Comments on Quelques considérations de graphes aléatoires pour l'épidémiologie

Article intéressant en rapport avec le sujet : <URL: https://www.scientificamerican.com/article/the-mathematics-of-how-connections-become-global/ >.

Merci pour l'entrée, comme toujours très intéressante.

Je pense que ça peut t'intéresser (et te rassurer sur le fait que des gens du milieu médical ont conscience de l'hétérogénéité de la transmission et de ses conséquences) :

https://www.vidal.fr/actualites/25061/covid_19_la_seule_chose_qui_compte_c_est_l_endroit_ou_s_qu_elle_tombe_ou_comment_eviter_une_eventuelle_deuxieme_vague/

En particulier il y a des liens vers des articles qui essaient d'estimer le facteur de dispersion k du COVID-19, lié si j'ai bien compris par la formule $\sigma^2=\kappa(1+\frac{\kappa}{k})$ aux quantités dont tu parles dans cette entrée.

Une question vague me trotte dans la tête. Peut-être y as-tu répondu quelque part et l'ai-je raté.

A-t-on un résultat du type suivant (la formulation est vague). Pour toute une classe de modèles épidémiologiques où on peut définir un R_0, on peut estimer ce R_0 à partir des données à un moment donnée de l'épidémie (peut-être suffisamment tôt) et en déduire un taux d'immunité dans ce modèle. On a donc une fonction qui a des données et un modèle associe un taux d'immunité. Est-ce que le maximum de cette fonction à données fixées est atteint, parmi tous les modèles raisonnables, pour le modèle le plus simple ? Autrement dit, est-ce que le modèle le plus simple est aussi le plus pessimiste ?

Je mélange dans ma question des aspects statistiques (estimations de R_0) et des aspects non statistiques. Un bel énoncé sur les aspects non statistiques serait déjà intellectuellement intéressant. La question serait alors : le taux est-il maximisé, à R_0 fixé, pour le modèle le plus simple ? Il faut une définition futée du R_0 qui ait un sens même dans des modèles hétérogènes.

ma recherche donne ceci (<Galton-Watson "attack rate">)
résultats identiques pour les 3 cas :
- recherche normale / recherche masquée / Compte invité sans aucun historique

Exact solutions and analysis of an SIR variant with … - Halhal.archives-ouvertes.fr

Mathematical Models in Epidemiology books.google.fr › books-
Fred Brauer, ‎Carlos Castillo-Chavez, ‎Zhilan Feng - 2019 - ‎Mathematics

Gro-Tsen on Twitter: "(I came across this fact while trying to … twitter.com › gro_tsen › status
21 avr. 2020 - The proportion of vertices reached is the “attack rate” of the epidemic. … Basically we have here what is known as a Galton-Watson process …

20200507.epidemic-attack-rate-by-variance.sage · GitHubgist.github.com › Gro-Tsen
non-extinction probability of a Galton-Watson process …

Towards an analytic model of security flawswww.hpl.hp.com › HPL-2004-224
PDF … 10 déc. 2004 -

Stochastic simulation of epidemicslink.springer.com › pdf › 1.pdf-
A, see attack rate, see final epidemic size adjacency matrix

Epidemics with Two Levels of Mixing - Jstorwww.jstor.org › stable
distribution, R say, of … de F Ball - ‎1997 - ‎Cité 528 fois - ‎Autres articles

Bonjour,

David se pose cette question :

"J'aimerais quand même bien comprendre, par exemple, pourquoi si on recherche Galton-Watson "attack rate" dans Google, les deux premières réponses sont de moi."

La réponse est :

C'est quand on s'appelle David Madore. Si on s'appelle autrement, les "réponses" signées David Madore apparaissent bien plus loin (désolé !).

Sinon, une fois de plus, tout ça est très intéressant !

Amicalement,

@frankie : « la vaccination à trop grande échelle diminue la capacité d'un individu à fabriquer une défense immunitaire adaptée »

Peux-tu étayer ou donner des sources ?

"armchair epidemiologist" → "épidémiologiste de salon" ? :/

Merci !

Actualités Mediscoop sur Youtube https://www.youtube.com/results?search_query=mediscoop
→ A propos de variance :
https://www.youtube.com/watch?v=8TGyKETl9p8 12'25
« 9% des patients faisaient 81% des transmissions »

@frankie En percolation, il y a de l'universalité au point critique, mais ça ne veut pas du tout dire pour autant que les systèmes de percolation de la vraie vie sont au point critique (tel n'est pas le cas). D'ailleurs, il y a aussi une forme d'universalité en sous-critique et en surcritique : c'est juste que le cas sous-critique vu de loin ressemble à "tout est fermé" (p=0) et le surcritique à "tout est ouvert" (p=1), alors que le point critique vu de loin continue de se ressembler à lui-même (au lieu de converger vers une valeur de p extrémale), d'où sa riche géométrie et ses propriétés fractales.

Par contre, il existe une notion de "self-organised criticality" qui propose certains modèles où les systèmes se tunent naturellement pour devenir critiques. Voir le "abelian sandpile", qui offre un modèle simpliste d'étude d'avalanches.

@Frankie: « Le bon paramètre est la partie de la population sans risque majeur susceptible d'être atteinte pour que l'immunité collective soit réalisée »

Quid:
* des stratégies qui ne confinent pas aveuglément, mais confinent seulement les gens les plus à risques (l'âge serait le seul facteur vraiment pertinent: https://twitter.com/DDupagne/status/1259017261878296577 )
* de l'influence de ces stratégies, non seulement sur les décès, mais aussi sur la transmission du virus (un jeune porteur sain contamine-t-il sensiblement plus ou moins qu'un vieux malade soigné par des gens mal protégés ?) voire sur le système de santé (quel profil de malade nécessite le plus de ressources qui pourraient être employées pour soigner quelqu'un d'autre ?)
* de l'évaluation de ces stratégies (https://www.spiked-online.com/2020/04/29/delaying-herd-immunity-is-costing-lives/ : « A country much closer to herd immunity will ultimately do better even if their current death count is somewhat higher. The key statistic is instead the number of deaths per infected. » - et il faudrait tenir compte des dommages autres que les décès)
?

Comme par coïncidence, ce matin, je finissais de mettre au point mon modèle épidémiologique. Il est un peu différent même s'il s'appuie sur la notion de graphe.
D'abord, je considère un modèle avec un R0 critique (égal à 1 donc).
Puis je passe au modèle avec RO inférieur, et enfin RO supérieur (en utilisant les mêmes outils). Dans tous les cas, le R0 est localement constant. Heuristiquement, il y a un certain côté fractal (phénomène de recuit ou de percolation, abondamment étudiés dans les années 80), et j'ai pensé que le modèle au point critique possédait un caractère universel. En tout cas, il est techniquement plus simple.
Prenons d'abord R0=1. Je pars donc d'une situation avec un graphe, qui peut posséder très peu de sommets, et une source dans ce graphe. Je définis la longueur moyenne d'un chemin d'infection (hypothèse majeure : un individu contaminé n'est plus contaminant) qui est une caractéristique intrinsèque d'un graphe. Ensuite, je considère la même situation mais avec un but (un autre sommet du graphe qui sert de pont pour aller dans un autre graphe, sachant qu'il y a peu de ponts d'un graphe à l'autre, c'est ma façon de traiter l'hétérogénéité d'échelle). J'appelle chaque graphe "cellule" car je vais maintenant m'intéresser à ce qui se passe à un niveau supérieur. Je définis alors un nouveau RO entre des cellules, celles-ci formant un nouveau graphe. C'est en gros de la renormalisation (mais sans passage à la limite thermodynamique -cette limite peut être prise et donne un résultat assez bizarre-). On observe (on calcule si on veut) que le RO défini localement affecte une nouvelle valeur, effective, dans le graphe cellulaire -désolé pour ma terminologie…-, qui est strictement plus petite.
Lorsque R0 n'est plus 1, on définit une longueur de chemin d'infection pondéré. Et tout se transpose (enfin j'imagine, parce qu'il y a des choses à vérifier…).
On a affaire à une transition de phase lorsque le R0 passe la valeur critique. Je n'ai pas développé ce point.
Introduire un facteur dynamique dans ce modèle serait largement accessible si l'on part d'un taux de contamination par unité de temps (le R0 standard est au minimum le fruit d'une intégration).
En réalité, bien comprendre de quoi est fait R0 est une des questions clés. Une mesure de confinement agit à la fois sur le R0 local et sur la structure en graphes et cellules de la population, et on a tendance à mélanger ces deux effets.
Je ne connais pas l'influence du graphe initial dans mon modèle, mais du moins je peux l'évaluer. Par contre, si je travaille avec des graphes aléatoires, j'aurai l'impression de traiter avec des graphes de tailles aussi grandes que je veux et selon des distributions aussi diverses que je souhaite, mais je perds une certaine compréhension élémentaire de certains phénomènes. Peut-être que je me leurre…
De toute façon, graphe donné ou graphe aléatoire, la mise en conformité d'un modèle à base de graphes avec une société en interaction complexe est un sujet particulièrement délicat.
Ceci dit, en l'absence de vaccin, la fraction de la population qui doit être immunisée n'est pas un bon paramètre car il faut éviter de contaminer la partie de la population qui est fragile (il est absurde d'attendre que 60 ou 70% grosso modo d'une population à risque soit contaminée). Le bon paramètre est la partie de la population sans risque majeur susceptible d'être atteinte pour que l'immunité collective soit réalisée. A R0=4, toute la population ne présentant que peu de risque devrait être contaminée pour réaliser l'immunité collective (la population à risque est estimée à 17 ou 18 millions d'habitants en France). Eventuellement en écartant du calcul une partie de la population à la fois peu susceptible d'être contaminée et de contaminer à son tour (les enfants très jeunes), on abaisse le R0 limite. A l'inverse, la structure en cellules peu connectées entre elles ou, de façon équivalente, la prise en compte d'une certaine forme d'hétérogénéité spatiale (ou graphique ou statistique) induit un R0 (global) plus faible que le facteur théorique. Si l'on dispose d'un vaccin, d'autres problèmes apparaissent, pour en citer quelques uns (chacun pouvant faire l'objet d'un débat) : les personnes les plus fragiles sont moins réceptives à la vaccination; la vaccination à trop grande échelle diminue la capacité d'un individu à fabriquer une défense immunitaire adaptée (quelquefois il peut l'abaisser) : il faudrait éviter de la généraliser comme cela se fait un peu systématiquement sous la pression de lobbys pharmaceutiques; les virus à ARN sont très mutants, dans quel cas la vaccination devrait être refaite constamment, à condition d'opérer les changements nécessaires à chaque reprise; un traitement efficace (le prouver est précisément difficile) effectué sur des sujets en début de contamination ou en phase préventive (qui sait ?) serait un parfait substitut à une vaccination en masse…

OK merci. J'ai l'impression que ce que je raconte correspond (au moins asymptotiquement - la seule différence étant que je tire les sommets cibles d'un sommet donné sans remise alors que tu les tires avec remise) à ton modèle orienté avec degré sortant prescrit. Non ?

Est-ce que pour le lecteur pressé tu pourrais mettre en valeur l'endroit où est défini le modèle ? Est-ce simplement le suivant ?

On se donne un entier n (grand) et une loi mu sur les entiers strictement positifs.
L'ensemble des sommets est un ensemble de cardinal n. Pour chaque sommet :
1) On tire au sort un entier N suivant la loi mu.
2) On tire alors au sort un sous-ensemble de sommets de cardinal min(N,n).
3) On relie x à chacun des sommets de l'ensemble précédent.
Les tirages sont uniformes et indépendants les uns des autres.

On s'intéresse alors à la taille de l'ensemble des sommets que l'on peut joindre par un chemin orienté depuis un sommet fixé.

Très intéressant. Mais comme certains de tes amis que tu mentionnes, je en suis pas sûr de bien comprendre pourquoi tes courbes passent par (0,1). Est-ce que j'interprète bien ce que ça veut dire en le traduisant par
(disons dane ls cas d'un graphe non-orienté) si chaque sommet a exactement k voisins (choisis au hasard comme tu le décris), alors le nombre de sommets de la plus grosse composante du graphe divisée par le nombre de sommets N graphe tend vers 1 quad N vers l'infini ? Mais si c'est juste, ça n'a de sens que pour kappa entier, comme tu le fais remarquer quelque part, et puis même dans ce cas, est-ce vrai ?

Dans le même sens que vous sur le taux d'immunité, et aussi sur l'optimisation du confinement: https://jsmp.dk/posts/2020-05-07-herdimmunity/