Comments on Sur une variante à temps de rétablissement constant du modèle épidémiologique SIR

Étant ingénieur, plus physicien que mathématicien, j'ai toujours été choqué par l'équation R'= γ*I, qui veut dire qu'on peut passer de I à R "immédiatement" après être passé de S à I (disons le lendemain).
L'équation correcte devrait être R'(t) = γ*I(t-T) T étant la durée moyenne entre infection et guérison ou décès.

D'autre part il me semble qu'on pourrait générer des courbes d'infection correspondant assez bien à la réalité en utilisant un modèle SIR ou β serait variable (décroissant de façon continue avec le temps car à mesure que l'épidémie progresse la population prend de plus en plus conscience du besoin de se protéger, sans attendre de consigne brutale de type confinement obligatoire qui fait carrément passer de β1 à β2). Inversement la phase de décroissance après Imax semble durer dans la réalité plus longtemps que ce qui est prévu par les modèles à β constant, car la population sous-estime le risque résiduel et néglige progressivement les précautions nécessaires (donc β augmente).

Très bien vu d'avoir posté sur mathoverflow ! La réponse de Carlo Beenakker est très utile et le mot de François Ziegler à la fin très pertinent aussi.

Pour un groupe maths, il faut un titre maths légèrement plus positif, je pense (genre : "le système d'équadiffs de la variante de SIR machin truc admet une solution exacte", je présume ?).

Ceci dit, pour moi (pas matheux), l'abstract était parfait. Faut-il le parfumer avec un gramme de jargon ? faisant référence à la proposition 1.10 ? Elle semble importante et nouvelle (puisque non sourcée et prouvée dans le papier), donc elle mériterait peut-être d'être dans une partie 1bis et pas dans une partie "Recollections about classical…".

A layman's thoughts.

@Ruxor: les suggestions de publication mentionnées ici, c'est ce dont parle https://twitter.com/gro_tsen/status/1247896038007955456 ?

Je ne comprends pas pourquoi tu veux absolument des solutions lisses, ça te restreint vraiment sur les modèles possibles (par exemple la suggestion de Glandu avec des Diracs est écartée) et puis même au niveau de la modélisation, il y a plein de situations où les choses ne sont pas lisses.

Même au niveau mathématique c'est compliqué pour résoudre des EDO et des EDP, on se place rarement dans \mathcal{C}^\infty, on a pas inventé les espaces de Sobolev pour rien ;) et au niveau numérique c'est encore "pire".

« Le même problème fait qu'il n'est pas évident de simuler numériquement une telle équation, faute de savoir comment la démarrer : la notion même de valeur initiale n'a pas de sens clair comme elle en a pour les équations différentielles. »

En fait, ce que tu veux modéliser, c'est zéro infecté avant le patient zéro, qui représente une soudaine augmentation du taux d'infectés à une valeur faible ε:

Ṡ(t) = −βI(t)S(t) - εδ(t)
İ(t) = βI(t)S(t) + εδ(t) - βI(t-T)S(t-T)
Ṙ(t) = βI(t-T)S(t-T)
S + I + R = 1
S(t < 0) = 1

Cela n'est pas C infini mais tu trouveras bien une formule.

@Hugues: Cela ne devrait pas être plus difficile que pour un épidémiologiste de publier un article de géométrie algébrique.

Tu devrais essayer de faire publier ça quelque part (mais je ne saurais trop dire où).

Il faudrait peut être considérer que l’exposition au virus n’est pas un événement discret mais continu. Du coup il se crée un lien endogène entre le nombre d’infectés, la probabilité d’être infecté et le temps de rétablissement (éventuellement en bornant par le décès).

Cela rendrait compte de la différence qu’il y a entre allé dans un bureau vide ou il y a eu des gens infectés (avec des traces), faire ses courses dans un supermarché avec des micro-expositions nombreuses, et travailler dans un hôpital en traitant de nombreux malade avec une exposition énorme à l’infection. Cela expliquerait pourquoi il y a des formes plus graves et sur des plus jeunes anecdotiquement constatées dans les hôpitaux.

Je suppose que cela devrait augmenter la pente à la fois à la hausse et à la baisse et sans doute créer un effet plateau au moment de la transition (quand on a le plus de gens très malades et donc des doses maximales d’exposition potentielles mais qui touche un nombre decroisssant de personnes)

Excellent papier, bravo ! Je suis presque surpris (en fait, je suis surpris) que ça n'ait pas déjà été traité dans la littérature "tout venant". Comme quoi le domaine de la recherche est souvent "round the corner".

Sur la question finale (pourquoi le taux d'attaque final est identique) ça me semble ~intuitif (ceci n'est pas une démo) avec un raisonnement "à l'équilibre, tout ce qui compte, c'est la proportion de porteurs contagieux dans la population" mais c'est idiot puisqu'à l'équilibre, i->0. Il faudrait donc pouvoir dire "pour t assez grand, tout ce qui compte, c'est la proportion de porteurs contagieux dans la population", mais c'est vaseux.

Pour t petit, la conclusion "l'observation naïve du taux de croissance en début d'épidémie surestime le taux de transmission" me frappe d'autant plus que j'ai fait l'erreur :-) (dans ma présentation "pour les nuls", https://www.linkedin.com/pulse/maths-de-lépidémie-pour-les-nuls-frédéric-lefebvre-naré/).

Très bonne nouvelle (et très accessible à l'intuition) du modèle à temps de guérison constant : la pente retombe plus vite une fois dépassée la moitié de la contagion (actuellement R semble suffisamment tombé, pendant le confinement, pour qu'on puisse espérer un "taux d'attaque final" faible… à confinement constant). Celles et ceux qui sont en train de modéliser la courbe avec des gaussiennes n'ont pas si tort !

Pourquoi tiens-tu à avoir une solution analytique (ou éventuellement seulement C∞) ? Intuitivement je me dirais que c'est pour avoir une solution la plus canonique possible, mais quand tu écris ça tu ne sais même pas encore si elle existe… Là ça marche, évidemment, mais je ne vois pas de raison a priori de penser que ça devait marcher, je suis curieux si tu peux m'éclairer.