Comments on Sur les fonctions réelles continues et le compactifié de Stone-Čech

C'est assez drôle pour moi de tomber sur cet article de blog maintenant. Il y a quelque mois je m'étais mis dans l'idée de m'intéresser au domaine des maths (alors pour moi totalement inconnu) qu'était la géométrie non commutative et il s'était avéré que cette dernière utilisait ce théorème de Stône-Chech comme base importante aux nouveau concepts qu'elle introduisait.

Seulement comme les bouquins de géométrie non commutative semblaient supposer que ce théorème était acquis pour tout leurs lecteurs, ils ne prenaient pas la peine de présenter correctement le résultat ni même de pointer vers d'autres bouquins qui pourraient le faire à leur place (c'est un problème que je rencontre trop souvent quand je fais des recherches sur des domaines des maths nouveaux). Du coup je suis assez content de tomber pour une fois sur un texte de niveau n-1 en spécialisation pour faire le lien (mais ça serait encore mieux si lesdits bouquins arrivaient à être conscients des prérequis nécessaires pour les lire et donnaient des références pour si besoin les combler).

Tu supposes aussi du lecteur qu'il sait prononcer « Čech » ;)

C'est fascinant, merci pour ce bel aperçu !

> Il est évident que la somme et le produit de deux fonctions bornées sont bornés, si bien que C*(X) est un sous-anneau de C(X).

Is “si” a typo here?

Je ne connaissais pas cette approche algébrique de la topologie et s'il y a un concept que j'ai eu du mal à appréhender en topologie c'est bien la compacité.

Article super intéressant !

Je me souviens du Gillman & Jerison comme d'un bouquin un peu austère. Tu l'as apprécié ?

(Et question d'encodage à deux U+00A4 ¤ CURRENCY SIGN : sur mon téléphone, globalement tous les caractères s'affichaient bien, à l'exception de l'indice ₁ (càd que même ₂ s'affichait bien). Tu as une idée de ce qui peut causer une telle difficulté ?).

I wonder if there is a profound meaning between all the cases of geometry/algebra duality present in mathematics:
- the (Gelfant-Kolmogorov) duality between topological spaces and their ring of continuous functions which you explain
- the embedding of smooth manifold into diffeological space via the faithful functor $C^\infty(X,R)$.
- Gelfand duality for C*-commutative algebra (which is essentially like the first duality except we take complex valued continuous functions), or more generally the Gelfand-Naimerk duality between C*-algebra and bounded operators on an Hilbert space
- the Spec/O(X) duality for affine schemes.
- the locale frame duality (which is trivial; but what is less trivial is the functor from Top to Locales)
- and a lot more…

There is of course the very general Isbell duality between [C,V]^op and [C^op, V], but the proof is a tautology. When we have a finite algebraic theory T, we have the free algebra F_T(1) which correspond geometrically to the T-line object A^1_T. So if X is geometric, we can consider the algebra Hom(X, A^1_T), and when R is algebraic we can consider the geometric object Hom(F_T(1), R). The key point is that somehow $F_T(1)$ can be seen as a universal *algebraic and geometric* object. In the above duality something similar happens for R (resp. C, resp Z[X]).

But I am still feeling I am missing something much more profound.