Comments on Une méditation sur le nombre 24 et la causalité en mathématiques

Terry Gannon parle de méta-comportement. Lire "twenty-four" aux pages 168 et suivante de "Monshine Beyond the Monster", intrigantes s'il en est.

Peut-être faut-il réserver la notion de *causalité* (cause -> effet) au monde physique et la considérer comme un cas particulier du principe de *raison* suffisante (raison -> conséquence), qui concerne tant le monde physique que celui des idées.

En particulier, la causalité s'appliquant dans le temps, une cause ne peut pas produire un effet qui serait à son tour sa cause.

Tandis que la *raison d'une conséquence* n'est pas soumise à cette contrainte. Je crois que Schopenhauer l'affirme dans "De la quadruple racine du principe de raison suffisante", notamment à propos de la géométrie, où telle propriété d'objets de l'espace peut être la raison d'une conséquence qui en sera à son tour la raison.

Après, c'est un point de vocabulaire, bien sûr. On peut proposer d'autres définitions.

Le texte suivant aborde la question de l'intuition, l'évidence et la "causalité" en mathématique, et passe en revue beaucoup de réflexions à ce sujet (de façon parfois un peu confuse, je trouve). Il rapporte notamment que la "causalité" mathématique (ou l'impression de causalité) pourrait se comprendre ainsi :

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Pour M. G. Bouligand, le raisonnement est « causal » quand « sa trame, fortement accusée » donne « l'impression d'un tout à la fois harmonieux et irréductible : harmonieux, parce qu'il n'est démarche déductive ne recevant ici de l'intuition un consentement immédiat, irréductible, parce qu'il n'est aucune hypothèse pouvant disparaître sans péril pour la conclusion… »

D'où une voie de recherche :

C'est en cherchant les conditions les plus larges dans lesquelles un énoncé est valable qu'on parvient à sa démonstration causale

En effet, il arrive souvent que des résultats importants aient été établis sans que les conditions précises de leur validité soient connues. Les progrès se feront alors, dit M. G. Bouligand, des conclusions aux hypothèses : à partir des conclusions, considérées comme données, il s'agira de rechercher le « système minimum d'hypothèses » qui les implique.
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https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1953_num_6_3_3056

> généralement noté $ {\\textit{II}}_{25,1} $, une notation indiciblement pourrie

John Wells complained on his blog about the symbols IPA uses for click consonants <URL: http://phonetic-blog.blogspot.com/2009/09/click-symbols.html >. This note reminded me of that immediately.

> Re terminologie : il y a toujours un doute, quand on parle de la "norme", dans un contexte quadratique, comme ça, pour savoir si c'est la forme quadratique elle-même ou sa racine carrée ; c'est vraiment pénible, parce que les deux valeurs sont plus ou moins naturelles selon le contexte.

That same confusion exists in programming context too. C++11 adds a function “norm” to the standard library which computes the square norm of complex numbers <URL: https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/complex/norm >. Note that this is a C++ invention, the name isn't taken from any C standard library addition: C only has “cabs” for the magnitude norm of complex numbers. But the same identifier is used in some C++ libraries for functions computing the magnitude 2-norm of a vector, such as in OpenCV <URL: https://docs.opencv.org/3.0-last-rst/modules/core/doc/operations_on_arrays.html#norm >, Eigen <URL: http://eigen.tuxfamily.org/dox/classEigen_1_1MatrixBase.html#a196c4ec3c8ffdf5bda45d0f617154975 >. (BLAS uses “NRM2” for the magnitude 2-norm of vectors instead.) At least once I wanted to compute both the squared norm of a complex number and the magnitude of a real vector in the same program, and these unfortunate names make it pretty confusing. I haven't found a use of “norm” as the magnitude norm in a library with C++ interface that definitely predates that C++11 function (Matlab's “norm” function does, but that's not a C++ interface), so I can't tell for sure whose fault that confusion is. I used to blame the C++ standard committee, but it turns out that MPC <URL: http://www.multiprecision.org/mpc/ > (a C library) has had an “mpc_norm” function to compute the squared norm of a complex number, and I believe that does predate the C++ standard addition.