactement D₅, toute fonction rationnelle symétrique sous D₅ s'exprime au moyen de Q et des fonctions symétriques élémentaires e₁,…,e₅ ; dans cette phrase, s'exprime au moyen, cela signifie s'exprime comme fraction rationnelle (i.e., pour parler très concrètement, s'exprime avec des sommes, différences, produits, et quotients), ce qui se note symboliquement ℚ(Z₁,…,Z₅)^D₅=E(Q). On peut être plus précis : les éléments δ, P, Q et F sont de degrés respectifs 2, 6, 12 et 24 (ce sont les indices des sous-groupes correspondants de 𝔖₅) sur E, ce qui signifie par exemple que tout élément de ℚ(Z₁,…,Z₅)^D₅ (toute fraction rationnelle symétrique sous les permutations diédrales dans les variables) peut s'exprimer de façon unique sous la forme u₀ + u₁·Q + u₂·Q² + ⋯ + u₁₁·Q¹¹ avec u₀,…,u₁₁ des éléments de E uniquement déterminés, tandis que Q¹², lui, s'exprime aussi sous une telle forme, autrement dit, Q vérifie une équation algébrique de degré 12 à coefficients dans E. Pour δ, qui est de degré 2 sur E, j'ai déjà expliqué que cette équation est δ²=Δ. De façon générale, ces équations (de degré 2, 6, 12 et 24) vérifiées par δ, P, Q et F respectivement, à coefficients dans E, s'appellent des résolvantes (générales) pour les groupes 𝔄₅, Aff(5), D₅ et C₅ respectivement. Ces nombres 2, 6, 12 et 24 sont simplement le nombre de polynômes différents qu'on peut obtenir à partir de δ, P, Q et F en permutant ses variables (par une permutation qui ne soit justement pas dans le groupe de symétries du polynôme) ; et ces différents polynômes sont précisément les autres racines de l'équation résolvante vérifiée sur E (on peut les appeler les conjugués du polynôme partiellement symétrique considéré).

Le diagramme ci-dessus (qu'apparemment seul Firefox affiche de façon correcte) illustre comment se positionnent ces différents corps. Les nombres écrits en vert à côté des traits indiquent les degrés relatifs : par exemple, E(Q) est de degré 12 sur E mais 2 sur E(P), c'est-à-dire que Q vérifie une équation de degré 2 sur celui-ci, en l'occurrence elle est assez simple, c'est Q² − e₂·Q − P + (e₁·e₃ − 3·e₄) = 0 (selon la façon dont on lit ça, ça peut se voir comme l'équation de Q au-dessus de E(P) ou comme l'expression de P à l'intérieur de E(Q)). On peut appeler ça une résolvante relative (sur cet exemple : pour D₅ à l'intérieur de Aff(5)).

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S'agissant des fractions rationnelles, la situation est donc claire en théorie : il est possible en principe d'exprimer Q, P et δ en fonction de F (et de e₁,…,e₅), d'exprimer P et δ en fonction de Q (idem), mais aussi d'exprimer Q en fonction de P et δ (et, de nouveau, de e₁,…,e₅), et d'écrire des équations vérifiées par δ, P, Q et F de degré 2, 6, 12 et 24 au-dessus de E, ou différents degrés plus petits au-dessus des corps intermédiaires (i.e., au-dessus de E(δ), Q et F vérifient des équations de degrés 6 et 12, au-dessus de E(P), Q et F vérifient des équations de degrés 2 et 4, et au-dessus de E(Q), F vérifie une équation de degré 2).

Mais en pratique, les choses sont bien différentes. À part l'équation Q² − e₂·Q − P + (e₁·e₃ − 3·e₄) = 0 que j'ai déjà évoquée (qui exprime P en fonction de Q ou bien donne l'équation de degré 2 vérifiée par Q au-dessus de E(P)), et l'expression de δ comme racine de Δ donnée plus haut, la seule relation qui ne soit pas démesurément compliquée est l'équation sextique vérifiée par Q au-dessus de E(δ), à savoir :

Q⁶ − 3·e₂·Q⁵ + (3·e₂² + 2·e₁·e₃ − 5·e₄)·Q⁴ + (−e₂³ − 4·e₁·e₂·e₃ + 10·e₂·e₄)·Q³ + (2·e₁·e₂²·e₃ + e₁²·e₃² + e₁²·e₂·e₄ − 4·e₁³·e₅ + e₂·e₃² − 8·e₂²·e₄ − 7·e₁·e₃·e₄ + 15·e₁·e₂·e₅ + 15·e₄² − 25·e₃·e₅)·Q² + (−e₁²·e₂·e₃² − e₁²·e₂²·e₄ + 4·e₁³·e₂·e₅ − e₂²·e₃² + 3·e₂³·e₄ + 7·e₁·e₂·e₃·e₄ − 15·e₁·e₂²·e₅ − 15·e₂·e₄² + 25·e₂·e₃·e₅ − δ)·Q + e₁³·e₂·e₃·e₄ − e₁⁴·e₄² − e₁³·e₂²·e₅ + e₁·e₂·e₃³ − (7/2)·e₁·e₂²·e₃·e₄ − 2·e₁²·e₃²·e₄ + (7/2)·e₁²·e₂·e₄² + (9/2)·e₁·e₂³·e₅ − 3·e₁²·e₂·e₃·e₅ + 6·e₁³·e₄·e₅ − e₃⁴ + (7/2)·e₂·e₃²·e₄ + e₂²·e₄² − e₁·e₃·e₄² − (15/2)·e₂²·e₃·e₅ + 10·e₁·e₃²·e₅ − 10·e₁·e₂·e₄·e₅ − 25·e₁²·e₅² + 5·e₄³ − 25·e₃·e₄·e₅ + (125/2)·e₂·e₅² + (1/2)·e₂·δ = 0

Les autres sont assez atroces : par exemple, l'équation sextique vérifiée par P sur E prend une bonne page à écrire, l'expression de δ dans E(Q) en prend deux, et l'équation quadratique de F sur E(Q) est longue d'au moins une dizaine de pages. La difficulté à faire ces calculs n'est d'ailleurs pas toujours où on le croit. Par exemple, si on veut exprimer δ dans E(Q), on commence par écrire les coordonnées de 1,Q,Q²,…,Q¹¹ sur une E-base de ℚ(Z₁,Z₂,Z₃,Z₄,Z₅) : ce dernier est de dimension 120 sur E, et une base est donnée par les monômes Z₁^i₁·Z₂^i₂·Z₃^i₃·Z₄^i₄·Z₅^i₅ avec i₁<1, i₂<2, i₃<3, i₄<4 et i₅<5 (cela fait bien 1×2×3×4×5=120 monômes au total). On obtient ainsi une matrice 12×120 pour les puissances de Q. Puis on exprime δ dans cette même base, ce qui donne un vecteur (ligne, disons) de taille 120. Il reste simplement à trouver quelle combinaison linéaire (sur E) des 12 lignes de la matrice 12×120 des puissances de Q donne le vecteur pour δ. Si on choisit bien les 12 colonnes parmi 120, ce calcul n'est pas si compliqué que ça : le déterminant de la matrice 12×12 extraite de la matrice 12×120 est un polynôme (en cinq variables e₁,…,e₅) assez gros (en choisissant bien mes colonnes, je trouve un déterminant à 8156 termes, qui se calcule en quelques secondes sous Sage. Ce qui est compliqué, c'est que ce déterminant n'est pas irréductible, or dès qu'on commence à l'avoir pour dénominateur, Sage essaye d'exprimer les fractions (les éléments de E, qui sont rapports de deux polynômes en e₁,…,e₅) sous forme irréductible, donc il faut calculer un PGCD de polynômes en cinq variables ayant plusieurs milliers de termes, et ça, apparemment, c'est trop difficile. Pour s'en tirer, il faut essayer de faire des calculs voisins qui ont simplement pour but de produire des polynômes qui divisent le déterminant, et quand on divise numérateur et dénominateur par ces polynômes, on s'en tire. Mais même comme ça, le résultat est plutôt atroce : et la morale, c'est que la faute en est aux fractions rationnelles et aux dénominateurs.

Écriture sans dénominateurs : décomposition de Hironaka

J'ai expliqué ci-dessus ce qui se produit pour les fractions rationnelles. J'insiste sur le fait que même si les objets qu'on cherche à exprimer sont, en fait, des polynômes, il peut y avoir lieu d'introduire des dénominateurs. Par exemple, δ peut s'exprimer comme un élément de E(Q), c'est-à-dire sous la forme u₀ + u₁·Q + u₂·Q² + ⋯ + u₁₁·Q¹¹ où u₀,…,u₁₁ sont des éléments de E, mais bien que δ soit un polynôme, ces éléments u₀,…,u₁₁ sont, eux, des fractions rationnelles : il y a un dénominateur dont on ne peut pas se passer.

Que faire si on veut exprimer les polynômes partiellement symétriques en restant complètement dans le cadre des polynômes ? Une réponse possible est fournie par ce qu'on appelle la décomposition de Hironaka (広中) de l'anneau des polynômes symétriques. L'idée est qu'au lieu d'utiliser, disons, 1,Q,Q²,…,Q¹¹ comme base pour exprimer les objets symétriques sous D₅, on utilise une base de polynômes qui ne sont pas tous des puissances d'un même polynôme : c'est-à-dire qu'on cherche des polynômes Q⁽⁰⁾=1, Q⁽¹⁾=Q, Q⁽²⁾, …, Q⁽¹¹⁾, symétriques sous D₅ (pour continuer cet exemple) tels que n'importe quel autre polynôme symétrique sous D₅ puisse s'écrire u₀·Q⁽⁰⁾ + u₁·Q⁽¹⁾ + u₂·Q⁽²⁾ + ⋯ + u₁₁·Q⁽¹¹⁾ avec cette fois u₀,…,u₁₁ des polynômes totalement symétriques (i.e., des polynômes en e₁,…,e₅), uniquement déterminés (symboliquement, et pour ceux qui comprennent : ℚ[Z₁,…,Z₅]^D₅ = ⨁_0≤i≤11(ℚ[e₁,…,e₅]·Q⁽ⁱ⁾)). Ce qu'on gagne dans l'histoire, c'est qu'on n'a plus de dénominateurs ; ce qu'on perd, c'est que les Q⁽ⁱ⁾ ne sont plus produits comme les puissances d'un seul polynôme Q, il y a énormément de choix possibles. Dans ce contexte, les polynômes e₁,…,e₅ s'appellent les invariants primaires et Q⁽⁰⁾,…,Q⁽¹¹⁾ les invariants secondaires de la décomposition de Hironaka de l'anneau ℚ[Z₁,…,Z₅]^D₅ des polynômes symétriques sous D₅.

Il y a une chose au moins qui est fixée, ce sont les degrés des invariants Q⁽⁰⁾,…,Q⁽¹¹⁾. Pour expliquer ça, il faut parler un peu de séries de Hilbert-Poincaré. Si on appelle d_k la dimension (sur ℚ) de l'espace vectoriel des polynômes de degré total k qui sont symétriques sous D₅ (pour continuer cet exemple-là), on peut aisément calculer les premiers termes de cette suite : 1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147… (par exemple, d₂=3 parce que tout polynôme de degré 2 symétrique sous D₅ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des trois polynômes e₂, e₁² et Q). Cette suite vérifie une relation de récurrence qui signifie précisément que sa fonction génératrice, c'est-à-dire la série formelle ∑_k(d_k·t^k) (dans l'indéterminée formelle t) est en fait une fraction rationnelle ; on peut en fait être plus précis : si on considère la suite analogue pour les polynômes totalement symétriques (soit : 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 30, 37… d'après l'écriture des polynômes totalement symétriques au moyen de e₁,…,e₅, il s'agit du nombre de façons de partitionner k comme somme de nombres ≤5), sa fonction génératrice vaut exactement ((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵))⁻¹, et la fonction génératrice pour les polynômes symétriques par un sous-groupe de 𝔖₅ est le produit de cette dernière par un polynôme en t (i.e., est une fraction rationnelle en t dont le dénominateur est — ou en tout cas divise — (1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)). La série formelle en t que je viens de définir s'appelle la série de Hilbert-Poincaré de l'anneau des polynômes symétriques sous le sous-groupe considéré. (Pour éclaircir les choses si jamais elles devenaient brumeuses, je précise que l'indéterminée t ici introduite n'a rien à voir avec les Z₁,…,Z₅ : elle sert simplement à formaliser des calculs avec des suites à récurrence linéaire.) Il existe différents moyens de mener le calcul, qui n'est pas bien difficile, en tout cas les fonctions génératrices des polynômes invariants sous les différents sous-groupes considérés valent :

• pour ℚ[Z₁,…,Z₅]^𝔖₅ : 1/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)) comme on vient de l'expliquer, (soit 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 30, 37…),
• pour ℚ[Z₁,…,Z₅]^𝔄₅ : (1+t¹⁰)/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)), (soit 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 18, 23, 31, 38…),
• pour ℚ[Z₁,…,Z₅]^Aff(5) : (1+t⁴+t⁵+t⁶+t⁷+t⁸)/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)), (soit 1, 1, 2, 3, 6, 9, 14, 20, 30, 41, 57, 75…),
• pour ℚ[Z₁,…,Z₅]^D₅ : (1+t²+t³+2t⁴+2t⁵+2t⁶+t⁷+t⁸+t¹⁰)/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)), (soit 1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147…),
• pour ℚ[Z₁,…,Z₅]^C₅ : (1+t²+3t³+4t⁴+6t⁵+4t⁶+3t⁷+t⁸+t¹⁰)/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)), (soit 1, 1, 3, 7, 14, 26, 42, 66, 99, 143, 201, 273…),
• et pour ℚ[Z₁,…,Z₅] tout entier (aucune symétrie demandée) : 1/((1−t)⁵) = (1+4t+9t²+15t³+20t⁴+22t⁵+20t⁶+15t⁷+9t⁸+4t⁹+t¹⁰)/((1−t)·(1−t²)·(1−t³)·(1−t⁴)·(1−t⁵)), (soit 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365…).

L'intérêt des séries de Hilbert-Poincaré, dans ce contexte, c'est que leur numérateur donne le degré des polynômes intervenant comme invariants secondaires dans la décomposition de Hironaka telle que je l'ai expliquée plus haut. Par exemple, pour le cas de D₅, où le numérateur vaut 1+t²+t³+2t⁴+2t⁵+2t⁶+t⁷+t⁸+t¹⁰, les 12 invariants secondaires qu'on recherche devront se répartir en : un de degré 0, un de degré 2, un de degré 3, deux de degré 4, deux de degré 5, deux de degré 6, un de degré 7, un de degré 8 et un de degré 10. La raison est assez claire quand on compare les dimensions dans la décomposition de Hironaka (la dimension des polynômes de degré k dans ⨁_0≤i≤11(ℚ[e₁,…,e₅]·Q⁽ⁱ⁾) est la somme des dimensions correspondantes pour chaque terme, qui est la dimension correspondante pour ℚ[e₁,…,e₅] décalé du degré de Q⁽ⁱ⁾).

Ceci étant dit, on a beaucoup de liberté pour choisir ces invariants secondaires. (Pour ceux qui comprennent : une condition nécessaire et suffisante pour que des candidats Q⁽ⁱ⁾ — ayant les bonnes symétries — constituent un jeu d'invariants secondaires, est que leurs classes forment une base du ℚ-espace vectoriel des polynômes ayant les bonnes symétries modulo l'idéal engendré par (e₁,…,e₅).) Par exemple, si on a choisi les invariants pour un certain sous-groupe de symétries, on peut réutiliser ces invariants pour un sous-groupe plus petit (donc plus de polynômes symétriques).

À titre d'exemple, un système d'invariants secondaires possible pour D₅ est (Q⁽⁰⁾ à Q⁽¹¹⁾ si on veut) :

• 1,
• P = Z₁²Z₂Z₅ + Z₁²Z₃Z₄ + Z₁Z₂²Z₃ + Z₁Z₂Z₄² + Z₁Z₃²Z₅ + Z₁Z₄Z₅² + Z₂²Z₄Z₅ + Z₂Z₃²Z₄ + Z₂Z₃Z₅² + Z₃Z₄²Z₅,
• P₅ = Z₁²Z₂²Z₃ + Z₁²Z₂²Z₅ + Z₁²Z₂Z₄² + Z₁²Z₂Z₅² + Z₁²Z₃²Z₄ + Z₁²Z₃²Z₅ + Z₁²Z₃Z₄² + Z₁²Z₄Z₅² + Z₁Z₂²Z₃² + Z₁Z₂²Z₄² + Z₁Z₃²Z₅² + Z₁Z₄²Z₅² + Z₂²Z₃²Z₄ + Z₂²Z₃Z₅² + Z₂²Z₄²Z₅ + Z₂²Z₄Z₅² + Z₂Z₃²Z₄² + Z₂Z₃²Z₅² + Z₃²Z₄²Z₅ + Z₃Z₄²Z₅²,
• P₆ = Z₁²Z₂²Z₃Z₄ + Z₁²Z₂²Z₄Z₅ + Z₁²Z₂Z₃²Z₄ + Z₁²Z₂Z₃²Z₅ + Z₁²Z₂Z₃Z₅² + Z₁²Z₂Z₄²Z₅ + Z₁²Z₃Z₄²Z₅ + Z₁²Z₃Z₄Z₅² + Z₁Z₂²Z₃²Z₅ + Z₁Z₂²Z₃Z₄² + Z₁Z₂²Z₃Z₅² + Z₁Z₂²Z₄Z₅² + Z₁Z₂Z₃²Z₄² + Z₁Z₂Z₄²Z₅² + Z₁Z₃²Z₄²Z₅ + Z₁Z₃²Z₄Z₅² + Z₂²Z₃²Z₄Z₅ + Z₂²Z₃Z₄²Z₅ + Z₂Z₃²Z₄Z₅² + Z₂Z₃Z₄²Z₅²,
• P₇ = Z₁⁴Z₂²Z₃ + Z₁⁴Z₂Z₄² + Z₁⁴Z₃²Z₅ + Z₁⁴Z₄Z₅² + Z₁²Z₂⁴Z₅ + Z₁²Z₂Z₅⁴ + Z₁²Z₃⁴Z₄ + Z₁²Z₃Z₄⁴ + Z₁Z₂⁴Z₄² + Z₁Z₂²Z₃⁴ + Z₁Z₃²Z₅⁴ + Z₁Z₄⁴Z₅² + Z₂⁴Z₃²Z₄ + Z₂⁴Z₃Z₅² + Z₂²Z₄⁴Z₅ + Z₂²Z₄Z₅⁴ + Z₂Z₃⁴Z₅² + Z₂Z₃²Z₄⁴ + Z₃⁴Z₄²Z₅ + Z₃Z₄²Z₅⁴,
• P₈ = Z₁⁴Z₂³Z₃ + Z₁⁴Z₂Z₄³ + Z₁⁴Z₃³Z₅ + Z₁⁴Z₄Z₅³ + Z₁³Z₂⁴Z₅ + Z₁³Z₂Z₅⁴ + Z₁³Z₃⁴Z₄ + Z₁³Z₃Z₄⁴ + Z₁Z₂⁴Z₄³ + Z₁Z₂³Z₃⁴ + Z₁Z₃³Z₅⁴ + Z₁Z₄⁴Z₅³ + Z₂⁴Z₃³Z₄ + Z₂⁴Z₃Z₅³ + Z₂³Z₄⁴Z₅ + Z₂³Z₄Z₅⁴ + Z₂Z₃⁴Z₅³ + Z₂Z₃³Z₄⁴ + Z₃⁴Z₄³Z₅ + Z₃Z₄³Z₅⁴,
• Q = Z₁Z₂ + Z₁Z₅ + Z₂Z₃ + Z₃Z₄ + Z₄Z₅,
• Q₃ = Z₁²Z₂ + Z₁²Z₅ + Z₁Z₂² + Z₁Z₅² + Z₂²Z₃ + Z₂Z₃² + Z₃²Z₄ + Z₃Z₄² + Z₄²Z₅ + Z₄Z₅²,
• Q₄ = Z₁²Z₂Z₃ + Z₁²Z₄Z₅ + Z₁Z₂²Z₅ + Z₁Z₂Z₃² + Z₁Z₂Z₅² + Z₁Z₄²Z₅ + Z₂²Z₃Z₄ + Z₂Z₃Z₄² + Z₃²Z₄Z₅ + Z₃Z₄Z₅²,
• Q₅ = Z₁⁴Z₂ + Z₁⁴Z₅ + Z₁Z₂⁴ + Z₁Z₅⁴ + Z₂⁴Z₃ + Z₂Z₃⁴ + Z₃⁴Z₄ + Z₃Z₄⁴ + Z₄⁴Z₅ + Z₄Z₅⁴,
• Q₆ = Z₁⁴Z₂Z₃ + Z₁⁴Z₄Z₅ + Z₁Z₂⁴Z₅ + Z₁Z₂Z₃⁴ + Z₁Z₂Z₅⁴ + Z₁Z₄⁴Z₅ + Z₂⁴Z₃Z₄ + Z₂Z₃Z₄⁴ + Z₃⁴Z₄Z₅ + Z₃Z₄Z₅⁴,
• δ.

(Les six premiers forment un système d'invariants secondaires pour Aff(5), et — comme on le sait déjà — le premier et le dernier ensemble forment un système d'invariants secondaires pour 𝔄₅.) N'importe quel polynôme symétrique sous D₅ est donc combinaison linéaire des douze polynômes ci-dessus avec des coefficients dans ℚ[e₁,…,e₅] ; et le polynôme est symétrique sous Aff(5) si et seulement si seuls les six premiers interviennent, sous 𝔄₅ si et seulement si 1 et δ interviennent.

Une fois choisi un tel système d'invariants secondaires, l'information qu'il faut encore avoir, si on veut être complet, c'est savoir exprimer n'importe quel produit de deux de ces douze polynômes comme combinaison des douze. Par exemple :

• P² = (−e₁⁴·e₄ + 6·e₁²·e₃² − 5·e₁²·e₂·e₄ − 15·e₁³·e₅ − 5·e₂·e₃² + 4·e₂²·e₄ − 5·e₁·e₃·e₄ + 40·e₁·e₂·e₅ + 4·e₄² − 15·e₃·e₅) + (e₁²·e₂ + 5·e₂² − 6·e₁·e₃ − 5·e₄)·P + (−e₁³ − 4·e₁·e₂ + 9·e₃)·P₅ + (−5·e₁² + 7·e₂)·P₆ + e₁·P₇ + 5·P₈,
• P·Q = (−8·e₁³·e₃ + 9·e₁·e₂·e₃ − 8·e₁²·e₄ − 17·e₃² − 6·e₂·e₄ − 20·e₁·e₅) − 8·e₁²·P + 5·e₁·P₅ + 5·P₆ + (16·e₁⁴ − 30·e₁²·e₂ + 39·e₁·e₃ − 12·e₄)·Q + (−8·e₁³ + 6·e₁·e₂ − 18·e₃)·Q₃ + (−6·e₁² − 11·e₂)·Q₄ − 8·e₁·Q₅ − 10·Q₆,
• Q² = (−e₁·e₃ + 3·e₄) + P + e₂·Q (équation déjà plusieurs fois évoquée),
• Q·Q₃ = (−e₁²·e₃ + e₂·e₃ + (5/2)·e₁·e₄ − (5/2)·e₅) + e₁·P − (1/2)·P₅ + ((1/2)·e₁·e₂ − (3/2)·e₃)·Q + (1/2)·e₂·Q₃,
• δ² = Δ (où Δ est le polynôme en e₁,…,e₅ déjà écrit plus haut).

On appelle ça les relations quadratiques de l'algèbre des polynômes invariants, et les polynômes totalement symétriques c_i,j,k tels que Q⁽ⁱ⁾·Q^(j) = ∑_k(c_i,j,k·Q^(k)) s'appellent les coefficients de structure : c'est cela qui joue, dans la présentation donnée par la décomposition de Hironaka, un rôle semblable à celui de l'équation minimale (=résolvante générale) dans l'écriture des corps de fractions rationnelles invariantes. Ces relations définissent la structure d'algèbre sur les polynômes partiellement symétriques (ici sous D₅), c'est-à-dire permettent de calculer n'importe quel produit de tels polynômes lorsque ceux-ci sont exprimés sur la base des invariants secondaires choisis.