Comments on Jouons maintenant avec le groupe de Weyl de F₄ parce que c'est plus facile

Ruxor (2018-04-23T14:30:07Z)

@Bellon: Pour le calcul de l'ordre d'un groupe de Weyl, je connais essentiellement deux formules : l'une est comme le produit des degrés, mais ce n'est pas très utilisable parce qu'on ne connaît pas les degrés a priori ; l'autre est comme le produit des coefficients de la plus haute racine sur la base des racines simples, multiplié par la factorielle du rang, multipliée par l'indice de connexion (pour E₇ par exemple, ça donne (2×2×3×4×3×2×1)×7!×2 = 2903040), c'est démontré dans le livre de Kane de 2001 *Reflection Groups and Invariant Theory* (précisément théorème 11-6) ; les coefficients de la plus haute racine eux-mêmes se retrouvent assez facilement en écrivant le diagramme de Dynkin étendu et en résolvant de proche en proche (le nœud étendeur a coefficient 1, et par exemple quand un nœud n'a que des liens simple, son coefficient est la moitié de la somme des coefficients de ses voisins).

Bellon (2018-04-23T08:10:10Z)

Finalement, j'ai pu trouver que Weyl de E7 sur Weyl de A7 a 72 éléments. La jolie factorisation du résultat est un signe que je n'ai pas dû me tromper; pour E8 sur D8, je trouve 134, et les mêmes arguments de simplicité des facteurs premiers me font penser que 135 est la bonne solution.

Pour l'histoire de l'évolution simple des dernières composantes, il faut penser que les murs des chambres de Weyl de E8 sont soit des murs de la chambre principale de D8, par lesquelles nous ne voulons pas prendre de symétrie pour ne pas sortir de cette chambre de D8, soit un conjugué par D7 (les vecteurs communs aux diagramme de E8 et D8) du vecteur propre à E8, dont la dernière composante est 1/2, ou un opposé. Si l'on prend un opposé, on revient en arrière dans l'arbre, le vecteur "central" a un produit scalaire 1 avec tous les vecteurs définissant les murs donc on passe du vecteur à celui d'une cellule adjacente en retranchant un vecteur ayant 1/2 comme dernière composante.

Je me demandais s'il était facile de calculer l'angle solide occupé par une chambre de Weyl, ce qui serait une façon de calculer la taille du groupe de Weyl.

Ruxor (2018-04-19T20:34:03Z)

@Bellon: Je comptais poster ça dans une entrée prochaine (j'ai été un peu retardé par mes déboires neuropsychiatriques), mais j'ai calculé un joli graphe de la cellule de Weyl dominante de D₈ décomposée en cellules de Weyl de E₈ avec une arête représentant chaque mur : <URL: http://www.madore.org/~david/math/we8modd8.pdf > (le code de couleurs est le même que sur <URL: https://aimath.org/E8/e8graphinfo.html >, même si j'avoue ne pas avoir les idées très claires sur le rapport entre le graphe que j'ai tracé et les graphes cristal (crystal ? cristaux ? cristals ?)). J'ai fourni le graphe à GraphViz en triant les sommets par ordre lexicographique comme elles le sont dans mon entrée de blog, et il a pour ainsi dire découvert pour moi que la dernière coordonnée change de ½ à chaque fois (c'est peut-être facile, je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir vraiment).

Bellon (2018-04-19T20:19:36Z)

L'approche par les cellules me paraît intéressante, mais elle s'éloigne du projet de représenter les éléments du groupe de Weyl par les images d'un vecteur dominant.
Il y a deux descriptions duales de la cellule de Weyl, par les vecteurs orthogonaux aux murs ou par les vecteurs 'de coin'. Les coins permettent d'avoir facilement un vecteur à l'intérieur de la cellule, mais ils sont moins stables que les murs, où seuls les voisins dans le diagramme de Dynkin du vecteur par lequel on fait la symétrie sont modifiés. Comme chaque symétrie est une isométrie, les images successives gardent les mêmes relations métrique codées par le diagramme de Dynkin.

Dans le cas de F4, il est assez facile de suivre les trois symétries qui aboutissent à avoir un mur donné par le vecteur (0,0,-1,1), qui montre que l'on ne peut pas aller plus loin sans sortir de la chambre de Weyl de D4.
(Il y a un typo pour la deuxième chambre, où le centre est donné par (1,2,3,5), alors que le vecteur que tu donnes est sur un mur.) En fait, il n'est même pas besoin de considérer des tétraèdres, parce que l'un des murs ne change pas, mais les triangles sphériques à considérer sont grands (ils ont deux angles obtus et occupent donc plus d'un octant de la sphère), ce qui rend leur visualisation un peu délicate.

J'ai essayé de suivre les murs pour E8, mais là, suivre les aventures des 8 murs pour plus de 20 chambres successives devient difficile sur un papier. Il y aurait aussi la possibilité d'étudier le cas du couple E7 A7,
avec les racines simples de E7 codées par (-1,1,0,0,0,0,0,0), (0,-1,1,0,0,0,0,0), jusqu'à (0,0,0,0,0,-1,1,0) et
(1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,1/2). Les vecteurs ont huit composantes, mais comme la somme des coordonnées est toujours 0, nous sommes bien dans un espace de dimension 7. Le vecteur dominant a pour coordonnées (-19/4,-15/4,-11/4,-7/4,-3/4,1/4,5/4,49/4).
Mais comme je ne sais pas calculer la taille du groupe de Weyl de E7, je ne sais pas si la situation est franchement plus simple que pour E8.

Je m'arrête là, parce que, même si j'ai toujours été intéressé par ces structures exceptionnelles, je n'y connais pas grand chose et que je découvre que je n'avais aucune idée de la taille du groupe de Weyl des algèbres de Lie exceptionnelles (à part G2!).

Ruxor (2018-04-09T12:55:55Z)

@interesting comment: J'ose espérer que les gens qui ne connaissent pas « := » devinent d'après le contexte, ou devinent au moins qu'il s'agit d'une sorte d'égalité. N'essaye pas de me faire douter de l'intelligence des lecteurs de mon blog (qui sont notoirement de la plus haute qualité).

interesting comment (2018-04-09T11:40:09Z)

"4! :=" … Le symbole ":=" étant probablement moins connu que le symbole factoriel, j'imagine qu'il vaut mieux dire "est défini comme" ou un truc du genre.

Ruxor (2018-04-06T10:59:31Z)

@Ilia: Si je ne me suis pas planté, la cellule de Weyl de B₄ formée des vecteurs à composantes positives dans l'ordre croissant est réunion de trois cellules de Weyl de F₄, à savoir :

• celle de (1/2, 3/2, 5/2, 11/2) où la dernière composante est supérieure à la somme des trois premières,

• celle de (1, 2, 4, 5) où la dernière composante est inférieure à la somme des trois premières mais supérieure à la somme des deux du milieu moins la première (5 est compris entre −1+2+4 et 1+2+4),

• et celle de (1/2, 5/2, 7/2, 9/2) où la somme des deux composantes du milieu est supérieure à celle des deux extrêmes.

Le vecteur (1/2, 3/2, 5/2, 9/2) est sur le mur séparant les deux premières, et (1/2, 3/2, 5/2, 7/2) est sur le mur séparant les deux suivantes. Mais ces deux murs se rencontrent sur un des murs de la cellule de Weyl de B₄.

Toutes ces cellules sont des tétraèdres (sphériques, pas spécialement réguliers) et j'avoue que je n'y vois rien du tout dans l'espace (comment on fabrique un tétraèdre à partir de trois tétraèdres, comme ça ?).