Comments on Encore de jolies images quasipériodiques

@sbi:

• Pour chaque domaine fini du plan, mon système n'a qu'un nombre fini de configurations ; par contre, si on regarde le plan tout entier, l'ensemble des instants où la configuration change est dense dans ℝ. Mais mon script ne se préoccupe pas de faire les changements minimaux précisément aux bons moments : il attend « un certain temps » (déterminé par la rapidité du navigateur) et recalcule l'image pour ce temps-là.

• Je ne sais pas bien si mon système vérifie des règles d'alignement des losanges, ni lesquelles. (Le truc est qu'il est donné par une construction explicite, alors que les pavages de Penrose sont donnés par des contraintes à satisfaire. Ce n'est pas évident de savoir si une construction explicite vérifie des contraintes… ni ce que ça veut dire exactement.) D'un côté, il est impossible que mon système ne génère, sur une une grande région, que des losanges d'un certain type, donc ce n'est pas juste un pavage quelconque par des losanges. De l'autre, il ne vérifie pas les contraintes d'alignement du pavage de Penrose pentagonal :

• Dans le cas pentagonal (lorsque seven=5, donc, où il n'y a que deux types de losanges), le système que j'utilise peut et va générer des points où dix losanges fins se rencontrent. Ces points ne sont pas possibles (=ne vérifient pas les contraintes) dans le pavage de Penrose pentagonal par des losanges avec contraintes. On peut cependant ajouter une restriction à la construction que j'utilise, qui sera vérifiée à des temps particuliers, qui donne cette contrainte, et c'est ça que fait l'article de de Bruijn dont je me suis inspiré. Lorsque seven=7 je ne sais pas du tout si la construction que j'utilise a une quelconque propriété mathématique intéressante à part « être jolie ».

@RRt: Ah oui, d'accord. Là aussi, j'ai un peu la flemme, mais au moins sous Firefox, on peut faire clic droit sur l'image pour ouvrir un menu contextuel, et control-clic sur « view image » pour ouvrir l'image dans un nouvel onglet (qui aura une URL en « blob: »), ensuite on peut facilement en comparer deux pour voir ce qui a changé.

@sbi: Quelques éclaircissements :

• Les modifications que j'ai faites au fur et à mesure ne font qu'ajouter de nouvelles options d'affichage (modes de coloriage supplémentaires, possibilité de changer l'échelle et de se déplacer) : celles qui existaient déjà n'ont jamais été changées, donc il n'y a pas de comparaison avant/après à faire.

• La construction est déterministe au sens où tout le monde voit la même chose au même moment (modulo le fait que les mises à jour de l'image sont plus ou moins fréquentes selon la rapidité du navigateur, pour ne pas surcharger le processeur). Si ta question est de savoir où le paramètre temps intervient dans la description que j'ai faite, c'est dans le décalage par rapport à l'origine des sept familles de droites constituant l'heptagrille (il faut donc imaginer qu'il y a sept familles de droites parallèles régulièrement espacées, chacune se déplaçant à vitesse constante perpendiculairement à sa direction commune — comme une onde plane si on veut — tout en préservant la symétrie d'ordre 7 par rapport à l'origine).

• Je ne comprends pas bien ta question sur les règles à respecter, mais je devrais sans doute préciser que ce que je dessine n'est pas précisément un pavage de Penrose, même si c'est quelque chose de proche. Je suis parti d'une construction de pavages de Penrose (à symétrie pentagonale — je ne sais pas si ceci est un pléonasme) que j'ai trouvée dans la littérature mathématique, j'ai supprimé une contrainte de la construction (essentiellement, de Bruijn impose que la somme des déplacements des cinq familles de droite dans sa pentagrille soit nulle, et la conséquence essentielle est que ça empêche les sommets où dix losanges « étroits » se rencontrent), et j'ai trivialement généralisé à d'autres symétries que pentagonale. Mon but était juste de faire quelque chose de joli, je ne sais pas si ça a des propriétés théoriques très intéressantes (même si la construction elle-même est élégante). Les pavages de Penrose ne sont pas juste quasipériodiques, mais les pièces du pavage ont la propriété de ne pouvoir donner que des pavages quasipériodiques (soit par leur forme elle-même soit par des contraintes supplémentaires sur leur agencement) ; ce que je trace est quasipériodique mais il n'y a pas de contrainte supplémentaire de ce genre.

• Pour la valeur de seven, je répète que le principal problème est que c'est délicat de décider ce qu'il faut recalculer quand on la modifie. Mais bon, à force que tout le monde insiste, je vais peut-être quand même me sortir les doigts du c**…

Et hop, j'ai ajouté encore trois nouveaux jeux de couleurs, que je crois que je préfère encore à tous ceux que j'avais jusqu'à présent. (J'avais pourtant résolu de ne plus toucher à ce code…)

@JML: Il y a effectivement des points où on trouve une symétrie locale : ce sont les (x,y) tels que (2/7)·(x·cos(2kπ/7)+y·sin(2kπ/7)) soit proche d'un entier pour chaque k (entre 0 et 6). (Sachant que dans mon affichage par défaut, la coordonnée x est verticale et va de −32 à +32, tandis que la coordonnée y est horizontale et va de −43 à +43 environ.) Ceci étant, je ne sais pas bien comment on fait pour trouver effectivement de tels points (c'est une question d'approximation diophantienne simultanée ; je sais qu'on doit pouvoir utiliser l'algorithme LLL d'une manière ou d'une autre, mais je n'ai jamais regardé ces questions-là de près).

Sinon, c'est embarrassant, j'avais écrit que l'animation était périodique d'une semaine, mais en fait j'avais fait une erreur d'un facteur 1000 parce que j'avais oublié que JavaScript renvoyait le temps en millisecondes et pas en secondes. Donc en fait mon animation est périodique de période une millisemaine, c'est-à-dire 10 minutes et 04.8 secondes. Maintenant que c'est fait, je vais laisser comme ça…

@DH: Pour jouer avec le code, le mieux est de sauvegarder la page (cliquer sur le permalien d'abord, pour avoir juste l'entrée en question), éditer le fichier HTML (il est complet, le JavaScript est intégré dedans), et l'ouvrir dans un navigateur avec une URL en file:///machin/truc.html — normalement rien dans la page ne dépend de son emplacement.

@JML: Je sais que modifier la valeur de "seven" fonctionne, mais ce qui est pénible c'est de savoir quoi réinitialiser si on la modifie, et c'est essentiellement par flemme de retrouver ça que je n'ai pas mis de menu déroulant. (Et puis, il faut bien laisser un petit cadeau aux gens qui font l'effort d'aller lire le code !)

@Fab: Ma préférence pour les teintes de gris est purement esthétique (mathématiquement, de toute façon, toute l'information est déjà contenue dans l'emplacement et la forme des losanges). Je trouve ça plus sobre, et surtout, ça permet de mieux voir la symétrie d'ordre 7 que le jeu de couleurs cache.

Allez, pour faire bon poids, j'ai ajouté encore un système de couleurs, qui utilise des teintes de gris sauf les axes centraux qui sont mis en lumière.

Et puis tant qu'à faire, j'ai aussi ajouter une option pour changer l'échelle.

@Typhon: Vos désirs sont des ordres pour moi. 😁 J'ai ajouté une option pour passer en couleurs (la couleur étant choisie d'après l'orientation du losange alors que la teinte de gris l'est d'après sa forme). Je persiste à préférer nettement la version en teintes de gris.