David Madore's WebLog: Géométrie plane

On m'a fait remarquer que je n'essaie quasiment jamais, sur ce blog, et c'est dommage, de faire de la vulgarisation mathématique : il y a à cela toutes sortes de raisons, comme le fait idiot qu'il est très fastidieux d'écrire des formules mathématiques, même très simples, dans une page HTML (donc je préfère encore le format PDF dès qu'il s'agit de faire quelque chose d'un minimum sérieux) ; et puis il y a le fait fondamental que la vulgarisation du savoir scientifique est un art très difficile, surtout quand on sait qu'on sera lu aussi bien par des experts et par des gens qui n'y connaissent rien, et qu'on doit s'arranger pour présenter les choses de façon que les uns ne trouvent rien à redire (voire, trouvent ça intéressant) et que les autres comprennent quand même ! Je me contente donc le plus souvent de remarques rapides (et pas forcément très compréhensibles) lorsque je tombe sur quelque chose qui m'excite mathématiquement et qui soit vaguement communicable au profane.

Il y a cependant un sujet dont j'aimerais parler — mais je ne sais pas encore sous quelle forme, parce que je risque d'avoir nettement trop à en dire pour faire juste une entrée de blog, alors ce serait peut-être un feuilleton, que je rassemblerais plus tard dans une unique page HTML (avec encouragements à recopier ce qu'on veut sur Wikipédia). Il s'agit de la géométrie plane.

Pourquoi la géométrie ? Parce que d'une part c'est un sujet qui parle à tout le monde, qui ne rebute pas d'emblée, même les plus réfractaires aux mathématiques : c'est généralement là que la notion de démonstration passe le mieux. Mais d'autre part parce qu'on peut quand même trouver énormément de choses mathématiquement intéressantes à dire, autour de la méthode axiomatique, de la géométrie projective (vue à la Artin et Coxeter), autour de la géométrie algébrique, même. Et, tout simplement, parce que je suis géomètre (c'est mon métier de chercheur, et c'est aussi quelque chose sur quoi j'interviens comme enseignant dans le cadre de la prépa agreg à l'ENS).

Malheureusement, qui dit géométrie dit jolies figures à regarder. Et, mine de rien, c'est bigrement pénible à réaliser correctement avec un ordinateur, des figures de géométrie. À titre d'exemple, prenez la figure ci-contre, censée illustrer le théorème de Desargues (qui assure que si deux triangles, coloriés sur la figure, ont les sommets portés par trois droites concourantes, vertes sur la figure, alors les points de rencontre des côtés correspondants, en bleu sur la figure, sont alignés — enfin, il y a plein de façons de lire la même figure, bien sûr, notamment comme la réciproque de la même chose), un des théorèmes fondamentaux de la géométrie projective. Ça n'a l'air de rien, mais ça a été un boulot important de la produire (surtout que je voulais à la fois satisfaire mon idée de comment les points devaient être placés et l'exactitude des relations mathématiques d'incidence).

Et il n'y a pas que ça : il y a aussi la question quel format graphique utiliser ?. En l'occurrence, cette image est à l'origine un fichier SVG, un format d'images vectoriel : seulement, je ne sais pas dans quelle mesure ce format est nativement compris par les navigateurs Web typiques, donc, ci-contre, j'ai utilisé une image PNG plutôt que de mettre directement le SVG. Mais si vous cliquez sur l'image (faites-le !), vous obtiendrez le SVG, ce qui permettra de savoir si votre navigateur gère ce format (normalement l'image devrait être la même).

Voilà que je n'ai encore rien dit et qu'il faut déjà que je m'arrête. Mais je précise déjà quel serait mon but : il ne s'agirait pas vraiment de parler d'un sujet précis en géométrie, mais plutôt d'expliquer de façon compréhensible au non-mathématicien quels sont, dans l'esprit du programme d'Erlangen de Klein, les différents niveaux d'étude qu'on peut faire de la géométrie plane et des structures qui l'enrichissent, que je pourrais résumer par le tableau suivant :

Géométrie projective d=8
Géométrie elliptique d=3	Géométrie affine d=6	Géométrie hyperbolique d=3
	Géométrie euclidienne d=3 (voire 4)

Pour dire les choses très succinctement, plus on descend dans ce tableau plus on rajoute de la structure : alors que la géométrie projective ne connaît que les droites et les points et une relation d'incidence (un point est sur une droite, une droite passe par un point), la géométrie affine a une notion de droites parallèles, et la géométrie euclidienne a une notion de distances et d'angles. Du coup, cela diminue les transformations qui préservent cette structure : le nombre d que j'ai indiqué dans le tableau mesure le nombre de degrés de liberté dont on dispose encore, compte tenu de la structure imposée. Et de gauche à droite, très grossièrement, on passe de la géométrie elliptique où deux droites ne sont jamais parallèles, à la géométrie affine/euclidienne où c'est un cas possible mais limite, et à la géométrie hyperbolique où deux droites peuvent être, en quelque sorte, plus que parallèles.