Axiome du Choix
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Quelques variantes de l'axiome du choix...
- (CCXXX) (Axiome du choix) Toute famille d'ensembles non
vide admet une fonction de choix.
- (CCCXX) (Axiome du choix dénombrable) Toute suite
d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
- (CCDXX) (Axiome des choix dépendants) Si R est une relation
sur un ensemble non vide telle que pour tout x il existe y vérifiant
xRy alors il existe une suite (xn) telle que xn
R xn+1 pour tout n.
- (UXX) (Théorème de l'ultrafiltre de Tarski) Tout filtre
peut être étendu en un ultrafiltre.
- (UEX) Sur tout ensemble non vide il existe un
ultrafiltre.
- (RCA1) (Régularité de aleph1) Toute suite à valeurs dans
aleph1 est bornée.
- (RSR) R n'est pas une réunion dénombrable d'ensembles
dénombrables.
- (KNIDI) (Postulat de Dedekind) Tout ensemble infini a un
sous-ensemble dénombrable.
- (CCXFX) Toute famille d'ensembles finis admet une fonction
de choix.
- (CCX2X) Toute famille de paires admet une fonction de
choix.
- (CCC2X) Toute suite de paires admet une fonction de
choix.
- (CCC2SPR) Toute suite de paires d'ensembles de réels admet
une fonction de choix.
- (OXT) Tout ensemble peut être totalement ordonné.
- (OXW) (Théorème du bon ordre) Tout ensemble peut être bien
ordonné.
- (OPWW) L'ensemble des parties d'un ensemble bien ordonné
peut être bien ordonné.
- (MNA) Tout ensemble infini est l'union de deux ensembles
infinis disjoints.
- (KNITI) Si X est infini, il existe une chaîne dans P(X)
sans élément maximal.
- (KTIDI) S'il existe une chaîne dans P(X) sans élément
maximal alors X a un sous-ensemble dénombrable.
- (CRXXX) (Principe de sélection) Pour toute famille
d'ensembles à au moins deux éléments, on peut choisir des
sous-ensembles propres de chacun des membres.
- (KXSPW) Tout ensemble a le cardinal d'un sous-ensemble de
l'ensemble des parties d'un certain ordinal.
- (KPNIDI) L'ensemble des parties d'un ensemble infini a un
sous-ensemble dénombrable.
- (CCX4X) Toute famille d'ensembles a 4 éléments a une
fonction de choix.
- (CCXWX) Toute famille d'ensembles bien-ordonnables a une
fonction de choix.
- (MCOF) Tout ensemble totalement ordonné a un sous-ensemble
bien-ordonné cofinal.
- (MVEL) (Axiome de constructibilité) Tout ensemble est
constructible.
- (MODF) Tout ensemble est ordinal-définissable.
- (ODVW) Il existe un bon-ordre ordinal-définissable sur
l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
- (OVW) Il existe un bon-ordre sur l'univers (cette
affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
- (MNAD) (Négation de l'axiome de détermination) Il existe un
ensemble A de suites de naturels tel qu'aucun des deux joueurs ne
possède une stratégie gagnante dans le jeu suivant : I et II jouent
tour à tour un naturel, et I gagne ssi la suite formée appartient à
A.
- (MNMCA1) aleph1 n'est pas un cardinal
mesurable.
- (MNCUMCA1) Le filtre clos cofinal sur aleph1
n'est pas un ultrafiltre.
- (1) 1=1
- (0) 0=1
Voici à présent quelques implications entre ces différents axiomes. Ce
ne sont pas là toutes les implications. En particuliers, les
implications (n'importe quoi)->(1) et (0)->(n'importe quoi) n'y
figurent pas...
- (CCXXX)->(CCDXX)->(CCCXX)
- (CCCXX)->(RCA1)->(RSR)
- (CCCXX)->(KNIDI)<->(KNITI)&(KTIDI)
- (KNITI)->(MNA)
- (KNIDI)->(KPNIDI)
- (CCXXX)->(UXX)->(UEX)
- (CCXXX)->(UXX)->(OXT)
- (CCXXX)->(OXT)->(CCXFX)->(CCX2X)->(CCC2X)->(CCC2SPR)
- (CCXXX)->(CRXXX)<->(KXSPW)->(OXT)
- (CCXXX)->(CCXWX)->(CCXFX)->(CCX2X)->(CCX4X)
- (CCXXX)<->(OXW)
- (OXW)<->(OPWW)
- (OXW)<->(OXT)&(MCOF)
- (MVEL)->(MODF)->(ODVW)->(OVW)->(CCXXX)
- (CCXXX)->(MNMCA1)->(MNCUMCA1)->(MNAD)
- (RCA1)v(MNMCA1)
Voici d'autre part quelques résultats d'indépendance. Le signe -*
signifie « ne permet pas de démontrer ». En particulier, (1)-*(x)
signifie que « x n'est pas démontrable dans ZF », et (x)-*(0) signifie
que « x est consistant avec ZF » (tous ces résultats supposent que ZF
est consistant).
- (CCCXX)-*(CCDXX)-*(CCXXX)
- (1)-*(RSR)
- (1)-*(MNA)
- (UEX)-*(UXX)-*(CCXXX)
- (OXT)-*(UXX)
- (1)-*(CCC2SPR)
- (OXT)-*(CRXXX)-*(CCXXX)
- (CRXXX)*-*(UXX)
- (CCX4X)-*(CCX2X)-*(CCXFX)
- (CCXWX)*-*(OXT)
- (CCXXX)-*(MVEL)
- (MVEL)-*(0)
- (1)-*(MNAD) moyennant une hypothèse de grands cardinaux (à savoir
l'existence d'une infinité de cardinaux Woodin)
- (1)-*(MNMCA1) moyennant l'existence d'un cardinal mesurable
Cela dit, toute suggestion quant à un axiome à rajouter, ou toute
nouvelle implication est la bienvenue.
Autre liens concernant l'Axiome du Choix: la page
d'Eric Schechter à ce sujet, et un groupe de musique dont le
nom est précisément "Axiom of Choice".
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David Madore
Dernière modification : $Date: 1999/03/27 19:55:22 $