Comments on Ce qu'on écrit — en maths — et ce qu'on pense

Tu mentionnes ici un problème du type "comment transmettre efficacement quelque chose qui est censé être [intuitif une fois qu'on est pourvu de bagage/recul que l'audience n'a pas du tout]".

Je me permets ici un léger pas de côté qui n'est pas dans le sujet de l'entrée mais bien dans celui du titre. Quelque chose qui rentre dans la catégorie "expliquer à autrui les choses précisément telles qu'on les comprend, en acceptant notre manque de recul quand il y en a". Et ma contribution n'est qu'un simple lien vers la thèse de Piper Harron : http://www.theliberatedmathematician.com/wp-content/uploads/2015/11/PiperThesisPostPrint.pdf

Je ne plaide pas en sa faveur ou défaveur, mais c'est intéressant.

Il va falloir un jour enseigner correctement les differentielles exterieures …

Concernant le spin, je ne pense pas que ce soit relié à CE problème de passage du local au global (si j'ai bien compris, tu contestes le fait qu'on puisse passer de l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, qui est locale, à la résolution globale de l'équation de Schrödinger). Il faut plutôt se tourner vers la relation entre le groupe des rotations qui nous est familier, à savoir SO(3), et le groupe qui décrit le spin SU(2).

Il se trouve que ces deux groupes sont localement identiques, mais pas globalement (SU(2) étant le recouvrement universel de SO(3)). On peut dire grossièrement qu'il y a deux couches de SU(2) au-dessus de SO(3). Ou encore plus grossièrement, qu'une rotation de 2pi est l'identité dans SO(3), mais pas dans SU(2). Ceci est lié aux propriétés topologiques de SO(3), qui n'est pas simplement connexe, comme on peut s'en rendre compte avec une ceinture et une expérience bien connue…

En fait, dans ce que tu dis, tu exprimes que l'intervalle dans lequel varie la colatitude doit être ouvert des deux côtés ; je dirais plutôt qu'il doit être fermé des deux côtés (les groupes sont compacts ici). Mais évidemment, cela introduit une redondance (les deux extrémités de l'intervalle devant être identifiées). Mais c'est précisément cette identification qui conduit à la topologie non triviale de SO(3), et qui explique les "bizarreries" du spin !

Eh ben justement, j'ai une question !

L'autre nuit, j'arrivais pas à dormir et j'ai commencé à me demander ce que c'est qu'un atome d'hydrogène exactement. Et quand on résout l'équation de Schrödinger dans ce cas, on a besoin de faire un changement de coordonnées du hamiltonien. Pour ça il faut faire passer le laplacien (la divergence du gradient) des coordonnées cartésiennes à sphériques. Généralement les profs de physique ou chimie font ça à l'arrache avec des notations de Leibniz et sans même définir les ensembles de départ et d'arrivée du mapping sphérique (le difféomorphisme dont tu parles). Pourtant quand on le fait, on se rend compte qu'on ne peut pas prendre en compte tout le R^3, mais que l'intervalle sur lequel la (co-)latitude varie doit être strictement ouvert (x et y doivent être non tous nul). Il faut donc virer l'axe (Oz).

Je suis peut-être complètement à côté de la plaque, mais j'ai l'impression que pour prolonger dans tout le R^3, il y a deux possibilités, et que la Nature choisit l'une ou l'autre selon le nombre quantique de spin de l'électron.

Est-ce que je suis dans le vrai ? Parce que si c'est le cas, les profs de physique ou chimie feraient mieux de répondre ça à la question "concrètement c'est quoi le spin ?", ça passerait sans doute mieux que leur brassage d'air à la "personne ne comprend, c'est un mystèèère quantiiiiiique…"

Le fameux débat épidermique sur l'utilisation concrète des mathématiques. Pour invoquer un changement de variable dans une intégrale, un physicien se fera mépriser par un matheux, qui semble ravi de produire la vision la plus abstruse possible. J'ai eu un prof de maths qui cessait toute discussion à l'évocation du terme "élément de volume". Et je ne parle pas de l'emploi des distributions…

La Puissance du Continu
@Ruxor : "…donner un énoncé rigoureux auquel se rattraper…"

Il est clair que parfois, dans la Vrai Vie, l'on ne peut pas toujours se rattraper.
Auquel cas, l'existence vivante étant méta-stable, on "retombe" (pour de bon ?) au niveau des éléments naturels, comme l'atome revient inlassablement vers son état d'énergie fondamental.
La rigueur absolue est elle-même illusoire, le système ZFC (de la théorie des ensembles) ne pouvant démontrer à lui seul sa propre consistance (il est potentiellement réfutable).
De quoi parle-t-on encore, dans le contexte non désiré où apparaît La Contradiction ?
-> Une humilité scientifique !

Pourtant, je subodore que la vérité n'en demande pas tant pour être contemplée.
Pour en revenir à la matrice jacobienne (et la valeur absolue de son déterminant), le résultat (la formule finale du changement de variable) est assez admirable et limpide une fois l'intuition des volumes élémentaires acquise.
Un déterminant (en cas général) est - au signe près - un hyper-volume d'un parallélotope de |R^n.
Quant à la notion de puissance du continu, mon intuition immédiate me dit que je n'en ai pas encore fait le tour complet (et pour cause, sic).
J'y ai senti la présence de quelque chose d'immense, d'étranger, d'intelligent, de structuré : une brève confrontation (a priori sans espoir de victoire) entre moi et Lui…
-> Un honneur spirituel pour un simple mortel (en somme) !