Comments on Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de 𝔖₆)

Pour tout n différent de 6 (et c'est faux pour 6), on a l'énoncé suivant : pour toute action libre de S_n sur un ensemble à n éléments, il existe une façon de renommer ces éléments 1,…,n de telle sorte que S_n agisse de la façon usuelle.

Pour tout n différent de 2 (et c'est faux pour 2), on a l'énoncé suivant : pour toute action libre de S_n sur un ensemble à n éléments, il y a au plus une façon de renommer ces éléments 1,…,n de telle sorte que S_n agisse de la façon usuelle.

Je ne dis pas que le second énoncé (unicité au lieu d'existence) est profond, mais il me fait marrer !

(Le second énoncé ne porte en réalité que sur l'action usuelle.)

Une "autre" façon de paraphraser l'existence de l'isomorphisme exceptionnel est la suivante, qui n'aidera ni le profane complet ni celui qui a déjà "tout compris" : le groupe S_n agit de manière libre sur {1,…,n} d'une unique manière (au sens où si on en a deux, la seconde est égale à la première à renommage des éléments de {1,…,n} près), sauf pour n=6 où il y a deux actions à renommage près. David a exposé l'intuition "catégorie", là c'est une intuition plus terre à terre "action de groupe".

Bon, au cas où ça aiderait certains lecteurs à démêler ce qui est "figé" de ce qui est "renommable", il faut penser S_n comme donné de manière extrêmement explicite : par exemple, il y a l'élément (1 2 3) qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1 et ne bouge rien d'autre. Ainsi, S_n n'est pas considéré à je-ne-sais-quoi près : c'est un registre d'instructions on ne peut plus explicites.

Ce groupe, explicite, agit (comme on l'a indiqué) sur {1,…,n} de la façon usuelle. On peut s'intéresser à d'autres actions de ce groupe que celle qu'on vient de voir : le groupe S_n est figé, mais on peut le faire agir sur bien des ensembles et de moultes manières ! On s'intéresse dans cette discussion au cas où l'ensemble a n éléments et où l'action est libre. Eh bien, sauf pour n=6, si je prends une telle action, je peux numéroter les éléments de mon ensemble de 1 à n de telle sorte que, vu avec ces lunettes, chaque élément de S_n agisse exactement comme dans son action usuelle (par exemple, l'élément noté (1 2 3) va effectivement envoyer 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1 et ne rien faire d'autre).

Ainsi, sauf pour n=6, "dans de bonnes coordonnées", toute action libre de S_n sur un ensemble à n éléments se ramène à ("se lit comme") l'action usuelle ; et pour n=6, on peut trouver une action libre sur un ensemble à 6 éléments qui ne se ramène pas à l'action usuelle (et il n'y en a qu'une à "changement de coordonnées près").

En fait je me disais qu'une bonne partie de l'entrée, depuis « j'admire la figure » jusqu'à « ouch les néo », est très accessible au lycée — mais tout public potentiel est certainement perdu au premier dzéta, éta ou ksi…
Et oui merci d'avoir bien rappelé tout du long comment ça s'enlace sinon il aurait fallu scroller jusqu'à la définition à chaque fois :)

Maintenant, je me rends compte que je faisais une confusion, parce que je croyais qu'on construisait un morphisme particulier, qu'il n'y avait qu'un seul automorphisme exceptionnel. J'ai dû rédiger pour débrouiller ma confusion… ça donne un commentaire qui tend à devenir aussi long que l'entrée, bon, t'es pas obligé de lire.

La construction 6 objets → 6 pentades → 6 néo-objets me donne automatiquement, en suivant la construction, pour s une permutation des objets, p(s) une permutation des pentades, puis P(p(s)) une permutation des néo-objets. Par identification des néo-objets aux objets, P(p(s)) est une permutation des objets, et en fait on peut montrer (on explicitant pour une transposition et un 6-cycle ? ou parce que le seul endomorphisme canonique est l'identité ?) que P(p(s)) = s, on est revenu au point de départ. Du coup une permutation t quelconque des pentades peut être obtenue à partir d'une certaine permutation des objets, à savoir P(t) : p(P(t)) = t. (P est la réciproque de p.)

On peut aussi montrer que p(s2 o s1) = p(s2) o p(s1) : p est un morphisme qui couvre toutes les permutations des pentades puisqu'il admet une réciproque. Si l'on se donne une identification des pentades aux objets, on pourra voir p comme un automorphisme sur les objets, c'est-à-dire un automorphisme de 𝔖₆.
Pour expliciter : on se donne c une correspondance arbitraire objets → pentades. Je note c' sa réciproque qui ramène aux objets, et on pose
M(s) = c' o p(s) o c
On obtient bien un morphisme :
M(s2 o s1) = c' o p(s2 o s1) o c = c' o p(s2) o c o c' o p(s1) o c
= M(s2) o M(s1)
M dépend d'un choix arbitraire de c, on pourrait le noter M_c. Il s'appelle tout de même « l'automorphisme exceptionnel/extérieur de 𝔖₆ », comme s'il n'y en avait qu'un seul, parce que le choix d'une autre correspondance d revient à modifier M_c d'une manière qui ne change rien pour ce que les matheux en font : «à permutation près, M_d = M_c ».
En effet on peut trouver s_d une permutation des objets telle que d = c o s_d (on réordonne d'abord les objets pour que c amène au bon endroit), d'où
M_d(s) = d' o p(s) o d = s_d' o c' o p(s) o c o s_d
= s_d' o M_c(s) o s_d
C'est le genre de chose que les matheux regardent en premier quand ils s'intéressent aux automorphismes : composer à gauche et à droite par un truc et sa réciproque. En l'occurrence, pour t une permutation, on peut facilement vérifier que A_t(s) = t' o s o t définit un morphisme de 𝔖₆, dit intérieur : l'idée est que l'on identifie l'ensemble des objets au même ensemble mélangé par t. Chaque permutation t fournit ainsi un automorphisme, et la question est de savoir si on les obtient tous comme ça. Donc on se fiche un peu de la différence entre M_d et M_c, parce que M_d = A_s_d o M_c : aux automorphismes intérieurs près, c'est-à-dire à un certain mélange près des objets, c'est la même chose.
Or, on peut montrer (comment ?) que M (M_c ou M_d) n'est pas un automorphisme intérieur. Il y a donc une manière de transformer les permutations de 𝔖₆, qui respecte la composition, et qui pourtant ne revient pas à juste mélanger les objets par un certain t ; et cette manière est donnée par M (à mélange près, forcément), c'est-à-dire par p après identification arbitraire des objets avec les pentades.
M est dit exceptionnel parce que parmi tous les automorphismes des 𝔖_n, il n'y a que lui qui ne soit pas intérieur. Donc si on part de n objets, que l'on fait toute une construction amenant à un nouvel ensemble de n nouveaux objets, ce qui permet de définir des permutations induites p(s) dessus (euh, p est forcément un morphisme ?), et qu'on les ramène avec une correspondance arbitraire aux objets de départ, on aura peut-être un automorphisme de 𝔖_n, mais sauf si n=6 et que l'on a construit les pentades sous une forme ou une autre, cet automorphisme sera intérieur : c'est un A_t pour un certain t. On peut alors composer notre correspondance arbitraire avec t', et obtenir une correspondance pour laquelle l'automorphisme sera tout simplement l'identité Id(s)=s.
Autrement dit, sauf le cas exceptionnel des pentades, quels que soient les n objets que l'on construit qui donnent des automorphismes, il existe une correspondance naturelle entre les objets construits et ceux de départ, pour laquelle les permutations induites sont égales aux permutations de départ. Si n!=6, on sait d'avance que l'on a construit une copie conforme du point de vue des permutations.

Ai-je bien compris ? Voulais-tu dire quelque chose de plus fort ?

Hé bien, quelle histoire !
J'ai bien aimé la construction progressive du suspens qui amène à la clé de voûte ardue où tout retombe sur ses pieds, et apprécié les efforts de pédagogie.
Le choix du vocabulaire « enlacé » complique la lecture dans un premier temps (par rapport à « s'intersecte » par exemple) mais permet de bien vérifier qu'on ne se fait pas avoir dans l'identification néo.

Deux points me laissent perplexe :
- l'automorphisme exceptionnel a-t-il des propriétés particulières ? C'est un peu bizarre d'avoir suivi toute cette construction et de n'avoir, à la fin, qu'un simple automorphisme
- « À partir de six objets, il est possible de construire, de façon systématique, de nouvelles « choses », également au nombre de six, tout aussi interchangeables que les objets de départ, mais qui ne peuvent pas être mis en correspondance systématique avec eux. »
« Partant de six objets » serait plus clair, mais surtout, si, il y a bien une correspondance canonique que tu construis ; c'est aussi peu clair dans le paragraphe « Ce n'est possible que pour n=6 ». J'essaye de reformuler ce que je crois comprendre :

« Partant de n objets, et réalisant des constructions de nouveaux objets qui ne font pas jouer de rôle particulier à certains de ces n objets (exemple : considérer les paires d'objets, faire un graphe dessus en reliant les paires ayant un objet commun, … ; contre-exemple : appeler les sommets 0, 1, …, et faire des choses avec ces nombres), si l'on obtient un nouvel ensemble de n néo-objets, alors soit il n'y a pas de correspondance naturelle entre néo-objets et objets, soit il y en a une qui découle directement de la construction (exemple : les sous-ensembles à n-1 objets sont en correspondance avec l'objet manquant), soit n=6 et les néo-objets sont les pentades. »
Une permutation p sur les n objets va donner, par construction, une permutation sur les néo-objets, qui s'identifie par la correspondance à une permutation p' sur les objets, mais on aura toujours p'=p sauf dans le cas des pentades, c'est ça ?

Suggestions pour permettre la lecture à un public plus large :
- éliminer les lettres grecques (ksi et dzeta c'est vraiment pour les matheux…)
- introduire 𝔖₆ (juste une ligne et comment ça se prononce)
- remplacer « synthème » : trio par exemple (triptère, trille, triandre, trident, trinôme, triplique…)
- utiliser « s'intersecte » dans un premier temps, amener l'enlacement après les lemmes
- renvoyer le lecteur aux couleurs des figures quand on arrive au synthème commun à deux pentades.

Dans "Il y a six pentades", "non enlacés" -> "enlacés"

Dans les "Deux trucs non enlacés appartiennent à un unique machin" se pose le problème qu'un doublet est enlacé avec lui-même mais pas un synthème avec lui-même dans la définition actuelle.

"et l'identification faite assure justement que cette permutation des objets donne la permutation des pentades qu'on s'est donnée" : Y a-t-il une manière de voir cela qui est aussi propre et élémentaire que les autres démonstrations de cette entrée ?

Merci pour l'entrée en tout cas !!

D'accord, en effet je n'avais pas réfléchi plus loin que l'interprétation (B).

C'est amusant et mystérieux, cette liste d'ordres 2,4,8,10. Je ne la connaissais pas et je ne sais pas comment l'expliquer.

You should mention somewhere in the article that $ \\mathfrak{S}_6 $ means the symmetric group on $ n $ elements. This wasn't transparent at first, and only became clear later in the article.

C'est vraiment génial cette histoire de "polarité" !!!

A part ça, vu que je vois passer Mathieu… je décris ici une incarnation que je trouve chouette de M12. Si David estime que c'est HS, que ce commentaire ne voie pas le jour !

On considère les mélanges parfaits sur un paquet de 24 cartes : on coupe parfaitement puis effectue un mélange en queue d'aronde (i.e. à l'américaine, ou riffle shuffle) où on alterne parfaitement une carte sur deux. Il y a deux façons de réaliser cela selon par quel paquet on commence à effeuiller. En itérant ces mélanges, on définit un sous-monoïde du groupe fini Sym(24), donc un sous-groupe de Sym(24).

Ce groupe n'est pas encore celui qui nous intéresse. Ce qu'il faut voir, c'est que ce groupe agit non seulement sur les cartes {0,1,…,23}, mais qu'il agit sur l'ensembles des paires de la forme {x,23-x}. Il y a 12 telles paires, et le groupe des permutations de ces 12 éléments qu'on vient de définir est M12. (Le groupe dont on était parti est un produit semi-direct de ce groupe et de (Z/2Z)^11.)

La démonstration (par invocation d'ordinateur) est ici :
http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/83_05_shuffles.pdf

Y est traité le cas des mélanges parfaits pour un nombre pair quelconque de cartes. Le cas impair a aussi du sens (deux façons de couper et une seule de rétablir équitablement), mais n'est qu'un exercice à traiter (voir fin de la section 3 du papier).

Les mélanges parfaits sont utilisés en magie.

Merci pour cette belle construction !

Concernant le fait qu'il existe un automorphisme extérieur qui soit involutif, il me semble qu'il y a plus fort : *tout* automorphisme extérieur de S_6 est involutif !

(et une typo, "en efet")

Des pentades… XD J'étais obligé d'écrire ce commentaire stupide et prévisible avant de poursuivre la lecture !

En tout cas, je suis d'accord : c'est reformulé tel que tu l'as fait qu'on comprend vraiment ce que signifie l'existence d'un automorphisme extérieur d'un groupe symétrique. Perso, ce n'est que des années après avoir appris l'existence de cet automorphisme et la démonstration de cette existence que j'ai compris ce que cela voulait vraiment dire. J'imagine n'être ni un cas isolé ni un cas générique…